自适应匹配滤波方法

输出 m0 (t) 比期望输出 d (t) 小很多时，则产生更大的误差。下面用向量分解图示 来说明这个问题，图 4.2 中是滤波后输出和期望输出三种不正交情况下的最小
s ： min d − Ms 2 上式对 s 求偏微商，并令其等零，则
M T Ms = M T d ，
（4-2-1-3） （4-2-1-4a）
或s = MTd MTM
（4-2-1-4b）
在实际求解中，可以使用（4-2-1-4b）式直接计算出滤波器 s ，但其中涉 及矩阵 M T M 的求逆。更好的办法是解线性方程组（4-2-1-4a），向量 M T d 是 多次波模型 m(t) 和地震记录 d (t) 的 l 延迟互相关，矩阵 M T M 是多次波模型 m(t) 的 l 延迟自相关，矩阵 M T M 是一个 teoplitz 矩阵，因此线性方程组（4-2-1-4a） 可以用莱文森方法快速求解。
⋅
d
(n)
向量 d~ 是线性相关的，即对于 l 个不全为零的数 a(1), a(2),L, a(l) ，有
q
=
a(1)
⋅
~ d (1)
+
a(2)
⋅
~ d (2)
+
L
+
a(l)
⋅
~ d (l)
=
0
（4-2-9）
如果
q
≠
0
，则向量
d~
是线性无关的，则
r([M~
,
~ d ])
>
M~
的列数，即方程组
（4-2-7）是超定的，方程组的解不唯一。而 q 正好就是 d (t) 与 m0 (t) 的内积， 因此，上述正交性条件：期望数据 d (t) 和滤波后输出 m0 (t) 是正交的是自适应匹 配滤波能够得到唯一解的必要条件。
最小二乘自适应匹配滤波。
设 d (t) (t = 1,2,L, n) 为单道地震记录， m(t) (t = 1,2,L, n) 为通过反馈迭代方
法预测得到的该道地震记录的多次波模型， d0 (t) (t = 1,2,L, n) 为地震记录中的 一次反射波，m0 (t) (t = 1,2,L, n) 为地震记录中的多次波，如果 m0 (t) = m(t) ∗ a(t) ， 即多次波模型 m(t) 通过自适应滤波器 s(t) (t = 1,2,L,l) 后实际输出为地震记录
4．2 最小二乘方法自适应匹配滤波的方法原理
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博士学位论文
复杂介质多次波处理方法研究
在讨论最小二乘方法自适应匹配滤波之前，首先来考查一下求 2 范数最小
（即最小二乘）得到是一个什么样的解。用一个简单例子来说明这个问题，设
x = [x1, x2 ,L, xN ] 为一组任意数， m 与 xi 之差的 2 范数最小表示为
单道最小二乘自适应匹配滤波要求输入的地震数据满足上文所提到的两个
隐含假设条件，否则应用（4-2-1-4）式求解得到的自适应滤波器是有误差的；，
一方面，误差的大小决定于地震数据 d (t) 和其中多次波 m0 (t) 的正交性，当它们 是正交的，求解是正确的，地震数据向量 d (t) 和其中多次波向量 m0 (t) 的交角偏 离正交越大，则求解误差越大；另一方面，如果参与自适应匹配滤波的滤波后
应匹配不能得到正确的解。下面解释为什么不满足上述两个条件不能得到正确
的最小二乘解：
设 M~
=
MTM
，
~ d
=
MTd
，则
M~a = d~
（4-2-7）
上式有唯一解的充分必要条件是 r([M~ , d~]) = r(M~ ) = M~ 的列数，r([M~ , d~]) 表
示增广矩阵[M~ , d~]的秩，r(M~ ) 表示矩阵 M~ 的秩。如果满足条件 r(M~ ) = M~ 的列
，
（4-2-8）
其中， d~(1) = m(1) ⋅ d (1) + m(2) ⋅ d (2) +L+ m(n) ⋅ d (n) ，
~ d (2)
=
m(1)Biblioteka ⋅d(2)
+
m(2)
⋅
d
(3)
+L
+
m(n
−1)
⋅
d
(n)
，
~ d (l)
=
m(1)
⋅
d
(l)
+
m(2)
⋅
d
(l
+ 1)
+L+
m(n
−
l
+ 1)
4．1 引言
自适应滤波器通常是根据地震记录减去多次波记录后的残差来设计，如果 求的是残差的能量最小，即求残差的 2 范数最小，则这样的自适应滤波称为最 小二乘自适应滤波；而如果求残差的 1 范数最小，则这样的自适应滤波称为中 值自适应滤波。当然还可以采用其它的准则，但对于多次波的匹配问题，这两 种准则是比较好的选择，匹配效果好，易于实现，求解稳定，而且计算效率高。
小二乘解是求了这两个向量之间的一个平均值。
对于本文中所要说明的最小二乘自适应匹配滤波，求取最小二乘自适应匹
配滤波器同样是得到一个平均意义下的解，下面来说明这个问题。设
d (t) (t = 1,2,L, n) 为期望输出，m(t) (t = 1,2,L, n) 为实际输入，a(t) (t = 1,2,L,l) 为最小二乘自适应滤波器，实际输入 m(t) 通过自适应滤波器 a(t) 后的输出为
a(t) ： min d (t) − m(t) ∗ a(t) 2
（4-2-4）
⎜⎛ m(1)
0
0
0 ⎟⎞
⎜ m(2) m(1) 0
0⎟
设矩阵
M
=
⎜ ⎜ m(3)
m(2)
O
⎜
M m(1)
⎟ ⎟
，则上式向量褶积可写为矩阵
⎟
⎜M
MO
M⎟
⎜⎝ m(n) m(n −1) L m(n − l +1)⎟⎠
乘向量形式
中的多次波 m0 (t) ，自适应滤波器 s(t) 与地震子波有关，则有
d0 (t) = d (t) − m(t) ∗ s(t)
（4-2-1-1）
按照消除多次波后的地震记录取得最小能量的准则，自适应滤波器 s(t) 的
求取通过求（4-2-1-1）式的最小二乘解（2 范数解）来得到，即
s(t) ： min d (t) − m(t) ∗ s(t) 2
a ： min d − Ma 2
（4-2-5）
上式对 a 求偏微商，并令其等于零，则
M T Ma = M T d ，
（4-2-6ａ）
或a = MTd MTM
（4-2-6ｂ）
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第四章 基于波动方程预测的自适应匹配滤波方法
上式中 M T M 表示多次波模型 m(t) 的 l 延迟自相关， M T d 表示多次波模型
（4-2-1-2）
⎜⎛ m(1)
0
0
0 ⎟⎞
⎜ m(2) m(1) 0
0⎟
设矩阵
M
=
⎜ ⎜ m(3)
m(2)
O
⎜ ⎜
M
MO
M
m(1) M
⎟ ⎟
，则上式向量褶积可写为矩阵
⎟
⎟
⎜⎝ m(n) m(n −1) L m(n − l +1)⎟⎠
乘向量形式
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第四章 基于波动方程预测的自适应匹配滤波方法
N
∑ m : min (m − xi )2 i =1
（4-2-1）
求出关于 m 的偏微商，并令其等于零，则得到 m 的最小二乘解
∑ m =
1 N
N i =1
xi
（4-2-2）
很显然可以看到， m 关于 x 的最小二乘解就是求的 x 的平均值。因此可以
得到这样一个结论：求一个向量 a 关于另一个向量 b 的误差能量最小得到的最
m(t) 与地震数据 d (t) 的 l 延迟互相关。自相关是得到一个与能量相关的矩阵，显
然（4-2-6ｂ）式是一个平均意义下的解。
上述最小二乘求解有两个隐含的假设条件：（1）期望输出 d (t) 和滤波后输
出 m0 (t) 是正交的（即两向量 d (t) 和 m0 (t) 的内积为 0），称之为正交性条件；（2） 期望输出 d (t) 的最小能量能够被找到，即期望输出 d (t) 与滤波后输出 m0 (t) 相交 及附近区域 d (t) 的值不能比 m0 (t) 的值大太多，称之为大值条件。如果上述两个 条件其中之一不能得到满足，则上述最小二乘求解不能得到唯一解，也即自适
m0 (t) (t = 1,2,L, n) ， d0 (t) (t = 1,2,L, n) 为期望输出 d (t) 与自适应滤波后输出 m0 (t) 之差，则有
d0 (t) = d (t) − m(t) ∗ a(t)
（4-2-3）
自适应滤波器 a(t) 的求取是通过求（4-2-3）式的最小二乘解来得到，即
自适应配滤波根据其是在频率域还是在时间域实现，可分为频率域自适应 匹配滤波和时间域自适应匹配滤波。通常频率域自适应匹配滤波比时间域自适 应匹配滤波要复杂，因为在其自适应匹配滤波器求解中要涉及非线性优化问题， 而时间域自适应匹配滤波更容易操作，且求解快、稳定；因此本文选择在时间 域做自适应匹配滤波。
自适应匹配滤波根据是单道还是多道实现，又可以将其分为：单道自适应 匹配滤波、多道自适应匹配滤波、伪多道自适应匹配滤波、扩展多道自适应匹 配滤波、均衡多道自适应匹配滤波、均衡伪多道自适应匹配滤波等。单道自适 应匹配滤波由于涉及数据量小，所以运算速度快，且容易实现，缺点是当输入 数据存在正交性问题时，会使得求解存在误差而导致匹配效果不好；伪多道自 适应匹配滤波对于输入数据的正交性容忍性比单道要好一些，而且其在波形匹 配上效果比较好；多道自适应匹配滤波也是为改善输入数据的正交性，但实际 上这种匹配方式对输入数据的正交性实质上并没有改善，而且相反导致了自适 应求解的多解性而使得其求解不稳定；扩展多道自适应匹配滤波同样也是为改 善输入数据的正交性而将多道和伪多道自适应匹配滤波结合，但是因为多道自 适应匹配滤波存在的问题，而使得对输入数据的正交性改善比较有限，而相反 因为涉入计算的数据量比较大，所以其计算效率比较低；本文提出的均衡多道 和均衡伪多道自适应匹配滤波在解决正交性问题上有较大改善，取得了较好的 匹配效果，而计算量与单道和拟多道自适应匹配相当。
Versuur(1997)采用时间域单道最小二乘自适应匹配滤波来消除子波因素。
反馈迭代方法可以预测出每一炮的多次波，在前一章中已经看到预测出的
多次波在到时、相位及振幅上和记录中的多次波存在差异，这个差异主要与地
震子波有关，可以通过自适应匹配滤波来消除。如果按每个炮集的每一道记录
和相应多次波模型来进行整道或整道分段最小二乘自适应匹配滤波，称为单道
数，则说明矩阵 M~ 的列向量组是线性无关的，如果满足条件 r([M~ , d~]) = r(M~ ) ，
则说明向量 d~ 可由矩阵 M~ 的列向量组线性表示，即向量 d~ 是线性相关的。
向量
~ d
可写为
~ d
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
~ d (1) ~ d (2)
⎟⎞ ⎟
M ~ d (l
)
⎟ ⎟ ⎟⎠
如果把单道地震记录 d 、记录中一次反射波 d0 及多次波 m0 看作向量，则通 过自适应匹配滤波后，相当于在最小二乘意义下对地震记录 d 向量作如下的正 交分解，
d d0
m0
m
图 4.1 单道匹配最小二乘意义下的地震记录的正交分解 Fig4.1 Sketch map of orthogonal decomposition of single trace least-squares matching
第四章 基于波动方程预测的自适应匹配滤波方法
第四章 基于波动方程预测的最小二乘自适应匹配滤波方法
波动方程方法预测出多次波模型，但预测出来的多次波模型和记录中多次 波是不匹配的，它们在振幅、相位及到时上存在差异，要把记录中的多次波和 预测出多次波模型进行自适应匹配滤波，预测的多次波模型经过自适应匹配滤 波后得到的多次波和记录中的多次波才是一致的，将其从记录中减去，才能达 到压制多次波的目的。
因此得到结论：用最小二乘自适应匹配滤波来求解自适应滤波，要求参与 自适应匹配滤波的滤波后输出 m0 (t) 和期望输出 d (t) 必须同时满足上述两个隐 含的假设条件，否则不能得到唯一正确的自适应滤波器。
4．2．1 单道最小二乘自适应匹配滤波
Versuur(1992)采用的频率域单道最小二乘自适应匹配滤波，Berkhout(1997)，
如果滤波后输出 m0 (t) 的值很小，即方程组（4-2-6ａ）中 Ma 的值很小，而
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博士学位论文
复杂介质多次波处理方法研究
M 是一定的，则 a 的值很小；如果期望输出 d (t) 的值很大，，而 M T 是一定的则 方程组（4-2-6ａ）中 M T d 的值很大；当很小的 a 相对很大的 M T d 可以忽略， 即可将向量 a 的值视为零，对于（4-2-9）式当 a 为零向量时成立，说明向量 d~ 是线性无关的，则方程组（4-2-7）是超定的，方程组的解不唯一。因此，上述 大值条件：期望输出 d (t) 与滤波后输出 m0 (t) 的值相差不是很大也是自适应匹配 滤波能够得到唯一解的必要条件。