正则量子化与积分路径量子化

约束体系量子理论讲座报告

上海科技大学（/xxgk.asp）（郑重提示：由于本报告略写粗糙，请各位参考相应文献，以作斧正）实际上，在量子场论刚建立时，就遇到了约束系统的量子化方法问题。大家知道，人们首先认识到的经典场是麦克斯韦电磁场要建立电磁场及电磁相互作用的微观理论，就需要将其量子化。

目前理论物理界广泛使用的约束系统的量子化方法，主要有两种：一种是由狄拉克( Paul Adrie Maurice Dirac)于1950年开始的工作基础上发展起来的正则量子化方法；另一个是在由1967年法捷耶夫( Ludwig．D．Faddeev，1934 )和波波夫( Victor. Nikolaevich. Popov)的工作开始的用路径积分量子化方法发展起来的方法。

（文中采用自然单位制ħ=c=1）

1. 正则量子化[1]

所谓正则量子化,就是从经典的分析力学出发,加上量子条件使经典体系过渡到量子体系的一种方法。

在经典力学中,设系统的正则坐标为q i；正则动量p i(i=1,2,…,n)。Hamilton 量为

H(q i;p i;t)= H(q i,…,q n;p i,…,p n;t) (1) 正则运动方程为

q i=∂H

∂p i ，p i=∂H

∂q i

(i=1,2,…,n)(2)

任意两力学量u,v, Possion括号为

（u,v）=∑(∂u

∂q i ∂v

∂p i

−∂u

∂p i

∂v

∂q i

)

n

i(3)

由此可导出正则变量的 Poisson括号为

(q i，q i)= 0 ; (p i，p i)= 0 ; (q i，p i)= δij(4)

一般力学量A的运动方程为

A=(A,H)(5)这一套理论完全可以平行地移到量子力学中去。在量子力学中,正则变量q i，

p i以及由它们所构成的力学量H、A、u、v等均是算符,所以,经典Poisson括号要用算符的对易关系的代替。它们的关系为

（u,v）→1

i [û,v̂]=−1

i

(ûv̂−v̂û)(6)

当然这种对应仅适用于有经典对应的力学量算符。

于是,正则变量的对易关系为

[q̂i,q̂j]=0,[p̂i,p̂j]=0, [q̂i,p̂j]=iδij(7) ( 7 )式称为量子条件,它是量子力学最基本的对易关系。

对力学系统的正则变量加上量子条件,就使经典力学过渡到量子力学。这种过渡称为正则量子化。

为找出量子力学中算符满足的运动方程,我们采用He1senberg 绘景。在此绘景中,力学量算符随时间变化,而态矢量则不随时间变化。于是,正则运动方程为

dq̂i dt =1

i

[q̂,Ĥ]=∂Ĥ

∂p̂i

(8-1)

dp̂i dt =1

i

[p̂,Ĥ]=−∂Ĥ

∂q̂i

(8-2)

在意力学量算符Â的运动方程为

dÂdt =

1

i

[Â,Ĥ](9)

可以看出,正则量子化方法充分反映了量子力学与经典力学之间的内在联系。

运用时间演变算符

Û（t, t0）=[-i Ĥ(t−t0)](10)

可将He1senberg绘景转换为Schrödinger绘景。通常初等量子力学均采S绘景。态矢量|ψ>所满足的Schrödinger方程为

i∂∂x |ψ

s

>=Ĥs|ψ

s

>(11)

对于保守系,两绘景中Hamilton相同,通过解定态Schrödinger方程则可求出不同保守系的能量本征值E n及本征态|ψ

n

>,就解决了能量的测量问题。其它力学量的测量也一样。

2. 路径积分量子化[2]

由于波粒二象性,微观粒子不像经典粒子那样具有确定定的运动路径。在通

常Schrödinger 形式的量子力学理论（波动力学）中,放弃了运动路径的概念,而 用量子状态代替它。但是,也可以在进行量子化的时候仍然保留运动路径的概念。这就是Feynman 所发展的路径积分量子化。

（1） 几率振幅与叠加原理

Feynman 假定，各种不同的可能路径都有相等的几率因而几率振幅的绝对 值都相等。只是位相不同。用

S[q( t)]=∫L[q( t)]dt t

t 0

(12)

表示和路径x( t)相应的作用量,则几率振幅为

∅[q( t)]=C ×exp(i ·S[q( t)])

(13)

式中C 为常数，这是Feynman 所提出的量子力学体系的一条基本假设。

另一条基本假设是叠加原理，用K(q 0,q)表示在t 0时刻处于q 0的粒子到t 时刻位于q 的几率振幅，则

K(q 0,q)=∑∅[q( t)]q

q 0

(14)

K(q 0,q)称为传播函数,是q 0到q 的所有路径的振幅求和。按定义，K(q 0,q)的模的平方就是由q 0到q 的几率

P(q 0,q)=|K(q 0,q)|2

(15)

(2) 相继发生的事件

由q 0到q 1和由q 1到q 是两个是相继发生的事件，根据几率的一般原理， 由q 0经q 1到q 的几率应等于由q 0到q 1的几率和由q 1到q 的几率的乘积，因而

几率振幅= K(q 0,q 1) K(q 1,q)

(16)

这里的K(q 0,q 1)和K(q 1,q)分别包含了由q 0到q 1的几率和由q 1到q 的几率的各种可能路径。如果再对q 1所有可能的求积分，就包括了由q 0到q 的各种可能路径和它对应的几率振幅是K(q 0,q)，因而有

K(q 0,q)=∫K(q 0,q 1) K(q 1,q)dq 1

(17)

(3) 路径积分

利用（17）可以写出

K(q 0,q)=∫K(q 0,q 1) K(q 1,q 2)…K (q n−1,q )dq 0 dq 1..,dq n−1 (18)

当∆t (∆t =t i+1−t i )很小时，作用量可以写成