探析一道课本例题的解题教学

比较麻烦 ， 而借助计算机 求解线性规划问题
是一件 十分方便 的事情 ， 下面介绍 用 Ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ 求解前面例 ２的操作方法． ” 这就是说 ， 教材
型卡车 ， 有１ Ｏ 名驾驶员 ， 每辆卡车每天往返
次数为 Ａ型卡车 ４ 次， Ｂ型卡车 ３ 次， 每辆 卡车每天往返的成本 费 Ａ 型车为 ３ ２ ０元， Ｂ 型车为 ５ ０ ４ 元． 试 为该公 司设计调配车辆 的 方案， 使公司花费的成本最低． 这是一个要求变量取整数的线性规划问 题， 可称之为整点线Leabharlann Baidu规划问题． 教材上的处 理步骤是 ： （ １ ） 选取恰 当的变量 ， 建立线性约
到底有多大呢？笔者首先对教材上所有的整 点线性规划问题都用枚举法去逐～解答 了， 是完全可行的． 我校学生所使用的教普资料 上的整点线性规划 问题 也都能用枚 举法解 决， 不仅如此 ， 在一些课外资料上还发现了不 少整点非线性规划 问题 ， 也 同样可用枚举法 解决． 以下试举两例整点非线性规划问题 ， 借 以进一步说明使用枚举法解决整点问题的可 行性 ． 问题 ２ 求不等式 Ｉ ｚ Ｉ ＋ｌ ＹＩ ≤１ ０ ０的整 数解 的个数． 解 由ｘ ＝Ｏ时， ｌ ３ ， Ｉ ≤１ ０ ０ ， 所以 ＝０ ， ±１ ， ±２ ， …， ±１ ０ ０ ， 有２ ０ １ 个； 由ｘ ＝ｌ 时， ｌ Ｙ ｌ ≤９ ９ ， 所 以 一０ ， ±１ ， ±２ ， …， 士９ ９ ， 有１ ９ ９ 个；
编写者也承认如果不使用计算机， 只使用刻 度尺和笔来操作是有 困难 的， 于是不少学生 在寻求整点最优解 时， 出现了上文中的问题 也就不足为奇了． 对 于使用计算机操作 ， 我校 各方面的条件还是不成熟 的， 更何况考试时 学生也无法使用计算机操作 ， 所 以教材中处 理整点问题的方法 ， 虽是通法， 肯定需要让学
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数学教学研 究
第３ ２ 卷第 １ ２ 期
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月
探析 一 道课 本 例题 的解 题 教 学
崔 志荣
（ 江苏省东台市安 丰中学 ２ ２ ４ ２ ２ １ ）
ｌ 一道课本 题 的教 学反思
苏教版数学必修 ５ “ 不等式” 一章 中， 有 样一 道例题 ［ 川：
第３ ２ 卷第 １ ２ 期
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月
数 学教学研究
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型车 Ｙ 辆， 公司花费成本 元， 则约束条件为
＋ ≤１ Ｏ ，
运 用枚举 法 教学解 决 整点 问题 的可行性
ｌ ４ ・ ６ ＋３ ・ ｌ Ｏ ≥１ ８ ０ ， ＿ 《 ０ ≤ ８ ，
由选择的空间呢？ ２ 解题教学的改进
目 标 函数的最小值（ 具体过程详见文Ｅ Ｏ ．
每当笔者讲 到这道例题时 ， 心中都不免 首先 ， 课本 的解题方法仍然要 与学生评 有点纠结 ， 总感到教学效果不尽人意． 而在课 讲 ， 学生必须要掌握通过作 图的手段在可行 后， 学生完成的相关 作业 ， 更是让人 感到不 域中求最优解的方法（ 这是通法 ， 也是将来学
生操作时间过长 ， 而在规定的时间内无法完
并不能从图中体现出来 ， 更没有合理的解释， 后来通过师生交流得知， 很多学生是代人 了
多个整点检验得到正确结果 的， 图只是一个
成； 还是会有学生操作失误 ， 而找错最优解 ，
笔者认为这是正常的 ， 不过可以通过解题方
摆设 ， 从而在接下来 的单元测试 中就充分暴
安， 他们基本上都能建立线性 约束条件和 目 标函数， 也都能作出可行域并打出网格 ， 大部 分学生还能得到 的整点最优解 ， 虽说不错 ， 但
生 学习 的基 础 ） ， 这里 解题 教学 的重 点应放 在
图形 的操作上 ， 同时还要 留有足够 的时间让
学生静下心来进行操作． 尽管如此 ， 还是有学
的关键 ， “ 给定 Ｙ的值” 是枚举法 的准备 ， “ 只 要最小的 ｚ值” 是不要全列举的原因） 于是 ，
由ｙ －Ｏ 时， 得 ≤ｚ ≤１ ｏ ， 取整点（ ８ ， ｏ ） ； 由ｙ ＝ｌ 时， ｚ 倚 ７ ／ ． Ｄ ≤ ≤９ ， 取整点（ ７ ， １ ） ； 由ｙ ＝２ 时， 得５ ≤ ≤８ ， 取整点（ ５ ， ２ ） ；
ｌ ｏ ≤ ≤４ ，
【 ， ∈ Ｎ ，
ｆ ｘ ＋ｙ ￣ｌ ＜ ｏ ，
Ｉ ４ ｚ ＋５ ｙ ￣３ ０ ，
即 ． ｛ Ｏ ≤ｚ ≤８ ， １ ０ ≤ ≤４ ，
【 ， ｙ Ｅ Ｎ ，
目标函数为
ｚ ＝３ ２ ０ ｘ４ － ５ ０ ４ ｙ ．
（ 这一步与教材上的解法是一致的， 不必 重新分析） 对 ， ｙ ＥＮ， 当给定 Ｙ的值 ， 只要最小的 值， 就可使 ｚ取最小值． （ 这是 与学生分析
生把握 ， 并加强实际操作． 但是我们教师能不
束条件和 目标 函数 ； （ ２ ） 作 出可行域 ， 在可行 域 中打出网格 ； （ ３ ） 通过 目标函数（ 直线） 的平 移和适当的分析得知整点最优解 ， 从 而求 出
能在解题教学上再下功夫 ， 介绍操作要求不 高的方法 ， 以便 由不同操作能力的学生有 自
问题 １ 某运输公司向某地区运送一批 物资 ， 每天至少运送 １ ８ ０ ｔ ． 该公司有 ８ 辆载 重为 ６ ｔ 的Ａ 型卡车与 ４ 辆载重为 １ ０ ｔ 的Ｂ
学生出现的共性问题 ， 笔者再一次研读了教 材， 发现在这道例题后有一则阅读材料 （ 课本 第８ ０ 页） ： “ 寻求线性规划问题的整数解有时
法的补充来弥补这一不足 ， 以使操作能力弱
的学生有选择， 从而提高解决问题的正确率．
露了问题 ， 绝太多数学生 只能列式 、 作 图， 在
有限的时间内， 他们根本找不到整点最优解． 今年笔者又要教这块 内容 了， 针对历届
为此 ， 教师可与学生分析评讲下列方法：
解 （ 枚举法） 设每天调出 Ａ型车 Ｘ 辆， Ｂ