角动量定理

3. 质量均匀分布而且形状 又规则对称的 , 可由上 式计算, 对于形状复杂的刚体通 常通过实验测得其值 .
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例题 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
解 : (1) 设表示单位长度的质量 , 则dm dx, 且 m L
d 解： M K I dt
K t I


0
t dt d M K 0 I
M (1 e ) K M t m 或M K m 0时.为电扇的稳定速度。 K d d d (3)： K I I dt d d
I A x dm x 2 dx
2 0
L
A
oHale Waihona Puke Baidu
dm
B
1 3 1 2 L mL 3 3 (2) 对于通过棒的中心的轴
I C x 2 dm x 2 dx 1 1 3 L m L2 12 12
L 2 L 2
x
dx
L
x
A
o
C
dm
B
x
L2
dx
L2
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例题一均匀圆盘质量为m0，半径为R,可绕其圆心转动。 圆盘边缘绕有一轻绳，受到向下的张力T,求圆盘的角加速 度，以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下挂一质量为m 的物体时加速度将为多少？ 2T 1 2 T 2 解： a R M TR I1 m0 R 1 1 1 1 m0 2 mR
0
将其分为两个部分,分别列出运动方程：
m g T m a( 1 ) TR I 2 ( 2 )
m gR 2 m R2 m0 R 2 / 2 mg mg a 2 R I m 2 m m0 / 2 R
T
mg
7
例题 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。 小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’=2r，质量m’ = 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o 转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质 细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，这一系统从静止开 始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：（1） 组合轮的角加速度；（2）当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。

T T
A
mg
m, r
o
T T
B
mg
m, r
a
10.3rad s
2
(2) 设 为组合轮转过的角度 , 则 : h r 2 2 (2 h r )1 2 9.08rad s1
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例题：设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻 力矩为Mf=－Kω，风叶转动惯量为I 求（1）通电后t时刻的角速度ω；(2)稳定转动时的角速度； （3）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？
转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布
5
0
m
二、刚体定轴转动的转动定律 取刚体内任一质元i，它所受合外力为Fi，内力为fi。
Fi f i mi ai 切向: Fi f i mi ai
z
fi
o
ai ri Fi fi mi ri
上式两端同乘以 ri再求和
t10 t1
t0
Mdt
t
是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。
1
（三）刚体对定轴的角动量

ri
P
L mi vi ri
I
mi ri2
o
v
质点的动量: P mv
I m v
（四）刚体的转动动能 1 Ek mi vi2 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) I 2 2 1 2 质点的动能 : Ek mv I m v 2
x
平行轴定理: I I C md2
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例题： 如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，边缘 粘一质量为m的质点，试求对中心轴oz的转动惯量。
解：圆环dm的转动惯量为r2dm
R
z
M
I 盘 r 2rdr
2
1 R 4 2 1 MR 2 2 1 I 总 MR 2 mR 2 2
（二）质点对定轴的角动量
L
mv
定义：L r p r mv L rmvsin mvd
1、必须指明转轴

O O
r r

mv
2、单位：kg m 2 s 1 d dL dr dv dv 角动量对时间求导 mv r m r m dt dt dt dt dL dP 得到质点的转动定律： M (F ) dt dt t2 t2 积分后即质点的角动量 定理 Mdt L2 L1 ( Fdt P2 P 1)
2
（五）转动惯量 定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与 其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
对分立的质点系： I mi ri
2
对于质量连续分布的刚 体I r dm
2
线分布dm dl 面分布dm ds 体分布dm dV
1. 刚体的转动惯量不仅与 刚体的总质量有关 , 而且 和质量相对于轴的分布 有关. 2. 单位 : kg m2 .
a m g2r m gr 解得 : 2 g ( 19r ) 2 2 2 9m r / 2 m r m( 2r )
m g T ma 解 T m g m a 2 T ( 2 r ) Tr 9 m r 2 a r a ( 2 r )
i i i i
f i
mi
Fi
Fi
Fir
F r f r m r

2
i i

为零 合外力矩 内力矩之和

I
o
f i
刚体定轴转动定律: M I 1.与牛顿第二定律 F ma相当
d
f j
2.确定转轴后方可求 I 3.M、I、必须是对同一转轴的