【新高考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)

W
(
x)
50x ,
1 x
0 x2 ，肥料成本投入为10x 元，其它成
2 x5
本投入（如培育管理、施肥等人工费） 20x 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千
克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 f (x) （单位：元）．
（Ⅰ）求 f (x) 的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【新高考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)
新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题
一．单选题
(选择、填空、解答)
主讲人：刘蒋巍
1.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个
节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小
斗从点 A(3， 3 3 )出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒．经过 t
秒后，水斗旋转到 P 点，设点 P 的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 y f (t) R sin(t ) (t ≥0， ＞0， )，则下列叙述正确的是
2
A． 3
B．当 t (0，60]时，函数 y f (t)单调递增
4 的封闭图形的面积为 ▲ ．
答案：64
3
2.某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色．若甲、 乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购 买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有 种．
答案：20 解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为“亮
C．当 t (0，60]时， f (t ) 的最大值为 3 3
D．当 t＝100 时， PA 6
答案：AD
解析：求得 R＝6，当 t＝0 时， 6 sin 3 3 ， sin 3 ，由 ，得 ，
2
2
3
故 A 正确；当 t (0，50]时，函数 y f (t) 单调递增，故 B 错误；当 t (0，60]时，
m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为
Q．科学研究发现
v
与
log3
Q 100
成正比，当
v＝1m/s
时，
鲑的耗氧量的单位数为 900．当 v＝2m/s 时，其耗氧量的单位数为
A．1800
B．2700
C．7290
D．8100
答案：D
解析：设
v＝k
log3
Q 100
，则1
k
log 3
900 100
，解得
k
1 2
度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为 5％，最初有 N0 只，则至少经过______天才能达到 最 初 的 16000 倍 （ 结 果 需 为 整 数 ， 参 考 数 据 ： ln1.05 0.0488 ， ln1.5 0.4055 ， ln1600 7.3778 ， ln16000 9.6803 ）．
，所以 v＝ 1 2
log3
Q 100
，解得
Q＝
8100，故选 D．
3.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 2~3 艘驱逐舰，1~2 艘核潜艇.
船厂现有 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( ).
A．30
B．60
C．90
D．120
答案：D
4.《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、
黑色”与“星河银”之一，满足题意的购买方案有 C21 C21 A22 8 (种)；第二类，
甲实际购买的手机颜色不是“亮黑色”，也不是“星河银”，满足题意的购买方案有
C21 A33 12 (种)，由分类加法计数原理可知，满足题意的购买方案有 8＋12＝20(种)．
3.2018 年 5 月至 2019 年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式 的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了 8000 倍，引发了蝗灾，到 2020 年春季蝗灾已波及印
暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数
列，经记录测算，这九个节气的所有暑长之和为 49.5 尺，夏至、大暑、处暑三个节气暑长
之和为10.5 尺，则立秋的暑长为（ ）．
A．1.5 尺
答案：D
B． 2.5 尺
C． 3.5 尺
D． 4.5 尺
2.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为 v(单位：
兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这
一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为( ).
A． 1 8
B． 1 4
C． 3 8
D． 1 2
1
【新高考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)
答案：C
二．多选题
1.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田 的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史，是人类的一项 古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 R 的水车，一个水
答案：199
3
【新高考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)
四．解答题
1.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色
小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料 x （单考数学压轴题】新高考实际应用题、涉及数学文化的应用题(主讲人：刘蒋巍)
f (t ) 的最大值为 6，故 C 错误；当 t＝100 时，∠AOP＝60°，故 AP＝R＝6，故 D 正确．故选 AD．
三．填空
1.被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、 天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形 的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个 结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y＝4 与抛物线 C：y＝1x2 交于 A，B 两点，则弦 AB 与抛物线 C 所围成