高三理科数学下学期月考模拟卷及答案

高三下学期月考 数学试题（理）
命题人：董明秀
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U ＝，A ＝，＝，则a ＋b ＝（ ）
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．0
2．将函数的图象按向量平移后，得到的图象，则 （ ）
A ．=（1，2）
B ．=（1，－2）
C ．=（－1，2）
D ．=（－1，－2）
3．等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，且， 则该数列的公差为 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．3.
4．已知函数上单调递增，则实数的取值范围为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．设命题P ：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； 命题Q ：在中是成立的必要非充分条件, 则 （ ）
A ．P 真Q 假
B ．P 且Q 为真
C ．P 或Q 为假
D ．P 假Q 真 6．已知x 1是方程的根，x 2是方程x ·10x =2009的根，则x 1·x 2=（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
7．从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为x , y , z ，则的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为1，对于下列结论： (1)BD 1⊥平面A 1DC 1；
(2)A 1C 1和AD 1所成角为45º；
R }0|{≥+-b
x a
x x U A ],1(a --x y 2log =a 4
1
log 2+=x y a a a a {}n a 2m 90722133m a a -=-1-2-3-2sin (0)[,]34
y x ππ
ωω=>-
在ω3(0,]2(0,2](0,1]3(0,]4
ABC A B >2
2cos (
)cos ()2424
A B ππ
+<+lg 2009x x =22y x z y -≥-≥且1
3
14
528
512
(3)点A 和点C 1在该正方体外接球表面上的球面距离为； (4)E 到平面ABC 1的距离为
（E 为A 1B 1中点）其中正确的结论个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
9．设,.定义一种向量积：. 已知,点在的图象上运动,点在
的图象上运动,且满足 (其中为坐标原点),则的
最大值及最小正周期分别为 ( ) A ．， B ．， C ．
， Ｄ．，
10．椭圆C 1：的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为，
焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，线段PF 2的中点为G ，O 是坐标原点，则
的值为（ ） A ． B ．1
C ．－
D ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若,则
_________;
12．设为坐标原点，点点满足则的取值范
围为 ;
13．已知函数，对任意的恒成立，则x 的取
值范围为__________;
14．对于一切实数，令为不大于的最大整数，则函数
称为高斯函数或
取整函数，若为数列的前n 项和，则=_______;
15．圆的方程为，圆的方程为
π2
3
2
1
12(,)a a a =12(,)b b b =12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=1(2,),(
,0)2
3
m n π
==(,)P x y sin y x =Q ()y f x =()x R ∈OQ m OP n =⊗+O ()y f x =A T 2π24π12
4π1
2π122
22=+b
y a x l 2
11PF OG
PF OF -
1-2
12
110429*********(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++
+++129a a a ++
10a +=O (2,1),M (),N x y 360,0x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
OM ON ⋅3()f x x x =+[2,2],(2)()0m f mx f x ∈--+<x []x x ()[]f x x =(),,3
n
n n
a f n N S *=∈{}n a 3n S C 2
2
(2)4x y -+=M 2
2
(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=
，
过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、， 则的最小值为______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)
已知中，角A ，B ，C 所对的边分别是，且； （1）求； （2）若，求面积的最大值。

17．(本小题满分12分)
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为，出现“×”的概率为.若第次出现“○”，则a =1；出现“×”，则a =.令S =a +a +…+a .
(1)当时，求S 2的概率； (2)当，时，求S =2且S ≥0(i =1,2,3,4)的概率
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.
（1）求证：平面； （2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离
为
？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
()R θ∈M P C PE PF E F PE PF ⋅ABC ∆,,a b c ()
22223a b c ab +-=2sin 2
A B +2c =ABC ∆p q k k k 1-n 12n
()n N *∈1
2
p q ==6≠p =
31q =3
2
8i ABCD P -ABCD CD PD BC PB ⊥⊥,2=PA E PD ⊥PA ABCD D AC E --BC F E PAF 5
5
2F P
A D
E
18．(本小题满分12分)
已知函数的定义域为R, 对任意实数都有, 且, 当时，． (1) 求； (2) 判断函数的单调性并证明．
20．(本大题满分13分)
在△ABC 中，，点B 是椭圆的上顶点，
l 是双曲线位于x 轴下方的准线，当AC 在直线l 上运动时． (1)求△ABC 外接圆的圆心的轨迹E 的方程；
(2)过定点F (0，)作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交轨迹E 于点M 、N 和点R 、Q ．求
四边形MRNQ 的面积的最小值．
21．（本小题满分14分）
已知函数的反函数为，数列和满足：，；函数的图象在点处的切线在y 轴上的截距为.
（1） 求数列{}的通项公式； （2） 若数列的项仅最小，求的取值范围； （3） 令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：.
()f x ,x y 1()()()2
f x y f x f y +=++
1()02
f =1
2
x >()0f x >(1)(2)()()f f f n n N *+++∈()f x 32=AC 14
522
=+y x 222-=-y x P 2
3
()(01)1x f x x x =
<<-1()f x -{}n a {}n b 112
a =11()n n a f a -+=1()y f x -=1(,())()n f n n -*∈N n
b n a 2{
}n n n b a a λ-52
55
b a a λ
-λ21
21()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+01x <<{}n x 11
2
x =01n x <<1()n n x g x +=n N *∈2
22321211223
1()()()5
16
n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++
+<
答案
11.12. 13. 14. 15.
16.解：（1）
（2）
又
当且仅当时，△ABC 面积取最大值，最大值为.
17.解：(1)∵先求=2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“ ×”有2次.
故=2的概率为∴2的概率为P=1.
(2)当时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i≥0(i=1,2,3,4),
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.
故此时的概率为P=(或).
18. 解法一：（1）证明：∵底面为正方形，
∴，又，∴平面，
∴. 同理可证，∴平面．
（2）解：设为中点，连结，又为中点，
可得，从而底面．
过作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角.
15
-ADCAA610
-DDCCD
2-[3,15]
-
2
(2,)
3
-
2
3
2
n n
-
6
222
222
33
,cos
224
a b c
a b c ab C
ab
+-
+-=∴==
()
2
1cos1cos7
,sin
2228
A B
A B C
A B C
π
-+
++
+=-∴===
ab，
b
a
，
c
ab
c
b
a
2
3
4
2
,
2
3
2
2
2
2
2=
-
+
∴
=
=
-
+且
22
3
2,24,8
2
a b ab ab ab ab
+≥∴≥-∴≤
3
cos,sin
4
C C
=∴==,7
sin
2
1
≤
=
∴
∆
C
ab
S
ABC
2
2
=
=b
a7
6
S
6
S.
64
15
)
2
1
(·
)
2
1
(2
4
4
6
=
C
6
S≠
1
-
64
49
64
15
=
8
2
S=
()
7
8
3
5
3
5
3
63
80
3
8
30
3
1
3
1
=
⨯
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⋅
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⋅
+C
C
2187
80
ABCD
AB
BC⊥PB
BC⊥⊥
BC PAB
PA
BC⊥PA
CD⊥⊥
PA ABCD
M AD EM E PD
PA
EM//⊥
EM ABCD
M AC MN N EN
AC
EN⊥
ENM
∠D
AC
E-
-
P
A
B C
D
E
M
N
F
G
在中，可求得 ∴
∴ 二面角的大小为． （3）由为中点可知, 要使得点到平面的距离为
，即要点到平面的距离为. 过 作的垂线，垂足为,
∵平面，∴平面平面，∴平面， 即为点到平面的距离.∴，∴． 设，由与相似可得
，∴，即． ∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为． 解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．
（2）解：建立如图的空间直角坐标系， . 设为平面的一个法向量，则，． 又
令则得
又是平面的一个法向量， 设二面角的大小为 ， 则∴ 二面角的大小为． （3）解：设 为平面的一个法向量，
则，．又，
EMN Rt ∆,2
2,1=
=MN EM tan EM ENM MN ∠=D AC E --2arctan E PD E PAF 552D PAF 5
5
4D AF DG G ⊥PA ABCD ⊥PAF ABCD ⊥DG PAF DG D PAF 554=DG 5
5
2=AG x BF =ABF ∆DGA ∆GA DG BF AB =
22
=x
1=x BC F F BC E PAF 5
5
2xyz A -，，，
)000(A ，，，)022(C )110(，，E m ),,(z y x =AEC m ⊥m AC ⊥),1,1,0(=),0,2,2(=⎩⎨
⎧=+=+∴.
022,
0y x z y ,1=x ,1,1=-=z y m (=)2,0,0(=ACD D AC E --θ3
3
2
32,cos cos =
⋅=
>=
<=m θD AC E --3
3
arccos
),20()02(≤≤t t F ，，
n ),,(c b a =PAF n ⊥n ⊥)2,0,0(=AP ),0,,2(t AF =
令则得． 又 ∴点到平面的距离，∴
，解得，即 ，∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为
,且为中点
19.解: (1) 令,则, ， 则当, ∴，
∴是首项为
, 公差为1的等差数列．
(2) 在上是增函数． 证明: 设，
，
∵, ∴由于当时, ，
，即, ∴在上是增函数.
20．(1)解：由椭圆方程及双曲线方程可得点B (0，2)，直线l 的方程是． ，且AC 在直线l 上运动.
可设，则AC 的垂直平分线方程为 ① AB 的垂直平分线方程为 ② ∵P 是△ABC 的外接圆圆心，点P 的坐标(x ，y )满足方程①和②. 由①和②联立消去m 得：，即.
故圆心P 的轨迹E 的方程为
(2)解：如图，直线l 1和l 2的斜率存在且不为零，设l 1的方程为 ∵l 1⊥l 2，∴l 2的方程为 ⎩⎨
⎧=+=∴.
02,
02tb a c ,t a =,0,2=-=c b n )0,2,(-=t ),1,1,0(=E
PAF 4
22+=
=
t =
+4
22t 5
5
21=t )012(，，F BC F E PAF 5
5
2F BC 12x y ==111(1)()()222f f f =++1
(1)2
f ∴=1
,(1)()(1)2
n N f n f n f *∈+=++(1)()1f n f n +-={()}f n 1
2
2
1(1)(1)(2)(3)().222
n n n f f f f n n -∴++++=+=()f x ),(∞+-∞ 1212,,x x x x R <∈212111()()()()f x f x f x x x f x -=-+-=21111
()()()2
f x x f x f x -++
-2121111
()()()222
f x x f f x x =-++=-+21x x >2111
,22x x -+>12
x >()0f x >∴211
()02
f x x -+>21()()f x f x >()f x R 14
522=+y x 222-=-y x 1-=y 32=AC )13()13(-+--，，，
m C m A m x =)2
3
(3321---=-
m x m y ∴)2
3
(3321---+=
x x x y 261x y =y x 62=2
3
+=kx y 2
31+-
=x k y
由得，∴直线l 1与轨迹E 交于两点. 设M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，则
∴ 同理可得：
∴四边形MRNQ 的面积 ≥ 当且仅当，即时，等号成立.故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．
21．（1）令，解得，由，解得，
∴函数的反函数．则，得.
是以2为首项，l 为公差的等差数列，故．
（2）∵，∴，
∴在点处的切线方程为， 令， 得. ∴，
∵仅当时取得最小值，∴，解之，∴ 的取值范围为
．
（3），. 则，因，则，显然
.
·· ∴
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=26123x y kx y 0962=--kx x 036362>+=∆k 962121-==+x x k x x ，)1(
6363614)(1||222212212k k k x x x x k MN +=++=-+⋅+=)11(6||2
k
RQ +
=|)||(|||2
1
||||21||||21RF QF MN RF MN QF MN S +=⋅+⋅=
22221111||||36(1)(1)18(2)22MN RQ k k k k =⋅=++⨯=++72)1
22(1822=⋅+k
k 2
21k
k =
1±=k 1x
y x
=
-1y x y =+01x <<0y >()f x 1
()(0)1x f x x x
-=>+11()1n n n n a a f a a -+==+1111n n a a +-=1{}n
a ∴11n a n =+1
()(0)1x f x x x
-=>+121[()](1)f x x -'=+1()y f x -=1(,())n f n -2
1
()1(1)
n y x n n n -
=-++0x =22
(1)n n b n =+22
22(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ-=-+=---5n = 4.5 5.52
λ
<<911λ<<λ(9,11)2
1
2
1()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+22212[]1111x x x x x x x x -=+⋅=+-++(0,1)x ∈121(1)1n n n n n n x
x x x x x ++-=-⋅+01n x <<1n n x x +>121
12
n n x x x +>>>>1211111
(1)21448121
n n n n n n n
n x x x x x x x x ++-=-⋅≤⋅<=
+++-+211111111
()11111
()()()()8n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--=-=--<-
∴ ∵，∴，∴，∴
∴
22
223112122
3
1
()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++
+
12231
111111
[(
)()(
)]n n x x x x x x +<-+-++-111
111
())n n x x x ++=
--111,2n n x x x +=
>11
12
n x
+<<1112n x +<<11021n x +<-<2
2
2321211223
113
1()
()()1115
2(2)88816
n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++=-<<=。