固体物理：能态密度和费米面

第四章 能带理论
例二
3
V N(E)
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
3
g(E) N(E) V
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面； 当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
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能带理论基本概念
概念：能态密度的临界点（范霍夫奇点）
第四章 能带理论 例四
费米能级EF即如何来算费米能级
费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：
EF gE dE n或 EF N E dE N
0
0
费米球半径kF
N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包 括的状态数恰好等于N，即
V
2 2 3
4
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能带理论基本概念
一、能态密度函数
第四章 能带理论
1、能态密度函数定义：
在E—E+ ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则 能态密度函数定义为：
Z N(E) lim
E0 E
或N (E) dZ dE
单位体积能态密度g(E)：
k y dk dV dsdk
g(E) 1 N(E) V
里渊区的高对称点处。
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能带理论基本概念
以简立方晶格为例，说明紧束缚 近似下的s能带的能态密度的临界 点恰为布区的高对称点。
第四章 能带理论 例四
k E s (k ) 0的点 :
Γ点[
k
0,0,0
]是极小值点；E (k )
E0
6J1;
R点[
k
a
,
a
,
a
]是极大值点；E
能带理论基本概念
第四章 能带理论
能态密度和费米面
一、能态密度函数
在原子中电子的本征态形成一系列分立的能级， 可以具体标明各能级能量，以说明其分布情况。而
固体中的电子能级形成准连续分布，异常密集， 标明每个能级是没有意义的。这种情况下的能
级分布状况，用“能态密度函数N(E)”或“单位体积 能态密度g(E)”来描述。
例二、若已知
E(k )
2 2
k
2 x
m1
k
2 y
m2
k
2 z
m3
，求g(E)。
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能带理论基本概念
第四章 能带理论
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
解： 自由电子的能量本征值：E
k
2k 2
2m
k E
dE dk
2 2k 2m
自由电子等能面为球面，其半径为：
k
2mE
N
E ds
kx
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能带理论基本概念
第四章 能带理论
Ⅰ.ΔZ的确定
Z N(E) lim
E0 E
在
k
空间中作
E
k
E
和
E
k
两等能面之间状态数即为ΔZ。而
kE空间E中等分能布面是，均在匀
的，密度为 V ，即：
2 3
ky dk
E
ds
Z
dV dsdk
2V
2
3
V等 能 面E和E E之 间
由公式
N E dZ
dE
2V
2 3
ds
k E
可知，在某个k取值，
k E(k ) 0, 在该点，N(E)显示出某种奇异性，称为范
霍夫奇点，也称临界点。
必小定值E存点n在；(k)有是kkE空k Ek间k的 0周的0的期鞍点函点，数等例，等如因，：此而E每且n(个k这)周的些期极点性大出单值现元和在中极布
例二
第四章 能带理论
例二、若已知
E(k )
2 2
k
2 x
m1
k
2 yΒιβλιοθήκη m2k2 z
m3
解：等能面方程：Ek E,即
，求g(E)。
k
2 x
k
2 y
k
2 z
1
2m1E 2m2 E 2m3E
2
2
2
令a 2
2m1E 2
,b2
2m2 E 2
,c2
2m3E 2
,则
等
能
面
方
程
可
化
为k
2 x
a2
k
2 y
b2
k
2 z
kvFF称为pm费F 米称球为半费径米；速度；
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能带理论基本概念
费米波矢、费米动量、费米速度
费米球半径 kF 2mEF
费米能量
EF
2 k F2 2m
费米动量 pF 2mEF
pF kF
费米速度
vF
pF m
第四章 能带理论
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能带理论基本概念
第四章 能带理论 费米面
R (k )
E0
6J1;
X点[
k
a
,0,0
]是一个鞍点——布区侧面中心。
E X (k ) E0 2J1;
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能带理论基本概念
二、费米面
第四章 能带理论
设固体中含有N个电子，它们的基态是按泡利原理由
低由到电高子填，充则能其量能尽量可表能示低为的：NE个k电子态2k，2 若把电子看成自 2m
E
2V
2 3
ds k E
3
2V
2 3
4 k 2
2 2k
V
2 2
2m 2 2
E
2m
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能带理论基本概念
第四章 能带理论
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
分析Ｅ～Ｎ(Ｅ)关系
E
[N
E
]2
8 4
V2
2 2m
3
E
E N(E)2
自由电子情况
N(E)
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能带理论基本概念
N个电子在k空间填充半径为kF的球，球内包括的状态数
恰好等于N，即： 2
V
2
3
4
3
kF 3
N
一般称这个球为费米球，kF称为费米球半径，球的表面称
费米面。
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能带理论基本概念
费米面定义
第四章 能带理论
指当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区
域的分界面。这里
费 对米 应面 的的 电能 子量动值量称称为为费费米米能动级量EpFF； kF ；
2V
2 3 dsdk
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离;
(2)ds表示面积元。
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能带理论基本概念
Ⅱ.关于ΔE
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的
改变率）可知： dk k E E
Ⅲ.由此得能态密度N(E)一般表达式：
N E
lim
Z
lim
2V
2 3
dsdk
E
E
第四章 能带理论
Z N(E) lim
E0 E
Z
2V
2 3
dsdk
dk E k E
lim
(
2V
2 3
ds k E
E
)E
2V
2 3
ds k E
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能带理论基本概念
第四章 能带理论
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能带理论基本概念
第四章 能带理论
关于能态密度的计算
公式：
N
E
dZ dE
2V
2 3
ds k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
c2
1
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第四章 能带理论
例二
N
E
dZ dE
2V
2 3
ds k E
能量为E的等能面内的状态数记作Z：
Z
2V
2 3
4 abc
3
2V
2 3
4
3
3
m1m2m3 2E 2 3
N(E)
dZ dE
2V
2 3
4
3
m1m2m3
3
3 2
2E
1
22
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