第一章有限元法杆件结构
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5
• 有限单元法的形成
在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两条不同的路 线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直 接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中 所获得的成果。
6
• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。 • 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约 举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推 广到求解平面应力问题。 • 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语。 • 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分 原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有 限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不 同变分原理导出的有限元计算公式。 • 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写 成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同 步骤求解。 • 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
10
二、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
11
工程问题有限单元法分析流程
12
三、有限元软件和工程实例 有限元软件
有限元软件包括专用的和通用的两大类。 专用有限元软件：桥梁博士Dr. Bridge；Midas等。 通用有限元软件：Ansys；Abaqus；Adina等
1.1.4 边界约束
这根梁3个单元、4个节点、8个自由度，8个方程联立。 5个未知位移分量，3个未知约束反力，共8个未知量， 方程组可以求解。 在未进行边界约束之前，梁的结构刚度方程无法求解， 因为结构还有刚体位移尚未消除。当梁具有足够的约束 时，可以求解该方程组，得出未知位移，进而求出梁的 内力和反力。
引言
有限单元法的概念和发展历史 有限单元法基本步骤
有限元软件和工程实例
有限元分析学习方法
1
一、有限单元法的概念和发展历史 有限单元法的概念
有限元：近似求解一般连续域问题的数值方法。 基本思想: 借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决
工程技术问题。
Finite Element Method -FEM Finite Element Analysis-FEA
13
工程实例
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
14
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
15
驾驶室受侧向力应力云图
接触问题结构件应力云图
16
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
17
有限元分析学习方法
21
1.1.2 单元弹性特征-单元刚度矩阵
先分析单个单元上节点力和节点位移之间的联系。
e单元i、j节点位移分别为 e单元i、j节点力分别为
e单元的节点位移是一个有4个分量的矢量 e单元的节点力也是一个有4个分量的矢量
22
在弹性范围内、小变形情况下，e单元两段的节点力 {p}e和节点位移{δ}e之间有线性关系，用矩阵表示：
3
数学解释
把一个连续的齿形截面看成一个求解区域，将其剖分成许多三 角形子域，子域内的位移可用三角形各顶点的位移合理插值来 表示。 按原问题的控制方程(最小势能原理)和约束条件，可以解出各 节点的待定位移。对于其他的连续域问题，节点未知量还可以 是压力、温度和速度等物理量。
主要研究内容
近似的求解方法和应满足的条件
36
图示平面刚架26个单元，13个节 点，39个自由度。
如果刚架有n个节点，则有3n个自由度。 以{δ}表示平面刚架的全部节点位移，以{Q}表示平面刚架 的全部节点载荷，两者都具有3n个分量，用位移法分析此 刚架，首先要建立{δ} 与{Q}之间的联系。
37
1.2.2 单元刚阵(相对局部坐标)
平面刚架的每个单元两个节点，共6 个节点位移分量，即6个自由度，相 应有6个节点力分量。
4
发展历史
• 两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料 力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问 题等。
• 两类问题的对比
第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂 的离散系统，要依靠计算机技术。 第二类问题称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程 和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际 的工程问题，需要用近似算法求解。
33
单元刚阵和结构总刚阵均为对称矩阵。结构总刚阵为稀疏阵， 非零元素集中在主对角线附近。 一根梁划分为m个单元，n个节点，则结构分析矩阵位移法的 基本方程有2n个，结构的总刚度矩阵[K]为2n×2n的对称方阵， 是由m个单元刚度矩阵叠加而成。 单元刚阵元素反映出单元发生某种单位节点位移时，单元抵 抗这种变形的能力；结构总刚阵元素反映出结构发生某种单 位节点位移时，结构抵抗这种变形的能力。结构由单元组成， 34 因此，结构总刚阵就应该由单元刚阵叠加而成。
简记为： [k]e为e单元的刚度矩阵，简称单元刚阵。
23
单元刚阵[k]e中任一元素的物理意义
将梁单元的4项节点位移分量另记为u1、u2、u3和u4， 4项节点力分量另记为s1、s2、s3和s4。
当某一项位移分量ul为1，其余位移分量都为0时， 可得到一组节点力。 由功的互等定理(反力互等定理)
24
A为杆件截面积，l为单元长度，E为弹性模量。
41
由此可得直杆单元轴向变形的刚度矩阵
把 与 合并，可得到平面刚架杆单元在局部坐标 系下的刚度方程。
简写为
42
平面刚架杆单元对局部坐标系的单元刚阵为 为6×6的 对称方阵，且弯曲变形和轴向变形两者间互不关联，两者 不耦合。写成分块形式如下：
43
单元刚阵子块
2
以直齿轮的一个齿为例，为分析其应力分 布，可先求出图中三角形各顶点位移，进 而求解三角形内的应力。三角形就是单元， 顶点就是节点。
物理解释
把一个连续的齿形截面分割成很多小三角形单元，单元之间在 节点处以铰链相连接，由单元组合而成的结构近似代替原连续 结构。 如果能合理求得各单元的弹性特性，可进而求出组合结构的弹 性特性。这样，在一定的约束条件下，在给定的载荷作用下， 就可以求出各节点的位移，从而求出各单元内的应力。
19
1.1 直梁
1.1.1 节点位移和节点载荷
一简单的变截面梁，作用有一个集中力Z和一个集中 力偶M，可简化为有3个单元和4个节点的计算模型。
按平截面假设，梁发生弯曲变形时，截面的位移包 括截面中性轴处的挠度f和截面的转角θ，这两项位 移也就是节点处位移的两个分量。
20
任一节点处位移可用一个位移列阵表示 对应于节点位移，任一节点的载荷也可用一个载荷列 阵表示。 fi和Zi以向上为正， θi和Mi以逆时针为正(坐标轴正向)。 对于划分有n个节点的梁，一共有2n个节点位移分量 和2n个节点载荷分量，分别记为各有2n个分量的矢量 {δ}和{Q} 。非节点荷载要经过处理和转换到节点上去。 为解决直梁弯曲问题，可先求出在全部节点载荷{Q}作 用下引起的全部节点位移{δ}，进而在求出单元内的位 移和内力。为此要建立两者之间的关系。
注意， 是一个数， 是一个2×2的子矩阵，而0则为一个 行阵或列阵，各包含两个零元素。
44
1.2.3 单元刚阵的坐标转换
不同于直梁结构，刚架结构中不同的刚架单元可能不是共轴 线的，这样将会有多个不同的局部坐标系。为建立整个结构 的刚度矩阵，需要在一个共同的坐标系内建立平衡方程，从 而才能够叠加。因此，在局部坐标系内建立的刚架单元刚阵 应先经过相应的坐标转换，转到共同的坐标系内，才能叠加 起来组成结构的整体刚度矩阵。 xoy为统一直角坐标系，x’oy’为局部坐标系 i节点在局部坐标系中位移为 i节点在统一坐标系中位移为
28
每个矢量方程为两个代数方程，共4个方程，反映出 4个节点力分量和4个节点位移分量之间的弹性联系。
29
1.1.3 单元的集合与单元刚度矩阵的叠加
单元刚度方程 图示梁共3个单元，每个单元都有如上的方程
30
以节点2为例，单元(1)和单元(2)在节点2处相连，梁有静变形时， 节点2上的受力应该是相互平衡的。
e单元长l，弹性模量E，截面惯性矩J 当u1=1，ui=0 (i=2、3、4)时，根据梁的变形公式(刘鸿文 材料力学，上册，p224)或矩阵位移法 李廉锟 Leabharlann Baidu构力学
-
可求出 由平衡条件
25
当u2=1，ui=0 (i=1、3、4)时，
26
类似的，可以求出单元刚阵中的其他元素，单元刚阵为
27
在有限元分析中，通常可将位移、力和刚阵按节点分块
7
• 我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计 算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最 早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
8
• 有限单元法的基本思路
• 将连续体分割成有限个分区或单元 • 用标准方法对每个单元提出一个近似解 • 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
9
有限单元法方程的三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极值问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元法方程，是一种近 似解法。
为分析方便，采用如图局部坐标系， 沿杆轴为局部坐标轴x’，另一坐标 轴y’ 逆时针旋转90°垂直x’轴。
节点线位移为轴向位移Δ和横向挠度f，分别对应轴力T和 切力q，截面转角θ和弯矩m与直梁单元相同。
38
设任一单元e，两个节点为i、j，在局部坐标系内，6个节 点位移分量和6个节点力分量可用列阵表示。
称单元节点位移，
称单元节点力。
易知，在局部坐标系内，在小变形情况下，轴向位移Δ只 与轴力T有关，弯曲位移f、 θ只与弯曲力q、 m有关。因 此，可分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵来 分析单元位移与受力的关系。
39
弯曲变形
和直梁
一样。
40
轴向变形 在弹性范围内，轴向变形和载荷成正比关系。
根据刚度矩阵元素的物理意义和直杆拉伸理论可求出 中的各元素， 当Δi=1， Δj=0时， 同理，
根据节点2的平衡条件，可得
简写为：
31
由连续性条件 节点3同理可得： 节点1、4只连接一个单元，节点载荷就等于节点力。
32
将上述4个式子合并可得：
简写为：
单元刚阵为4×4的方阵，在叠加成8×8的结构总刚阵时， 要把具有相同下标的刚阵元素或子矩阵相加在一起，因 此要把4×4的单元刚阵扩大成8×8的方阵。
结构的有限元分析涉及力学原理、数学方法和计算机程序设计等 几个方面，诸方面互相结合才能形成这一完整的分析方法。 对于不同的结构，采用的单元是不相同的，但各种单元的分析方 法又是一致的。掌握一种典型结构(如平面问题)的有限元分析方 法，就可以举一反三，推广到各种结构。
18
第一章 杆件结构
1.1 直梁 1.2 平面刚架 1.3 空间杆结构
35
1.2 平面刚架
1.2.1 单元与节点
平面刚架在平面内承受载荷，并发生变形。当载荷都集中在 节点上时，可将每根杆件看成一个单元，各杆件的交点作为 节点。图示平面刚架26个单元，13个节点。 每个节点的位移有三项，水平位移u，铅垂位移v和截面转角θ。 节点位移列阵为：
相应每个节点的载荷也有三项，水平力X，铅垂力Y和力偶M。 节点载荷列阵为：
• 有限单元法的形成
在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两条不同的路 线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直 接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中 所获得的成果。
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• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。 • 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约 举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推 广到求解平面应力问题。 • 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语。 • 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分 原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有 限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不 同变分原理导出的有限元计算公式。 • 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写 成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同 步骤求解。 • 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
10
二、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
11
工程问题有限单元法分析流程
12
三、有限元软件和工程实例 有限元软件
有限元软件包括专用的和通用的两大类。 专用有限元软件：桥梁博士Dr. Bridge；Midas等。 通用有限元软件：Ansys；Abaqus；Adina等
1.1.4 边界约束
这根梁3个单元、4个节点、8个自由度，8个方程联立。 5个未知位移分量，3个未知约束反力，共8个未知量， 方程组可以求解。 在未进行边界约束之前，梁的结构刚度方程无法求解， 因为结构还有刚体位移尚未消除。当梁具有足够的约束 时，可以求解该方程组，得出未知位移，进而求出梁的 内力和反力。
引言
有限单元法的概念和发展历史 有限单元法基本步骤
有限元软件和工程实例
有限元分析学习方法
1
一、有限单元法的概念和发展历史 有限单元法的概念
有限元：近似求解一般连续域问题的数值方法。 基本思想: 借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决
工程技术问题。
Finite Element Method -FEM Finite Element Analysis-FEA
13
工程实例
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
14
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
15
驾驶室受侧向力应力云图
接触问题结构件应力云图
16
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
17
有限元分析学习方法
21
1.1.2 单元弹性特征-单元刚度矩阵
先分析单个单元上节点力和节点位移之间的联系。
e单元i、j节点位移分别为 e单元i、j节点力分别为
e单元的节点位移是一个有4个分量的矢量 e单元的节点力也是一个有4个分量的矢量
22
在弹性范围内、小变形情况下，e单元两段的节点力 {p}e和节点位移{δ}e之间有线性关系，用矩阵表示：
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数学解释
把一个连续的齿形截面看成一个求解区域，将其剖分成许多三 角形子域，子域内的位移可用三角形各顶点的位移合理插值来 表示。 按原问题的控制方程(最小势能原理)和约束条件，可以解出各 节点的待定位移。对于其他的连续域问题，节点未知量还可以 是压力、温度和速度等物理量。
主要研究内容
近似的求解方法和应满足的条件
36
图示平面刚架26个单元，13个节 点，39个自由度。
如果刚架有n个节点，则有3n个自由度。 以{δ}表示平面刚架的全部节点位移，以{Q}表示平面刚架 的全部节点载荷，两者都具有3n个分量，用位移法分析此 刚架，首先要建立{δ} 与{Q}之间的联系。
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1.2.2 单元刚阵(相对局部坐标)
平面刚架的每个单元两个节点，共6 个节点位移分量，即6个自由度，相 应有6个节点力分量。
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发展历史
• 两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料 力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问 题等。
• 两类问题的对比
第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂 的离散系统，要依靠计算机技术。 第二类问题称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程 和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际 的工程问题，需要用近似算法求解。
33
单元刚阵和结构总刚阵均为对称矩阵。结构总刚阵为稀疏阵， 非零元素集中在主对角线附近。 一根梁划分为m个单元，n个节点，则结构分析矩阵位移法的 基本方程有2n个，结构的总刚度矩阵[K]为2n×2n的对称方阵， 是由m个单元刚度矩阵叠加而成。 单元刚阵元素反映出单元发生某种单位节点位移时，单元抵 抗这种变形的能力；结构总刚阵元素反映出结构发生某种单 位节点位移时，结构抵抗这种变形的能力。结构由单元组成， 34 因此，结构总刚阵就应该由单元刚阵叠加而成。
简记为： [k]e为e单元的刚度矩阵，简称单元刚阵。
23
单元刚阵[k]e中任一元素的物理意义
将梁单元的4项节点位移分量另记为u1、u2、u3和u4， 4项节点力分量另记为s1、s2、s3和s4。
当某一项位移分量ul为1，其余位移分量都为0时， 可得到一组节点力。 由功的互等定理(反力互等定理)
24
A为杆件截面积，l为单元长度，E为弹性模量。
41
由此可得直杆单元轴向变形的刚度矩阵
把 与 合并，可得到平面刚架杆单元在局部坐标 系下的刚度方程。
简写为
42
平面刚架杆单元对局部坐标系的单元刚阵为 为6×6的 对称方阵，且弯曲变形和轴向变形两者间互不关联，两者 不耦合。写成分块形式如下：
43
单元刚阵子块
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以直齿轮的一个齿为例，为分析其应力分 布，可先求出图中三角形各顶点位移，进 而求解三角形内的应力。三角形就是单元， 顶点就是节点。
物理解释
把一个连续的齿形截面分割成很多小三角形单元，单元之间在 节点处以铰链相连接，由单元组合而成的结构近似代替原连续 结构。 如果能合理求得各单元的弹性特性，可进而求出组合结构的弹 性特性。这样，在一定的约束条件下，在给定的载荷作用下， 就可以求出各节点的位移，从而求出各单元内的应力。
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1.1 直梁
1.1.1 节点位移和节点载荷
一简单的变截面梁，作用有一个集中力Z和一个集中 力偶M，可简化为有3个单元和4个节点的计算模型。
按平截面假设，梁发生弯曲变形时，截面的位移包 括截面中性轴处的挠度f和截面的转角θ，这两项位 移也就是节点处位移的两个分量。
20
任一节点处位移可用一个位移列阵表示 对应于节点位移，任一节点的载荷也可用一个载荷列 阵表示。 fi和Zi以向上为正， θi和Mi以逆时针为正(坐标轴正向)。 对于划分有n个节点的梁，一共有2n个节点位移分量 和2n个节点载荷分量，分别记为各有2n个分量的矢量 {δ}和{Q} 。非节点荷载要经过处理和转换到节点上去。 为解决直梁弯曲问题，可先求出在全部节点载荷{Q}作 用下引起的全部节点位移{δ}，进而在求出单元内的位 移和内力。为此要建立两者之间的关系。
注意， 是一个数， 是一个2×2的子矩阵，而0则为一个 行阵或列阵，各包含两个零元素。
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1.2.3 单元刚阵的坐标转换
不同于直梁结构，刚架结构中不同的刚架单元可能不是共轴 线的，这样将会有多个不同的局部坐标系。为建立整个结构 的刚度矩阵，需要在一个共同的坐标系内建立平衡方程，从 而才能够叠加。因此，在局部坐标系内建立的刚架单元刚阵 应先经过相应的坐标转换，转到共同的坐标系内，才能叠加 起来组成结构的整体刚度矩阵。 xoy为统一直角坐标系，x’oy’为局部坐标系 i节点在局部坐标系中位移为 i节点在统一坐标系中位移为
28
每个矢量方程为两个代数方程，共4个方程，反映出 4个节点力分量和4个节点位移分量之间的弹性联系。
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1.1.3 单元的集合与单元刚度矩阵的叠加
单元刚度方程 图示梁共3个单元，每个单元都有如上的方程
30
以节点2为例，单元(1)和单元(2)在节点2处相连，梁有静变形时， 节点2上的受力应该是相互平衡的。
e单元长l，弹性模量E，截面惯性矩J 当u1=1，ui=0 (i=2、3、4)时，根据梁的变形公式(刘鸿文 材料力学，上册，p224)或矩阵位移法 李廉锟 Leabharlann Baidu构力学
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可求出 由平衡条件
25
当u2=1，ui=0 (i=1、3、4)时，
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类似的，可以求出单元刚阵中的其他元素，单元刚阵为
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在有限元分析中，通常可将位移、力和刚阵按节点分块
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• 我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计 算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最 早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
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• 有限单元法的基本思路
• 将连续体分割成有限个分区或单元 • 用标准方法对每个单元提出一个近似解 • 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
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有限单元法方程的三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极值问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元法方程，是一种近 似解法。
为分析方便，采用如图局部坐标系， 沿杆轴为局部坐标轴x’，另一坐标 轴y’ 逆时针旋转90°垂直x’轴。
节点线位移为轴向位移Δ和横向挠度f，分别对应轴力T和 切力q，截面转角θ和弯矩m与直梁单元相同。
38
设任一单元e，两个节点为i、j，在局部坐标系内，6个节 点位移分量和6个节点力分量可用列阵表示。
称单元节点位移，
称单元节点力。
易知，在局部坐标系内，在小变形情况下，轴向位移Δ只 与轴力T有关，弯曲位移f、 θ只与弯曲力q、 m有关。因 此，可分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵来 分析单元位移与受力的关系。
39
弯曲变形
和直梁
一样。
40
轴向变形 在弹性范围内，轴向变形和载荷成正比关系。
根据刚度矩阵元素的物理意义和直杆拉伸理论可求出 中的各元素， 当Δi=1， Δj=0时， 同理，
根据节点2的平衡条件，可得
简写为：
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由连续性条件 节点3同理可得： 节点1、4只连接一个单元，节点载荷就等于节点力。
32
将上述4个式子合并可得：
简写为：
单元刚阵为4×4的方阵，在叠加成8×8的结构总刚阵时， 要把具有相同下标的刚阵元素或子矩阵相加在一起，因 此要把4×4的单元刚阵扩大成8×8的方阵。
结构的有限元分析涉及力学原理、数学方法和计算机程序设计等 几个方面，诸方面互相结合才能形成这一完整的分析方法。 对于不同的结构，采用的单元是不相同的，但各种单元的分析方 法又是一致的。掌握一种典型结构(如平面问题)的有限元分析方 法，就可以举一反三，推广到各种结构。
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第一章 杆件结构
1.1 直梁 1.2 平面刚架 1.3 空间杆结构
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1.2 平面刚架
1.2.1 单元与节点
平面刚架在平面内承受载荷，并发生变形。当载荷都集中在 节点上时，可将每根杆件看成一个单元，各杆件的交点作为 节点。图示平面刚架26个单元，13个节点。 每个节点的位移有三项，水平位移u，铅垂位移v和截面转角θ。 节点位移列阵为：
相应每个节点的载荷也有三项，水平力X，铅垂力Y和力偶M。 节点载荷列阵为：