双线性变换法

阶巴特沃思数字低通滤 波器，边界频率 f c 1kHz
解： A 2 ( ) H ( j ) 2
1
1 ( j )2*3
j1
H
a
(s)H
a
(
s)
1
1 s6
其极点为
j 1 2 k 1
S k e 2 6 , k 1,2,.... 6
s1
j 2
e 3 , s2
e j
1, s3
j 4
s3 )
s
A1 s1
s
A2 s2
s
A3 s3
H
(z)
1
A1 e s1T
z 1
A2 1 es2T
z 1
A3 1 e s3T
z 1
T 1/ fs
3.8
双线性法 f s 1.2 kHz , f c 400 Hz 采用
c
2fcT
2 3
双线性变换法设计一个 三阶巴特沃思低通滤波 器
利用
c
2 T
e 3,
s4
j 5
e 3 , s5
e j2
1, s6
j 7
e 3,
取左半轴的三个极点则
有：
H a(s)
(s
s1 )( s
k0 s2 )( s
s3 )
一个三
H a (0)
1
( s1 )
•
k0 (s2 ) •
(s3 )
k0
e
j
2 3
e
j
e
j
4 3
k0
Ha (s)
(s
s1)( s
1 s2 )( s
(2) 双线性变换法 根据双线性变换公式可得： 故
H a ( j )
H a ( jc tg
) 2
c tg ( ) 2
arctg （ ） c
4
a
r ctg 5 c3
,
3c 3c 3
Ha
(
j)
4
a
r
ctg c
5 3
， 3c 3c 3
0
,
其它
3.4
设有一模拟滤波器
H as 1s2 s 1
解：
sin(
c
2 wc )
2
u 1
z 1 1 z 1
高通 chebyshev 滤波器的系统函数为
H
(z)
H
P (u)
u
1
z 1 1z
1
1
e
2
0.5
z
1
1
e
2
1.5
z
1
1
2 (e 0.5
e1.5 ) z 1
e2z2
3.3
数字滤波器的如 频图 率响应 1）用脉冲响应试 不求 变原 法型 ，模拟频 滤率 波响 器应 的 2）用脉冲响应试 不求 变原 法型 ，模拟频 滤率 波响 器应 的
1）脉冲响应不变法
因为 大于折叠频率时
H ( e j ) 为零，故用此法无失真
cos 2 1
0
1
习题 3.12
cos( c w c )
解：
cos(
2
c wc )
2
c 2 fc , w c 2 fc / fs
u 1
z 1 1 z 1
高通 chebyshev 滤波器的系统函数为
H
(z)
H ( u ) P
u
1
z 1 1 z
1
习题 3.13
sin( c w c )
。
故
H
(e
j )1Leabharlann THa(j T
),
由图 可得：
2
5 3
H
(e
j )
2
5 3
, 2
3
3
, 2
3
3
0 ， [ , ] 之间的其他
又由 ， 则有 T
2
T
5 3
H
a(
j
)＝
H
(e
j
)
＝ T＝
2
T
5 3
, 2
3T
3T
, 2
3
3
0 ， [ , ] 之间的其他
fc
c fs 2
1 ) f s 1 kHz ,
fc
c fs 2
0 .2 1 2
0 . 1 kHz
2 )) f s 1 kHz ,
fc
c fs 2
0 .2 2
5
0 . 5 kHz
3 ) f s 200 Hz ,
fc
c fs 2
0 .2 2
0 .2
20
Hz
3.7
习题 3.7 设采样频率 f s 6.28318 kHz , 用脉冲响应不变法设计
tg
(c 2
)
3的关系进行预畸变
H
a
(s)
1
2(s
/
c
)
1 2(s /
c
)2
(s
/
c
)3
H (z)
H a(s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
.......
习题 3.9 预畸变模拟低通滤波器
的截止频率为
＝
c
T 2
ctg
( c )＝ 2
T 2
ctg
( 2 f c ), 2 fs
f 1 1500 Hz , f s 6000
3.1
已知模拟系统函数
Ha (s)
s2
3 4s 3
试用脉冲响应不变法将 以上模拟系统函数转换 不数字系统函数 H (z),
采样周期 T 0.5
Ha (s)
s2
3 4s
3
s
3
2 1
3 2
s3
3
3
H (z)
N
Ai
i1 1 e SiT z 1
1
2 e 1•T
z
1
1
e
2
3•T
z
1
3
3
3 (e0.5 e1.5 ) z 1
抽样周期 T 2，试用双线性变换法将它转变
为数字系统函数 H z
解：由变换公式
s
c
1 1
z1 z1
及c
2 T
，T 2，可得
s
1 1
z 1 z 1
HzH a ss 1 1 z z 1 1
1 z1 2
1
z1
1
11
z1 z1
1
1 z 1 2 3 z 2
习题 3 . 6
c cT 2 fc / fs
cos
0
sin( 1 2 ) sin 1 sin 2
分别求模拟低通的通带
c
cos
0 cos sin 1
1
边界 c
H a1(s)
s3
1 2s2
2s
1
H a(s)
(s
/ c)3
2(s
1 / c)2
2(s
/
c)1
又s
z2
2 z cos 0
z2 1
1
H
(z)
H
a (s)
s
z
2
2
z z
归一化的三阶巴特沃思
滤波器系统函数为
H a1(s)
1 s3 2s2 2s 1
H
a(s)
(s / c)3
1 2(s / c)2
2(s / c) 1
H
(z)
H
a (s)
s
T 2
1 1
z z
1 1
习题 3.10 先确定数字带通滤波器
的上下边带的角频率
＝
1
2
f
1
/
fs
＝
2
2
f
2
/
fs
中心频率：