4-3用坐标法研究仿射变换
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x x y a 2 1 y 2 1 11 a 21 x x y a 3 1 y 3 1 12 a 22 x1 y1 1 a11 a21 x2 y2 1 = 0. a12 a22 x3 y3 1 根据P22. 例1.7 可知, f(A), f(B), f(C) 共线. 综上可知, f 是仿射(点)变换.
3.1 仿射变换的变换公式
直线 x + y + 1 = 0 的原像是 x + 2y = 0, 从而 x + y + 1 = 0与 x + 2y = 0表示同一条直线, 因此存在数t, 使得 x + y + 1 = t (x + 2y), 再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, y = 1, x=2, y=3 代入, 求出 t = 2. 2 x y 2 5 ( x y 1 ) , x y 1 2 ( x 2 y ) x 3 xy 2 由此解得 . y x 3 y 1
3.1 仿射变换的变换公式
2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22y + b2) 2 = 0 就是直线 x + y 1 = 0, 于是 (2a11+a21) : (2a12+a22) : (2b1+b22) = 1 : 1 : (1), 即 2a11 + a21 = 2a12 + a22 ① 2a11 + a21= (2b1 + b2 2) ② 类似地, 由f 把直线 x+2y = 0变为x+y+1= 0 可得到 (a11+a21) : (a12+a22) : (b1+b2+1) = 1 : 2 : 0, 即 2 (a11 + a21) = a12 + a22 ③ b1 + b2 +1 = 0 ④
3.1 仿射变换的变换公式
方法2. 把点 (x, y) 经过变换得到的像点的坐标 x, y 看作 x, y 的函数, 用条件来决定变换公式. 直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0, 从而 2x + y 2 = 0 (其中x, y 看作 x, y 的函数) 与 x + y 1 = 0表示同一条直线的方程, 因此存在数s, 使得 2x + y 2 = s (x + y 1), 再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, y = 1, x=2, y=3 代入, 求出 s = 5.
3.1 仿射变换的变换公式
例 2 在仿射坐标系 I 中, 仿射变换 f 把直线 x + y 1 = 0 变为 2x + y 2 = 0, 把直线 x + 2y = 0 变为 x + y + z = 0, 把点 (1, 1) 变为(2, 3) , 求 f 在 I 中的 变换公式. 解: 方法1. (待定系数法) 假设所求变换公式为 x a x a y b 11 12 1 . y a x a y b 21 22 2 因为 f 把直线 x + y 1 = 0 变为 2x + y 2 = 0, 即 直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0, 从而
3.1 仿射变换的变换公式
2. 仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵就是 I 到 f (I)的过渡矩阵, 因此它的两个列向量分别 为I的坐标向量e1, e2的像f(e1), f(e2)在I中的坐标. 3. 仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式 上完全相同, 但意义完全不同！ 仿射变换的变换公式中, (x, y), (x, y) 是不同 的两个点A及其像点f(A) (或不同的两个向量 u 与f(u)) 在同一个坐标系中的坐标; 而在坐标变换公式中, (x, y), (x, y)是同一个点 (或向量) 在不同坐标系中的坐标.
3.1 仿射变换的变换公式
证明: 设 f 是仿射点变换, I: [O; e1, e2] 是平面 仿射坐标系, 平面上任一点P 在 I 中的坐标为 (x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为(x, y). 记 II: [ f(O); f(e1), f(e2)], 根据仿射变换基本定理, 它是仿射坐标系, 且任一点 Q 在 f 下的像f(Q)在 II 中的坐标等于 Q 在 I 中的坐标 (x, y). 于是f(P)在 II 中的坐标为 (x, y). 设 f(e1), f(e2), f(O) 在 I 中的坐标分别为 (a11, a21), (a12, a22), (b1, b2),
3.1 仿射变换的变换公式
则 I 到 II 的坐标变换公式为 x a x b 1 11 a 12 2 1 y a y b 1 21 a 22 2 2 从而 f(P)的I 坐标(x, y) 和 II 坐标 (x, y) 应满足 a b x x 11 a 12 1 a b y y 21 a 22 2 而上式右端的(x, y)又可以理解为P 的I 坐标, 故上式, 即(4.3)式就是平面的一个仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式, 其系数矩阵A = (aij) 是 I 到 II 的过渡矩阵, 是可逆矩阵.
3.1 仿射变换的变换公式
方法2. (待定系数法) 设 f(l) 的方程为 Ax + By + C = 0, 将题设变换公式代入得到 l 的方程为 A(4x 3y 5) + B(3x 2y + 2) + C = 0, 它与 3x + y 1 = 0 都是 l 的方程, 于是 4 A 3 B 3 A 2 B 5 A 2 B C . 3 1 1 从左式得 A : B = 9 : 13, 右式得 A : C = 1 : 8. 取 A = 9, B = 13, C = 72, 得 f(l) 的方程为 9x 13y + 72 = 0.
1
1
3.1 仿射变换的变换公式
a ( x x ) a ( y y ) a ( x x ) a ( y y ) 11 2 1 12 2 1 21 2 1 22 2 1 a ( x x ) a ( y y )a ( x x ) a ( y y ) 11 3 1 12 3 1 21 3 1 22 3 1
y2 1 0, y3 1
3.1 仿射变换的变换公式
由假设, 像点 f(A), f(B), f(C) 在 I 中的坐标分别为 (a11x1 + a12y1 + b1, a21x1 + a22y1 + b2), (a11x2 + a12y2 + b1, a21x2 + a22y2 + b2), (a11x3 + a12y3 + b1, a21x3 + a22y3 + b2), 因为行列式 a x a y b a x a y b 11 1 12 1 1 21 1 22 1 2 1 a x a y b x a y b 11 2 12 2 1 a 21 2 22 2 2 1 a x a y b x a y b 11 3 12 3 1 a 21 3 22 3 2 1
3.1 仿射变换的变换公式
4. 对仿射向量变换公式的理解: (1) 若知道向量或它的像向量中任一个坐标, 可 由公式求出另一个坐标. (2) 若能求出任意向量及其像向量之间的关系 表达式, 则其矩阵表达式中的矩阵即为f 的变换 矩阵. 5. 给定仿射变换 f 在仿射坐标系I 中的变换公 式, 若已知某图形 或它的像f( )的方程, 可利 用变换公式求出 的像f( ) 或 的方程.
3.1 仿射变换的变换公式
例3 (P207. 1) 证明: 在任何仿射坐标系中, 位似 变换的变换矩阵都是数量矩阵kE, 其中k 是位似 系数. 反之, 如果一个仿射变换在某个仿射坐标系 中的变换矩阵是数量矩阵kE, 其中k 1, 则它一定 是位似变换. 证明: 设 f 是位似变换, 位似中心M, 位似系数k. 建立平面仿射坐标系I: [O; e1, e2], 设位似中心M 在 I 中的坐标为(a, b),平面上任一点P 在 I 中的 坐标为(x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为 (x, y). 根据位似变换的定义, 有
§3 用坐标法研究仿射变换
3.1 仿射变换的变换公式 3.2 变换矩阵的性质 3.3 仿射变换的不动点和特征向量 3.4 保距变换的变换公式
3.1 仿射变换的变换公式
定理 平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标系 中的公式为 a b x x 11 a 12 1 (4.3) a b y y 21 a 22 2 其中系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵. 反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可 逆矩阵, 则 f 是仿射(点)变换.
3.1 仿射变换的变换公式
反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可 逆矩阵, 则 f 显然是可逆变换, 其逆变换 f 1 可 1 由下式给出 a b x x 11 a 12 1 a y b y 21 a 22 2 此外, 设三点A, B, C共线, 且在 I 中的坐标分别为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), x1 y 1 1 根据P22. 例1.7, 则有 x 2 x3
3.1 仿射变换的变换公式
再由f 把点 (1, 1) 变为点 (2, 3) 得到 ⑤ a11 + a12 + b1 = 2 ⑥ a21 + a22 + b2 = 3 从上面这6个方程解出 a11= 3, a12 = 1, b1 = 2, a21= 1, a22 = 3, b2 = 1, 于是所求变换公式为 x 3 xy 2 . y x 3 y 1
3.1 仿射变换的变换公式
例 1 已知在仿射坐标系 I 中, 仿射变换 f 的点变 4 换公式为 x x 3 y 5 3 y x2 y2 直线 l 的方程为 3x + y 1 = 0, 求 f(l) 的方程. 解: 方法1. 根据题设变换公式反解得 x 2 x 3 y 16 y 3 x 4 y 23 代入 l 的方程得 3(2x + 3y 16) + (3x + 4y 23) 1 = 0. 整理得 9x 13y + 72 = 0 . 于是 f(l) 的方程为 9x 13y + 72 = 0.
3.1 仿射变换的变换公式
方法3. 取 l 上一点 P1(0, 1) 和 l 的方向向量 u(1, 3), 根据题设变换公式得 f(P1) 的坐标为 (8, 0), 根据题设, 向量变换公式为 x 4x3y y 3x2y 得 f(u) 的坐标为 (13, 9), 于是 f(l) 的方程为 x8 y , 13 9 即 9x 13y + 72 = 0.
3.1 仿射变换的变换公式
注: 1. 若平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为 a b x x 11 a 12 1 , (4.3) a b y y 21 a 22 2 其中系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩阵A = (aij)是可逆矩阵, 则其决定的 向量变换在该仿射坐标系中的公式为 a x x 11 a 12 . (4.4) a y y 21 a 22 A称为变换矩阵.
3.1 仿射变换的变换公式
直线 x + y + 1 = 0 的原像是 x + 2y = 0, 从而 x + y + 1 = 0与 x + 2y = 0表示同一条直线, 因此存在数t, 使得 x + y + 1 = t (x + 2y), 再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, y = 1, x=2, y=3 代入, 求出 t = 2. 2 x y 2 5 ( x y 1 ) , x y 1 2 ( x 2 y ) x 3 xy 2 由此解得 . y x 3 y 1
3.1 仿射变换的变换公式
2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22y + b2) 2 = 0 就是直线 x + y 1 = 0, 于是 (2a11+a21) : (2a12+a22) : (2b1+b22) = 1 : 1 : (1), 即 2a11 + a21 = 2a12 + a22 ① 2a11 + a21= (2b1 + b2 2) ② 类似地, 由f 把直线 x+2y = 0变为x+y+1= 0 可得到 (a11+a21) : (a12+a22) : (b1+b2+1) = 1 : 2 : 0, 即 2 (a11 + a21) = a12 + a22 ③ b1 + b2 +1 = 0 ④
3.1 仿射变换的变换公式
方法2. 把点 (x, y) 经过变换得到的像点的坐标 x, y 看作 x, y 的函数, 用条件来决定变换公式. 直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0, 从而 2x + y 2 = 0 (其中x, y 看作 x, y 的函数) 与 x + y 1 = 0表示同一条直线的方程, 因此存在数s, 使得 2x + y 2 = s (x + y 1), 再由f 把点(1, 1)变为点(2, 3), 用x = 1, y = 1, x=2, y=3 代入, 求出 s = 5.
3.1 仿射变换的变换公式
例 2 在仿射坐标系 I 中, 仿射变换 f 把直线 x + y 1 = 0 变为 2x + y 2 = 0, 把直线 x + 2y = 0 变为 x + y + z = 0, 把点 (1, 1) 变为(2, 3) , 求 f 在 I 中的 变换公式. 解: 方法1. (待定系数法) 假设所求变换公式为 x a x a y b 11 12 1 . y a x a y b 21 22 2 因为 f 把直线 x + y 1 = 0 变为 2x + y 2 = 0, 即 直线 2x + y 2 = 0 的原像是 x + y 1 = 0, 从而
3.1 仿射变换的变换公式
2. 仿射变换f 在仿射坐标系I中的变换矩阵就是 I 到 f (I)的过渡矩阵, 因此它的两个列向量分别 为I的坐标向量e1, e2的像f(e1), f(e2)在I中的坐标. 3. 仿射变换的变换公式和坐标变换公式在形式 上完全相同, 但意义完全不同！ 仿射变换的变换公式中, (x, y), (x, y) 是不同 的两个点A及其像点f(A) (或不同的两个向量 u 与f(u)) 在同一个坐标系中的坐标; 而在坐标变换公式中, (x, y), (x, y)是同一个点 (或向量) 在不同坐标系中的坐标.
3.1 仿射变换的变换公式
证明: 设 f 是仿射点变换, I: [O; e1, e2] 是平面 仿射坐标系, 平面上任一点P 在 I 中的坐标为 (x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为(x, y). 记 II: [ f(O); f(e1), f(e2)], 根据仿射变换基本定理, 它是仿射坐标系, 且任一点 Q 在 f 下的像f(Q)在 II 中的坐标等于 Q 在 I 中的坐标 (x, y). 于是f(P)在 II 中的坐标为 (x, y). 设 f(e1), f(e2), f(O) 在 I 中的坐标分别为 (a11, a21), (a12, a22), (b1, b2),
3.1 仿射变换的变换公式
则 I 到 II 的坐标变换公式为 x a x b 1 11 a 12 2 1 y a y b 1 21 a 22 2 2 从而 f(P)的I 坐标(x, y) 和 II 坐标 (x, y) 应满足 a b x x 11 a 12 1 a b y y 21 a 22 2 而上式右端的(x, y)又可以理解为P 的I 坐标, 故上式, 即(4.3)式就是平面的一个仿射点变换 f 在一个仿射坐标系中的公式, 其系数矩阵A = (aij) 是 I 到 II 的过渡矩阵, 是可逆矩阵.
3.1 仿射变换的变换公式
方法2. (待定系数法) 设 f(l) 的方程为 Ax + By + C = 0, 将题设变换公式代入得到 l 的方程为 A(4x 3y 5) + B(3x 2y + 2) + C = 0, 它与 3x + y 1 = 0 都是 l 的方程, 于是 4 A 3 B 3 A 2 B 5 A 2 B C . 3 1 1 从左式得 A : B = 9 : 13, 右式得 A : C = 1 : 8. 取 A = 9, B = 13, C = 72, 得 f(l) 的方程为 9x 13y + 72 = 0.
1
1
3.1 仿射变换的变换公式
a ( x x ) a ( y y ) a ( x x ) a ( y y ) 11 2 1 12 2 1 21 2 1 22 2 1 a ( x x ) a ( y y )a ( x x ) a ( y y ) 11 3 1 12 3 1 21 3 1 22 3 1
y2 1 0, y3 1
3.1 仿射变换的变换公式
由假设, 像点 f(A), f(B), f(C) 在 I 中的坐标分别为 (a11x1 + a12y1 + b1, a21x1 + a22y1 + b2), (a11x2 + a12y2 + b1, a21x2 + a22y2 + b2), (a11x3 + a12y3 + b1, a21x3 + a22y3 + b2), 因为行列式 a x a y b a x a y b 11 1 12 1 1 21 1 22 1 2 1 a x a y b x a y b 11 2 12 2 1 a 21 2 22 2 2 1 a x a y b x a y b 11 3 12 3 1 a 21 3 22 3 2 1
3.1 仿射变换的变换公式
4. 对仿射向量变换公式的理解: (1) 若知道向量或它的像向量中任一个坐标, 可 由公式求出另一个坐标. (2) 若能求出任意向量及其像向量之间的关系 表达式, 则其矩阵表达式中的矩阵即为f 的变换 矩阵. 5. 给定仿射变换 f 在仿射坐标系I 中的变换公 式, 若已知某图形 或它的像f( )的方程, 可利 用变换公式求出 的像f( ) 或 的方程.
3.1 仿射变换的变换公式
例3 (P207. 1) 证明: 在任何仿射坐标系中, 位似 变换的变换矩阵都是数量矩阵kE, 其中k 是位似 系数. 反之, 如果一个仿射变换在某个仿射坐标系 中的变换矩阵是数量矩阵kE, 其中k 1, 则它一定 是位似变换. 证明: 设 f 是位似变换, 位似中心M, 位似系数k. 建立平面仿射坐标系I: [O; e1, e2], 设位似中心M 在 I 中的坐标为(a, b),平面上任一点P 在 I 中的 坐标为(x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐标为 (x, y). 根据位似变换的定义, 有
§3 用坐标法研究仿射变换
3.1 仿射变换的变换公式 3.2 变换矩阵的性质 3.3 仿射变换的不动点和特征向量 3.4 保距变换的变换公式
3.1 仿射变换的变换公式
定理 平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标系 中的公式为 a b x x 11 a 12 1 (4.3) a b y y 21 a 22 2 其中系数矩阵A = (aij) 是可逆矩阵. 反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可 逆矩阵, 则 f 是仿射(点)变换.
3.1 仿射变换的变换公式
反之, 如果平面的一个点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为(4.3), 且其系数矩阵A = (aij) 是可 逆矩阵, 则 f 显然是可逆变换, 其逆变换 f 1 可 1 由下式给出 a b x x 11 a 12 1 a y b y 21 a 22 2 此外, 设三点A, B, C共线, 且在 I 中的坐标分别为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), x1 y 1 1 根据P22. 例1.7, 则有 x 2 x3
3.1 仿射变换的变换公式
再由f 把点 (1, 1) 变为点 (2, 3) 得到 ⑤ a11 + a12 + b1 = 2 ⑥ a21 + a22 + b2 = 3 从上面这6个方程解出 a11= 3, a12 = 1, b1 = 2, a21= 1, a22 = 3, b2 = 1, 于是所求变换公式为 x 3 xy 2 . y x 3 y 1
3.1 仿射变换的变换公式
例 1 已知在仿射坐标系 I 中, 仿射变换 f 的点变 4 换公式为 x x 3 y 5 3 y x2 y2 直线 l 的方程为 3x + y 1 = 0, 求 f(l) 的方程. 解: 方法1. 根据题设变换公式反解得 x 2 x 3 y 16 y 3 x 4 y 23 代入 l 的方程得 3(2x + 3y 16) + (3x + 4y 23) 1 = 0. 整理得 9x 13y + 72 = 0 . 于是 f(l) 的方程为 9x 13y + 72 = 0.
3.1 仿射变换的变换公式
方法3. 取 l 上一点 P1(0, 1) 和 l 的方向向量 u(1, 3), 根据题设变换公式得 f(P1) 的坐标为 (8, 0), 根据题设, 向量变换公式为 x 4x3y y 3x2y 得 f(u) 的坐标为 (13, 9), 于是 f(l) 的方程为 x8 y , 13 9 即 9x 13y + 72 = 0.
3.1 仿射变换的变换公式
注: 1. 若平面的仿射点变换 f 在一个仿射坐标 系中的公式为 a b x x 11 a 12 1 , (4.3) a b y y 21 a 22 2 其中系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩阵A = (aij)是可逆矩阵, 则其决定的 向量变换在该仿射坐标系中的公式为 a x x 11 a 12 . (4.4) a y y 21 a 22 A称为变换矩阵.