概率统计期末重点复习

关于X的边缘分布P X xi pij i 1,2,
关于Y的边缘分布PY y j pij j 1,2,
i 1

j 1
• 要求：理解联合分布与边缘分布的概念，掌握边
缘分布的计算方法。
③二维离散型随机变量的数字特征
二维随机变量(X ,Y)的期望就是X ， Y分别的期望 E X ，E Y
概率统计简明教程
计算机学院 概率统计期末总复习
考试题型
•1.填空题（8×3=24分） •2.选择题（5×4=20分） •3.计算题（3题共32分）
•4.应用题（2题共24分）
随机事件及其概率
一、知识点
1、事件的表示
2、 随机事件的概念以及事件的关系与运算（并、交
、差、包含、补、互斥）
• 对偶律
ˆ与 ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 1 2
区间估计
总体X~N(，2)
① 2已知, 求的置信度为1-置信区间
,X k X k n n
② 2未知, 求的置信度为1-置信区间
k u
1

2
S* S* ,X k X k n n
A B AB; AB A B
• 差 A B AB A AB
3、 古典概型 P A m
• 要求：会计算古典概率
n
4、概率的性质
•要求：能够利用概率的性质计算随机事件的概率 •比如，事件差的概率 P A B P A AB P A P AB • 加法法则 • 广义加法公式：对于任意事件A，B，有 •
x x
要求：利用分布函数的性质求分布函数中的待定常数， 能够利用分布函数计算随机事件的概率。 2、离散型随机变量的分布 ①分布律 P X x p k 1,2, k k
, n
k:a xk b
P X x
②性质
k:xk x

pk P a X b
3、区间估计 置信区间的定义
设 是未知参数，给定 0 1， ˆ, ˆ 若由样本 X 1 , X 2 , , X n 确定的两个统计量 1 2 满足
ˆ ˆ } 1 . P{ 1 2
ˆ, ˆ ] 为 的置信系数为 1 的置 则称区间 [ 1 2 信区间.
方差，
2、能够利用概率密度计算随机事件的概率，
3、能够利用概率密度的性质求密度函数中的待定常数，
4、熟练掌握正态分布、标准正态分布、正态分布的标准
化计算，
5、连续性随机变量的概率计算涉及到积分的计算，应熟
练掌握
二维随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量的分布 ①联合分布 P(X=xi,Y=yj)=pij(i、j=1,2, …) ②边缘分布
最大似然估计的主要步骤——离散型
设总体X 的分布为p(x;)，其中为待估参数.
•①写出似然函数
L Lx1 , x2 ,, xn ; pxi ;
n i 1 i 1
n
•②写出对数似然函数 ln L ln pxi ;
•③求导 d ln L 0 d •④求解得到最大似然估计 ˆ
cov X , Y DX DY
• 相关系数
XY
3、相关性和独立性的判断
X , Y 相互独立 E XY EX EY D X Y DX DY cov X , Y ０ XY 0
4、其它
D X Y DX DY 2 cov X , Y D X Y DX DY 2 DX DY XY
PB P Ai PB | Ai
i 1 n
• ③贝叶斯公式——（由果找因）
如果事件A1， , An构成完备事件组，且 P Ai 0
i 1,2,, n，则对任意事件BPB 0，有 P Ak PB | Ak k 1,2,, n P Ak | B n P Ai PB | Ai
二、例P5-6 4、5、6
例P16 10、11
例P27-28 1、10、11
随机变量及其分布
一、知识点
离散型 随机变量 连续型
1、分布函数的定义 F(x)=P(X≤ x) x∈ (－∞，+∞)
P(x1<X≤ x2) = F(x2)－F(x1) • 分布函数的性质：单调非减、右连续
F lim F x 1 F lim F x 0

pk
p
k
k 1,2, pk 0
k
1
③数字特征
数学期望EX xk pk
方差DX EX EX • 方差简算公式的灵活运用
2 2

k 1
• 数学期望及方差的性质
E aX b aEX b D aX b a DX
2
• 当X,Y独立时， E XY EX EY
EX xi P( X xi ) xi pi xi pij
i i i j
EY y j P(Y y j ) y j p j y j pij
j j i j
2、二维随机变量的数字特征
• 数学期望
• 方差
• 协方差 cov X , Y E X EX Y EY E XY EX EY
标准正态分布
1 X ~N ０ ,１ e ， x 2 x EX 0 DX 1
x2 2
• 标准正态分布的密度函数、分布函数的性质 ( x) ( x)
( x) 1 ( x) (0) 0.5
2
③几个常见的连续型分布
均匀分布 X ~ R a, b
1 f x b a 0
a xb 其它
ab EX 2 b a DX 12
2
指数分布 X ~E
e f x 0
EX 1
x
x0 x0
1
0

DX

2
• 指数分布的无记忆性
P( X s t | X s) p( X t )
正态分布 X ~N , 2


2 x
1 f x e 2
2 2
x
EX DX ２
• 正态分布的密度函数f(x)关于x=对称，所以有 1 P( X ) P( X ) 2
一、知识点
设总体X ~N ， 2 ，X 1， , X n为来自总体的样本，

X 1 2 X ~ N , ~ N 0,1 / n n 2 n 2 1 nS 2 X X ~ n 1 i 2 2
i 1



2
1

2

2
nS 2 ~ 2 n 1
参数估计
一、知识点 1.点估计的优良性：一致性、无偏性、有效性.
总体均值EX的无偏估计量是样本均值 X 总体方差DX的无偏估计量是修正的样本方差S
*2
• 2、最大似然估计
ˆ 满足 L( ˆ) max L( ). 如果

ˆ为的极大似然估计 . 称
3、连续型随机变量的分布
①定义
若F x f t dt成立，则X 为连续型随机变量， f x 为X的概率密度.


x
性质 f x dx F 1 P a X b f x dx F b F a
P A 1 P A
P A B P A PB P AB
互补性

5、条件概率
要求：熟悉条件概率的定义及计算公式
P AB P AB P A | B 或 P B | A P B P A
P A| B


P AB
X
i 1
n
i
~ n
2
X ~ t n 1 S n 1
X ~ t n 1 * S n
设总体X ~N 01 ，， X1， , X n为来自总体的样本，
2 X i 2 ~ 2 n
i 1
n

n i 1
Xi X
最大似然估计的主要步骤——连续型
设总体X 的分布为f(x;，其中为待估参数.
•①写出似然函数 L Lx1 , x2 ,, xn ; f xi ;
i 1
n
•②写出对数似然函数 ln L ln f xi ;
i 1
n
d ln L 0 •③求导 d •④求解得到最大似然估计 ˆ
• ①乘法公式 当P Fra Baidu bibliotek 0时，有P AB P APB | A
当PB 0时，有P AB PBP A | B
• ②全概率公式——（由因索果）
如果事件A1， , An构成完备事件组，且 P Ai 0
i 1,2,, n, 则对任意事件B，有
P B
P B A P B AB 1 P A | B
P B P B
P A B P A AB P A | B 1 P B 1 P B P B
P AB
6、与条件概率有关的公式
EX np
DX np(1 p)
泊松分布
P X k
X ~ P k
e k 0,1, 2, k！
0
EX DX
要求：能够利用离散型随机变量分布律的性质计算分 布律中的待定参数。熟练掌握几个常见的离散型分布 的分布律、数学期望、方差，能够利用分布律计算随 机事件的概率。
D X Y DX DY
④几个常见的离散型分布
0-1分布
P X 1 p；P X 0 1 p
EX p DX p(1 p)
二项分布
X ~ B n, p
, n 0 p 1, p q 1
k k nk P X k Cn p q k 0,1,
二维正态分布 X , Y相互独立 XY 0
随机变量函数的分布
• 要求：掌握离散型（一维、二维）随机变量函数的分
布的计算。
二、例题
P40 例12 ， P42例14 ， P45例 16、17，
P47 19 , P72 例7， P81 例9 ，
P86 例19 P94 4、9、15
正态总体的抽样分布定理
a b
在f x 的一切连续点有f x F ' x
注：连续型随机变量的 分布函数F x是连续函数。
②连续性随机变量的期望、方差
期望EX xf x dx

方差DX
x EX
2

2
f x dx
DX EX ( EX )
正态分布的标准化
若X ~N ,
2
，则
X

~ N 0,1
a X b • 故 P ( a X b) P b a
• 要求：
1、熟练掌握几个常见的连续型分布的概率密度、期望、
i 1
• 要求：熟练掌握三个有关条件概率的计算公式， 解决事件概率的计算问题。
7、事件的独立性
• 对事件A与B，若有P(AB)=P(A)P(B)，或
P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，则称A与B相互独立。
• 若A与B相互独立，则 A与B ， A 与B， A 与B也相互独立。
8、伯努利试验、二项概率