第一章有限元法杆件结构
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杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
e
外力势能 V u
e
e T
fe
e
1 e T e e e T 总势能 U V u K u u f e 2
e e
§1-1 拉(压)杆单元
1 e T e e e T U V u K u u f e 2
e e e
根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件
空间杆单元坐标变换矩阵
0 T 0
单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有
K e T T K ' T
e
矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵 中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。
§1-2 扭转杆单元
结点位移向量θe i , j
T
结点力向量
平衡关系
杆单元结点力向量
f U i
e
Uj
T
单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态 的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的 刚度方程。 最小势能原理：在满足连续条件和边界条件的位移中，满足 平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。 单元总势能
e U e V e
M e Mi , M j
T
杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角 ( x) 在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单 的单元位移函数可以设为
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
空间杆件结构的有限单元法.
第二章 空间杆件结构的有限单元法 第一节 局部坐标系下的单元分析图2-1 所示为空间刚架中的仁一杆件单元。
选取局部坐标系时，去形心轴为x 轴，哼截面的主轴分别为坐标系的y 轴和z 轴。
x 、y 、z 轴的方向按右手定则确定。
这样，单元在x y 平面内的位移与x z 平面内的位移是彼此独立的。
设杆截面面积为A ，在x z 平面内的抗弯刚度为y EI ，线刚度lEI i y y =；在x y 平面内的抗弯刚度为x EI ，线刚度lEI i xx =；杆件的抗扭刚度为lGJ。
空间刚架单元的两端分别与结点I 和j 相联结。
每一个结点有六各界点位移分量和六个结点力分量。
在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵eδ和杆端力列阵eF 分别为[]Tzj zjxj j j jziyi xi i i ie w v u w v u θθθθθθδ=[]Tzjyj xjjjjziyixiiiie M M M Z Y X M M M Z Y X F =其中u 为轴向位移，w v 、为横向位移，x θ为杆件的扭转角，z y θθ、分别为绕y 轴和z 轴弯曲时的转角；X 为杆件单元的轴力，Z Y 、分别为沿y 轴和z 轴作用的剪力，z y x M M M 、、为作用在杆端的力偶矩。
这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭头表示；力和线位移的指向用单箭头表示。
图2-1中所示的杆端力和杆端位移为正方向。
与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移eδ中的一个分量为1，而其余分量均为零时的杆端力。
图2-2所示为当单元○e 的i 端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。
图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。
图2-1依同样方法可以确定当单元j 端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。
当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，以矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡zj yj xj j j j zi yi xi i i i z z z z y y y y y y y y z z z z z z z z y y y y y y y y z z z z zj yj xj j j j zi yi xi i i i w v u w v u l EI l EI lEI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJ l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EAl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA lEAM M M Y X M M Z Y X θθθθθθ 40602060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323（2-1）式（2-1）可以简写为e e e k F δ= （2-2）其中单元刚度矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------------=l EI l EI lEI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJ l EI l EI l EI l EI l EI lEI l EI l EI l EA l EAl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l GJ l GJl EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA lEAk z z z z y y y y y y y y z z z z z z z z y y y y y y y y z z z z e 40602060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323 （2-3）式（2-3）为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。
杆件结构的有限元法
F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k
k u1 k u2
弹簧的节点力向量和节点位移向量
F
F1 F 2
u
u1 u 2
1
2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2
单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）
2012/5/24
杆件结构的有限元法
杆件结构的有限元法
单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度
基本概念
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k
已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1
4
2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件结构的单元划分、节点定义
节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件的力与变形关系
等效刚度
F
A E u L
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆件系统有限单元法
e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
8 杆系结构的有限元法-1
{Fpx }
e xj xi
p x l 1 1 ( x j x) p x dx l ( xi x ) 2 1
e N Pj j 1 l
1 [ N ] [( x j x ) ( xi x )] l
集中力引起： P
j
其中：Pj —— 沿杆轴线方向集中力大小
2014/5/22 杆件问题有限元分析-桁架结构 19
单元分析
x2
c 课 x1 类似地，可得 3 结点轴力杆单元： 件 仅 u1 1 供 复 1 习 3 或 u N i u i N e N N N N 学 1 2 3 i 1 习 用 1 (1 ), 2 N N ( 1 ), N 3 1 ， 2 2 请 应变矩阵： 勿 dN1 dN 2 dN 3 dN dN1 它 用 B LN
x
2 l u2
1
2 1
u1 u2 u3
e
3
u3
x
1 (1 ) 2
单元刚度矩阵：
曹 国 华
e l
dx
dx
dx
dx
dN 2 dN 2 d dN 2 d d d dx d l
1 2 EA d N dN d d N d N K B DBdx EA dx 1 l d d 0 0 dx dx
（1）位移模式和形函数 i ·
① 位移模式
px
l
ui
·u
j
x
j
LINK 因为只有 2 个结点，每个结点位移只有 1个自由度，因此 单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
e xj xi
p x l 1 1 ( x j x) p x dx l ( xi x ) 2 1
e N Pj j 1 l
1 [ N ] [( x j x ) ( xi x )] l
集中力引起： P
j
其中：Pj —— 沿杆轴线方向集中力大小
2014/5/22 杆件问题有限元分析-桁架结构 19
单元分析
x2
c 课 x1 类似地，可得 3 结点轴力杆单元： 件 仅 u1 1 供 复 1 习 3 或 u N i u i N e N N N N 学 1 2 3 i 1 习 用 1 (1 ), 2 N N ( 1 ), N 3 1 ， 2 2 请 应变矩阵： 勿 dN1 dN 2 dN 3 dN dN1 它 用 B LN
x
2 l u2
1
2 1
u1 u2 u3
e
3
u3
x
1 (1 ) 2
单元刚度矩阵：
曹 国 华
e l
dx
dx
dx
dx
dN 2 dN 2 d dN 2 d d d dx d l
1 2 EA d N dN d d N d N K B DBdx EA dx 1 l d d 0 0 dx dx
（1）位移模式和形函数 i ·
① 位移模式
px
l
ui
·u
j
x
j
LINK 因为只有 2 个结点，每个结点位移只有 1个自由度，因此 单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
有限单元法及程序设计
1 P1 k ii P2 k 1 ji P3 0 P4 0
1 k ij 2 k1 jj k ii
0
2 k ij 3 k2 jj k ii
k2 ji 0
k3 ji
或 其中
P0 K 0 0
K12 K 22 K 32 K 42 K13 K 23 K 33 K 43
0 1 0 2 3 3 k ii k3 jj 4
（1-37）
（1-38）
1 K14 k ii K 24 k 1 ji K 34 0 K 44 0 1 k ij 2 k1 jj k ii
e
ui vi i u j v j j
e
(1-17)
上式可简写成 其中单元刚度矩阵为
F k
(1-18)
EA EA 0 0 0 0 l l 12EI 6 EI 12EI 6 EI 0 0 l3 l2 l3 l2 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 2 2 0 e l l l l （1-19） k EA EA 0 0 0 0 l l 12EI 6 EI 12EI 6 EI 3 2 0 2 0 l l l3 l 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 0 0 2 l l l2 l 2.单元刚度矩阵的性质 ①每个元素代表单位杆端位移引起的杆端力,任一元素 krs (r、s 取 1 至 6)的物理意 义是第 s 个杆端位移分量等于 1 时,所引起的第 r 各杆端力分量值. ②是对称矩阵,其元素 krs ksr (r s) .
杆系结构的有限元法.最新PPT资料
第章杆系结构的有限元法
结构几何构造的根本知识
结构几何构造的根本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之那么称为几何可变结构或几何不 稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何 构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
两刚片连接规那么
瞬变结构 常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规那 么三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构 是几何不变结构。
根本三角形结构
三刚片规那么示意图
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析例如 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
结构示意图
自由度为零，应是几何不变结构。
空间点与根底连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 那么桁架的自由度W 为
平面桁架
空间桁架
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算
其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。
计算结果有三种可能：
a. W＞0 Байду номын сангаас明结构缺少必要的约束， 可运动， b. 故结构必定是几何可变体系。
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。
结构几何构造的根本知识
结构几何构造的根本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之那么称为几何可变结构或几何不 稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何 构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
两刚片连接规那么
瞬变结构 常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规那 么三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构 是几何不变结构。
根本三角形结构
三刚片规那么示意图
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析例如 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
结构示意图
自由度为零，应是几何不变结构。
空间点与根底连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 那么桁架的自由度W 为
平面桁架
空间桁架
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算
其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。
计算结果有三种可能：
a. W＞0 Байду номын сангаас明结构缺少必要的约束， 可运动， b. 故结构必定是几何可变体系。
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装置，即限制结构运动的装置。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。
杆件结构有限单元法
广西大学土木建筑工程学院
COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE
第2章 杆件结构分析的有限单元法
2.1 结构离散 2.2 单元的刚度矩阵 2.3 坐标变换 2.4 结构刚度方程
2.5 支座约束处理
2.6 刚度方程求解及内力计算 例1. 桁架结构计算示例 例2. 刚架结构计算示例
矩阵表示： Fxi EA l F 0 yi EA Fxj l 0 F yj
0 EA l 0 0 0 EA l 0 0
0
0 0
0
ui v i u j v j
单元刚度矩阵（方法二）
2）轴向拉压杆（链杆）单元的位移的函数
u( x) 1 2 x
由单元结点位移，代入位移函数中确定待定系数项：
x 0, u ui ;
1 ui ,
2.1 结构离散
平面刚架的梁单元e：
i ui j
e Fi e Fxi Fj
e
vi i
Fyi Mi
uj
Fxj
vj j
Fyj
T
F
e
M j
T
平面桁架的链杆单元e：
e
i ui j
(e ) K ii (e ) K ji (e ) K ij K (jje)
K (e)
(e ) K 单元刚度矩阵常用子块形式表示:
其中每个都是3×3的方阵，子块 Kij(e) 表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。
16 返回
COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE
第2章 杆件结构分析的有限单元法
2.1 结构离散 2.2 单元的刚度矩阵 2.3 坐标变换 2.4 结构刚度方程
2.5 支座约束处理
2.6 刚度方程求解及内力计算 例1. 桁架结构计算示例 例2. 刚架结构计算示例
矩阵表示： Fxi EA l F 0 yi EA Fxj l 0 F yj
0 EA l 0 0 0 EA l 0 0
0
0 0
0
ui v i u j v j
单元刚度矩阵（方法二）
2）轴向拉压杆（链杆）单元的位移的函数
u( x) 1 2 x
由单元结点位移，代入位移函数中确定待定系数项：
x 0, u ui ;
1 ui ,
2.1 结构离散
平面刚架的梁单元e：
i ui j
e Fi e Fxi Fj
e
vi i
Fyi Mi
uj
Fxj
vj j
Fyj
T
F
e
M j
T
平面桁架的链杆单元e：
e
i ui j
(e ) K ii (e ) K ji (e ) K ij K (jje)
K (e)
(e ) K 单元刚度矩阵常用子块形式表示:
其中每个都是3×3的方阵，子块 Kij(e) 表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。
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杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
杆件结构的有限元法
F1b u1 0
k
u 2 F2b
B B1
〔2〕只有结点2可以变形，节点1固定，此时有：
F2b k u2 由力的平衡F有 1b ： F2b 0 则：F2b F1b ku2
第10页，共35页。
F1
u1
k
A A1
(3)据迭加原理，结果为：
u2
F2
B B1
作用在节1上 点的合F力 1 F1a F1b 作用在节2上 点的合F力 2 F2a F2b 或FF21kku1u1kku2u2
令sin,cos，则节点力的变为换：关系
Fx1 FFxy21 Fy2
0
0
0 0
0 0
0Fx1
0FFFxyy212
第27页，共35页。
简写为： F T F , ( 2 13 )
T 为变换矩阵。
相对于位移有： T
( 2 14 )
把（ 2 13）代入（ 2 12 ）有：
C
D 统，要确定在力的作用下，结
点BCDE处的变形，以便计算
出各杆件的内应力及各杆的轴
向力，可以假设整个杆件系统
B
E 具有和单根杆一样的刚度，不
过此时的刚度应采用矩阵来表
示，同样各点的位移及力都用
矩阵表示。即：
A
F
{F}[k]{}
第5页，共35页。
{F}[k]{}
重点：式中[K]为多少阶？如何求出？
第2页，共35页。
简单拉〔压〕杆的受力特点为作用在直杆上的外力〔体力、面力〕合力 的作用线一定与杆的轴线重合，如下图。
第3页，共35页。
以弹簧为例： 弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡 克定律，并且它们之间是线性关系，直线的斜
3 杆系结构有限元法解析
知道单个弹簧的刚度矩阵－－直接叠加 出多个串联系统的总刚度矩阵。
知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵
对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：
FF12
ka ka
ka ka
பைடு நூலகம்u12
FF32
kb kb
F2a F1a kau1
由于u1＝ u2＝0，没有力作用于节点3，因此， F3a 0
2) 只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个 弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与
弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧 2-3 有压力kbu2
F2b ka kb u2
3 杆系结构有限元法
杆系结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方
向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、 支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。
是在节点处通过铆接、焊接或用其他方法把若干个杆 件连接起来组成一个能共同承担外部载荷的结构。石油工 程中的井架、管汇结构等。
杆件结构可分为桁架和刚架两种
节点1处的合力 节点2处的合力
节点3处的合力
F1 kau1 F2 kau1 F3 0
kau2 kau2 kbu2 kbu2
0 kbu3 kbu3
ka
K ka
0
ka ka kb
kb
0
kb
kb
对成、奇异矩阵
（2－8）
用同样的方法可以求解具有更多个弹簧 的串连系统，推导过程乏味。
挖掘机
桥梁
鸟巢
知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵
对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：
FF12
ka ka
ka ka
பைடு நூலகம்u12
FF32
kb kb
F2a F1a kau1
由于u1＝ u2＝0，没有力作用于节点3，因此， F3a 0
2) 只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个 弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与
弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧 2-3 有压力kbu2
F2b ka kb u2
3 杆系结构有限元法
杆系结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方
向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、 支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。
是在节点处通过铆接、焊接或用其他方法把若干个杆 件连接起来组成一个能共同承担外部载荷的结构。石油工 程中的井架、管汇结构等。
杆件结构可分为桁架和刚架两种
节点1处的合力 节点2处的合力
节点3处的合力
F1 kau1 F2 kau1 F3 0
kau2 kau2 kbu2 kbu2
0 kbu3 kbu3
ka
K ka
0
ka ka kb
kb
0
kb
kb
对成、奇异矩阵
（2－8）
用同样的方法可以求解具有更多个弹簧 的串连系统，推导过程乏味。
挖掘机
桥梁
鸟巢
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• 将连续体分割成有限个分区或单元 • 用标准方法对每个单元提出一个近似解 • 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
9
有限单元法方程的三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极值问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元法方程，是一种近 似解法。
简记为： [k]e为e单元的刚度矩阵，简称单元刚阵。
23
单元刚阵[k]e中任一元素的物理意义
将梁单元的4项节点位移分量另记为u1、u2、u3和u4， 4项节点力分量另记为s1、s2、s3和s4。
当某一项位移分量ul为1，其余位移分量都为0时， 可得到一组节点力。 由功的互等定理(反力互等定理)
24
4
发展历史
• 两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料 力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问 题等。
• 两类问题的对比
第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂 的离散系统，要依靠计算机技术。 第二类问题称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程 和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际 的工程问题，需要用近似算法求解。
10
二、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
11
工程问题有限单元法分析流程
12
三、有限元软件和工程实例 有限元软件
有限元软件包括专用的和通用的两大类。 专用有限元软件：桥梁博士Dr. Bridge；Midas等。 通用有限元软件：Ansys；Aba1 节点位移和节点载荷
一简单的变截面梁，作用有一个集中力Z和一个集中 力偶M，可简化为有3个单元和4个节点的计算模型。
按平截面假设，梁发生弯曲变形时，截面的位移包 括截面中性轴处的挠度f和截面的转角θ，这两项位 移也就是节点处位移的两个分量。
20
任一节点处位移可用一个位移列阵表示 对应于节点位移，任一节点的载荷也可用一个载荷列 阵表示。 fi和Zi以向上为正， θi和Mi以逆时针为正(坐标轴正向)。 对于划分有n个节点的梁，一共有2n个节点位移分量 和2n个节点载荷分量，分别记为各有2n个分量的矢量 {δ}和{Q} 。非节点荷载要经过处理和转换到节点上去。 为解决直梁弯曲问题，可先求出在全部节点载荷{Q}作 用下引起的全部节点位移{δ}，进而在求出单元内的位 移和内力。为此要建立两者之间的关系。
33
单元刚阵和结构总刚阵均为对称矩阵。结构总刚阵为稀疏阵， 非零元素集中在主对角线附近。 一根梁划分为m个单元，n个节点，则结构分析矩阵位移法的 基本方程有2n个，结构的总刚度矩阵[K]为2n×2n的对称方阵， 是由m个单元刚度矩阵叠加而成。 单元刚阵元素反映出单元发生某种单位节点位移时，单元抵 抗这种变形的能力；结构总刚阵元素反映出结构发生某种单 位节点位移时，结构抵抗这种变形的能力。结构由单元组成， 34 因此，结构总刚阵就应该由单元刚阵叠加而成。
21
1.1.2 单元弹性特征-单元刚度矩阵
先分析单个单元上节点力和节点位移之间的联系。
e单元i、j节点位移分别为 e单元i、j节点力分别为
e单元的节点位移是一个有4个分量的矢量 e单元的节点力也是一个有4个分量的矢量
22
在弹性范围内、小变形情况下，e单元两段的节点力 {p}e和节点位移{δ}e之间有线性关系，用矩阵表示：
根据节点2的平衡条件，可得
简写为：
31
由连续性条件 节点3同理可得： 节点1、4只连接一个单元，节点载荷就等于节点力。
32
将上述4个式子合并可得：
简写为：
单元刚阵为4×4的方阵，在叠加成8×8的结构总刚阵时， 要把具有相同下标的刚阵元素或子矩阵相加在一起，因 此要把4×4的单元刚阵扩大成8×8的方阵。
5
• 有限单元法的形成
在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两条不同的路 线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直 接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中 所获得的成果。
6
• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。 • 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约 举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推 广到求解平面应力问题。 • 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语。 • 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分 原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有 限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不 同变分原理导出的有限元计算公式。 • 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写 成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同 步骤求解。 • 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
注意， 是一个数， 是一个2×2的子矩阵，而0则为一个 行阵或列阵，各包含两个零元素。
44
1.2.3 单元刚阵的坐标转换
不同于直梁结构，刚架结构中不同的刚架单元可能不是共轴 线的，这样将会有多个不同的局部坐标系。为建立整个结构 的刚度矩阵，需要在一个共同的坐标系内建立平衡方程，从 而才能够叠加。因此，在局部坐标系内建立的刚架单元刚阵 应先经过相应的坐标转换，转到共同的坐标系内，才能叠加 起来组成结构的整体刚度矩阵。 xoy为统一直角坐标系，x’oy’为局部坐标系 i节点在局部坐标系中位移为 i节点在统一坐标系中位移为
结构的有限元分析涉及力学原理、数学方法和计算机程序设计等 几个方面，诸方面互相结合才能形成这一完整的分析方法。 对于不同的结构，采用的单元是不相同的，但各种单元的分析方 法又是一致的。掌握一种典型结构(如平面问题)的有限元分析方 法，就可以举一反三，推广到各种结构。
18
第一章 杆件结构
1.1 直梁 1.2 平面刚架 1.3 空间杆结构
A为杆件截面积，l为单元长度，E为弹性模量。
41
由此可得直杆单元轴向变形的刚度矩阵
把 与 合并，可得到平面刚架杆单元在局部坐标 系下的刚度方程。
简写为
42
平面刚架杆单元对局部坐标系的单元刚阵为 为6×6的 对称方阵，且弯曲变形和轴向变形两者间互不关联，两者 不耦合。写成分块形式如下：
43
单元刚阵子块
称单元节点位移，
称单元节点力。
易知，在局部坐标系内，在小变形情况下，轴向位移Δ只 与轴力T有关，弯曲位移f、 θ只与弯曲力q、 m有关。因 此，可分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵来 分析单元位移与受力的关系。
39
弯曲变形
和直梁
一样。
40
轴向变形 在弹性范围内，轴向变形和载荷成正比关系。
根据刚度矩阵元素的物理意义和直杆拉伸理论可求出 中的各元素， 当Δi=1， Δj=0时， 同理，
1.1.4 边界约束
这根梁3个单元、4个节点、8个自由度，8个方程联立。 5个未知位移分量，3个未知约束反力，共8个未知量， 方程组可以求解。 在未进行边界约束之前，梁的结构刚度方程无法求解， 因为结构还有刚体位移尚未消除。当梁具有足够的约束 时，可以求解该方程组，得出未知位移，进而求出梁的 内力和反力。
为分析方便，采用如图局部坐标系， 沿杆轴为局部坐标轴x’，另一坐标 轴y’ 逆时针旋转90°垂直x’轴。
节点线位移为轴向位移Δ和横向挠度f，分别对应轴力T和 切力q，截面转角θ和弯矩m与直梁单元相同。
38
设任一单元e，两个节点为i、j，在局部坐标系内，6个节 点位移分量和6个节点力分量可用列阵表示。
7
• 我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计 算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最 早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
8
• 有限单元法的基本思路
35
1.2 平面刚架
1.2.1 单元与节点
平面刚架在平面内承受载荷，并发生变形。当载荷都集中在 节点上时，可将每根杆件看成一个单元，各杆件的交点作为 节点。图示平面刚架26个单元，13个节点。 每个节点的位移有三项，水平位移u，铅垂位移v和截面转角θ。 节点位移列阵为：
相应每个节点的载荷也有三项，水平力X，铅垂力Y和力偶M。 节点载荷列阵为：
e单元长l，弹性模量E，截面惯性矩J 当u1=1，ui=0 (i=2、3、4)时，根据梁的变形公式(刘鸿文 材料力学，上册，p224)或矩阵位移法 李廉锟 结构力学
-
可求出 由平衡条件
9
有限单元法方程的三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元 性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极值问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元法方程，是一种近 似解法。
简记为： [k]e为e单元的刚度矩阵，简称单元刚阵。
23
单元刚阵[k]e中任一元素的物理意义
将梁单元的4项节点位移分量另记为u1、u2、u3和u4， 4项节点力分量另记为s1、s2、s3和s4。
当某一项位移分量ul为1，其余位移分量都为0时， 可得到一组节点力。 由功的互等定理(反力互等定理)
24
4
发展历史
• 两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料 力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问 题等。
• 两类问题的对比
第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂 的离散系统，要依靠计算机技术。 第二类问题称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程 和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际 的工程问题，需要用近似算法求解。
10
二、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
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工程问题有限单元法分析流程
12
三、有限元软件和工程实例 有限元软件
有限元软件包括专用的和通用的两大类。 专用有限元软件：桥梁博士Dr. Bridge；Midas等。 通用有限元软件：Ansys；Aba1 节点位移和节点载荷
一简单的变截面梁，作用有一个集中力Z和一个集中 力偶M，可简化为有3个单元和4个节点的计算模型。
按平截面假设，梁发生弯曲变形时，截面的位移包 括截面中性轴处的挠度f和截面的转角θ，这两项位 移也就是节点处位移的两个分量。
20
任一节点处位移可用一个位移列阵表示 对应于节点位移，任一节点的载荷也可用一个载荷列 阵表示。 fi和Zi以向上为正， θi和Mi以逆时针为正(坐标轴正向)。 对于划分有n个节点的梁，一共有2n个节点位移分量 和2n个节点载荷分量，分别记为各有2n个分量的矢量 {δ}和{Q} 。非节点荷载要经过处理和转换到节点上去。 为解决直梁弯曲问题，可先求出在全部节点载荷{Q}作 用下引起的全部节点位移{δ}，进而在求出单元内的位 移和内力。为此要建立两者之间的关系。
33
单元刚阵和结构总刚阵均为对称矩阵。结构总刚阵为稀疏阵， 非零元素集中在主对角线附近。 一根梁划分为m个单元，n个节点，则结构分析矩阵位移法的 基本方程有2n个，结构的总刚度矩阵[K]为2n×2n的对称方阵， 是由m个单元刚度矩阵叠加而成。 单元刚阵元素反映出单元发生某种单位节点位移时，单元抵 抗这种变形的能力；结构总刚阵元素反映出结构发生某种单 位节点位移时，结构抵抗这种变形的能力。结构由单元组成， 34 因此，结构总刚阵就应该由单元刚阵叠加而成。
21
1.1.2 单元弹性特征-单元刚度矩阵
先分析单个单元上节点力和节点位移之间的联系。
e单元i、j节点位移分别为 e单元i、j节点力分别为
e单元的节点位移是一个有4个分量的矢量 e单元的节点力也是一个有4个分量的矢量
22
在弹性范围内、小变形情况下，e单元两段的节点力 {p}e和节点位移{δ}e之间有线性关系，用矩阵表示：
根据节点2的平衡条件，可得
简写为：
31
由连续性条件 节点3同理可得： 节点1、4只连接一个单元，节点载荷就等于节点力。
32
将上述4个式子合并可得：
简写为：
单元刚阵为4×4的方阵，在叠加成8×8的结构总刚阵时， 要把具有相同下标的刚阵元素或子矩阵相加在一起，因 此要把4×4的单元刚阵扩大成8×8的方阵。
5
• 有限单元法的形成
在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两条不同的路 线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直 接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中 所获得的成果。
6
• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。 • 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约 举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推 广到求解平面应力问题。 • 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语。 • 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分 原理和加权余量法。 • 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有 限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不 同变分原理导出的有限元计算公式。 • 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写 成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同 步骤求解。 • 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
注意， 是一个数， 是一个2×2的子矩阵，而0则为一个 行阵或列阵，各包含两个零元素。
44
1.2.3 单元刚阵的坐标转换
不同于直梁结构，刚架结构中不同的刚架单元可能不是共轴 线的，这样将会有多个不同的局部坐标系。为建立整个结构 的刚度矩阵，需要在一个共同的坐标系内建立平衡方程，从 而才能够叠加。因此，在局部坐标系内建立的刚架单元刚阵 应先经过相应的坐标转换，转到共同的坐标系内，才能叠加 起来组成结构的整体刚度矩阵。 xoy为统一直角坐标系，x’oy’为局部坐标系 i节点在局部坐标系中位移为 i节点在统一坐标系中位移为
结构的有限元分析涉及力学原理、数学方法和计算机程序设计等 几个方面，诸方面互相结合才能形成这一完整的分析方法。 对于不同的结构，采用的单元是不相同的，但各种单元的分析方 法又是一致的。掌握一种典型结构(如平面问题)的有限元分析方 法，就可以举一反三，推广到各种结构。
18
第一章 杆件结构
1.1 直梁 1.2 平面刚架 1.3 空间杆结构
A为杆件截面积，l为单元长度，E为弹性模量。
41
由此可得直杆单元轴向变形的刚度矩阵
把 与 合并，可得到平面刚架杆单元在局部坐标 系下的刚度方程。
简写为
42
平面刚架杆单元对局部坐标系的单元刚阵为 为6×6的 对称方阵，且弯曲变形和轴向变形两者间互不关联，两者 不耦合。写成分块形式如下：
43
单元刚阵子块
称单元节点位移，
称单元节点力。
易知，在局部坐标系内，在小变形情况下，轴向位移Δ只 与轴力T有关，弯曲位移f、 θ只与弯曲力q、 m有关。因 此，可分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵来 分析单元位移与受力的关系。
39
弯曲变形
和直梁
一样。
40
轴向变形 在弹性范围内，轴向变形和载荷成正比关系。
根据刚度矩阵元素的物理意义和直杆拉伸理论可求出 中的各元素， 当Δi=1， Δj=0时， 同理，
1.1.4 边界约束
这根梁3个单元、4个节点、8个自由度，8个方程联立。 5个未知位移分量，3个未知约束反力，共8个未知量， 方程组可以求解。 在未进行边界约束之前，梁的结构刚度方程无法求解， 因为结构还有刚体位移尚未消除。当梁具有足够的约束 时，可以求解该方程组，得出未知位移，进而求出梁的 内力和反力。
为分析方便，采用如图局部坐标系， 沿杆轴为局部坐标轴x’，另一坐标 轴y’ 逆时针旋转90°垂直x’轴。
节点线位移为轴向位移Δ和横向挠度f，分别对应轴力T和 切力q，截面转角θ和弯矩m与直梁单元相同。
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设任一单元e，两个节点为i、j，在局部坐标系内，6个节 点位移分量和6个节点力分量可用列阵表示。
7
• 我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计 算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最 早奠定其理论基础。--《数学辞海》第四卷
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• 有限单元法的基本思路
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1.2 平面刚架
1.2.1 单元与节点
平面刚架在平面内承受载荷，并发生变形。当载荷都集中在 节点上时，可将每根杆件看成一个单元，各杆件的交点作为 节点。图示平面刚架26个单元，13个节点。 每个节点的位移有三项，水平位移u，铅垂位移v和截面转角θ。 节点位移列阵为：
相应每个节点的载荷也有三项，水平力X，铅垂力Y和力偶M。 节点载荷列阵为：
e单元长l，弹性模量E，截面惯性矩J 当u1=1，ui=0 (i=2、3、4)时，根据梁的变形公式(刘鸿文 材料力学，上册，p224)或矩阵位移法 李廉锟 结构力学
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可求出 由平衡条件