层次分析法及模糊综合评价

第十三章2层次分析及模糊综合评价
13.1层次分析模型深入分析
13.2模糊综合评价
13.1层次分析模型深入分析
（、数学模型层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标一准则或指标一方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。

2）构造成对比较阵
用成对比较法和1〜9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。

对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。

4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。

二.层次分析法的广泛应用
-应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题, 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

-处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

-建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

-构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

例2工作选择 ____________ 工作讐
贡 收 发 声 关 位 献
入
展
誉
系
置
供选择的岗位
例1国家 实力分析
国家综合实力
美、俄、中、日、德等大国
(1)过河效益层次结构
O
—
进出方便
G —— —舒适c 9 —自豪感C 8 —
交往沟通
c 7—— —安全可靠
c 6—— —
建筑就业
G ——
—
当地商业C 4—— —岸间商业
G —— —收入C C
(、数学模型
经济效益
B i
社会效益
B 2
环境效益
B 3
过河的效益
A 美化
G
节省时间
例3横渡 江河、海峡 方案的抉择
(1)过河效益层次结构
(2)
过河代价层次结构
—对生态的破坏
G
CC
—
投入资金G
直接 经济 效益
C 11 间接 经济 效益
C^
社会 效益
C 13 学识 水平
C 21
学术 创新
C
22
技术 水平
C
23
技术
创新 C 24
待评价的科技成果
例4科技成果 的综合评价
水平C
科技成果评价
规模C
效益C
三.层次分析法的若干问题
-正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？
・怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量?
•为什么用特征向量作为权向量？
・当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？
1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质
定理1正矩阵刀的最大特征根4是正单根，对应正特征向量皿且lim T = w, e = （1,1,…,1）r
k is e A e
正互反阵的最大特征根是正数，
'特征向量是正向量。

定理2 "阶正互反阵』的最大特征根4 n ,
4= n是一致阵的充要条件。

d 一致性指标C =七定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
-精确计算的复杂和不必要
-简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量, 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。

和法——取列向量的算术平均
0.974 0.286
」精确结果渺=(0・588,0・322,0・090)T ,人=3.010
0.6 0.3 0.1 0.615 0.308 0.077 0.545 0.364 0.091 0.587
0.324 =w 0.089
Aw =
Aw = A w A = 1(/ + 0974 + 0268)= 3.009 3 0.587 0.324 0.089 列向量 归一化 算术 平均
简化根法——取列向量的几何平均计算幂法―迭代算法
1）任取初始向量卬（。

）,k:=0,设置精度£
2)计算镣(5= Aw(们
3)归一化w(" 1)= w(" 1) / £w ：k+1)i = 1
4)若max I w； " 1 ) - w：“ ) | < 8,停止；
否则，k:=k+1,转2
5)计算2 = 1 £
n i=i (k+1) i
3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应
冋题 一致阵4 权向量w=(w 1,^w n )T
, a ij =w i /w j
力不一致，应选权向量
w 使w,W j 与a j .相差 尽
量小（对所有ij ）。

结果与根法相同
用拟合方法确定w
min
W i (，
n n
sz
、2
w. i
W . /
J 丿
非线性
最小二乘
线性化—— 对数最小二乘 n n
min Z Z In W i
(
i = l,…
,n ) J J
、2
1 w a - In —- ij
w.
数学模型一
•按不同准则确定的权向量不 同，特征向
量看什么优点。

或 is —白 js ( S
= 1
，• • •
" /口当。

足够大,瑚第i 行元素反映G 的权重D 求A 啲行和
多步累积效应 成对比较
G ：q （直接比较）与•〜1步强度
A —（心
s =1
a is a sj ~ G .通过G 与G 的比较
a j ）〜2步强度
更能反映C i .对C j 的强
度
定理1-丄=w特征向量体现多步累积效应
4.不完全层次结构中组合权向量的计算
完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关
联不完全层次结构
设第2层对第1层权向量W(2)=(w1(2)w2(2))T已定第3层对第2层权向量卬1(3)=(的1⑶*12⑶*13(3),0)
卬2(3)=(0,。

,卬23⑶*24(3卩已得讨论由w(2), W(3)=(W1(3), w2(3)) 计算第3层对第1层权向量
W(3)的方法
例:评价教师贡献的层次结构
P1，P2只作教学,P4只作科
研,
P3兼作教学、科研。

C1，C 2支配元素的数目不等
(数学模型) 考
察一个特例: 若C1,C 2重要性相同,w(2)=(l/2,l/2泪
P1~P4 能力相同，W i(3)=(l/3J/3J/3,O)T w2(3)=(O01/2,l/2)T 公正的评价应为：P X:P2:P3:P4=1:1:2:1
-不考虑支配元素数目不等的影响
仍用w(3)= W⑶w( 2)计算弓w(3)=(l/6,l/6,5/12,l/4)T
-支配元素越多权重越大教学、科研任务由上级安排用支配元素数目对w(2)加权修正= 3, n =
2,
讦⑵=(〃时2), n2w；2))T/(〃时2)+ n2w；2))
赴)=(3/5,2/5)T
再用w(3)= W(3w(2 ) 计算弓w(3)=(l/5,l/5,2/5,l/5)T
-支配元素越多权重越小教学、科研靠个人积极性
Q为残缺元素
Cw = 人=3, w = (0.5714,0.2857,0.1429), XX I Aw = A AV
一220_
A =1/212
01/22
'a, 2 j, a壬e
a <0, Z* J, a
ij = e
m +1, i = J
刀第，行
中。

的个数
（、数学模型
6.更复杂的层次结构
-递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。

-更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。

刹车转向运行加速性能
| , | |
〔I 「丨I I 制动二方向盘二底盘二发动机二车轮二减震装置丨丨丨丨丨丨
I丨丨I
汽车1 汽车2 ....... 汽车〃
层次分析法的优点
-系统性一一将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；
-实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；
-简洁性一一计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。

层次分析法的局限
-囿旧一一只能从原方案中选优，不能产生新方案；
-粗略一一定性化为定量，结果粗糙；
-主观一一主观因素作用大，结果可能难以服人。

13.2模糊综合评价
-因子分析•主成分分析•回归分析•聚类分析•粗糙集
模糊数学
（一）模糊集合
设X为一基本集，若对每个X e X,都指定
一个数卩A（ x） e [0 , 1],则定义模糊子集A:
〜〜
〃A（x）
A = < —二-- x e X >
~ 1 x J
丹3称为A的隶属函数，（（）（方称为元素）的
隶属度。

模糊数学
（二）隶属函数的确定
模糊统计确定隶属函数的方法：
该方法是先选取一个基本集，然后取其中任一元素x,・，再考虑此元素属于集合A的可能性。

A =竺回+ + +红重+ +红垃
a2 a a n
(、数学模型
模糊数学
(三)截集
模糊集合的人截集是指X中对A的隶属度不小于人的一切元素组成的普通集合。

其定义为：
对于给定的实数2 (0 < 2 < 1)，定义
A = {x I (x) Z 2)
为A的2截集，其中，2叫置信水平。

（、数学模型
模糊综合评价
什么是事物的模糊性?
指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性"O （1）清晰的事物一每个概念的内涵（内在涵义成本质属性）
和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个
様念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。

（2）模糊性事物——由于人未认识，或有所认识但信息不壕丰富, 使其模糊性不可忽略,它是一种
没有绝对明确的外延的專物. 如美与丑等。

人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等的认识就是模糊的。

模糊综合评价
“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾"，由此促使着模糊数学的产生和发
展。

“模糊"井非坏事，在有些情况下它比精确更
有
意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，
对
人进行模糊综合评价。

郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。

（、数学模型
模糊综合评价
很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只能用模糊语言描述.如显示器的舒适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的社会影响等.
评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断
对复杂问题分别作出“大、中、小” ! “高、中、低" “优、良、可、劣"；“好、较好、一般、较差、差” 等程度性的模糊评价.
（、数学模型
模糊综合评价
多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。

如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很难。

而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法.
可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。

一、模糊综合评价的数学模型
1 ,模糊数学的产生
至今，数学的发展已经历三代:
<1)第一代数学：经典数学，研究和处理植确的必然现象;
(2)第二代数学: 统计敷学, 研究和处理事物偈然性(随机性);1(3)
（、数学模型Fuzzy Maths »专门用来处理和研究横湖性專物的一种瓠的数学方法• 1965年美国加州大学査
H(LAZMeh)教授发衰《Fuzzy Sets》一文，标志其诞生.
一、模糊综合评价的数学模型
2.模糊数学的任务
(1)给数学“禁区"的各门学科，如社会、人文
学科等提供新的语言和工具；
(2)使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明"o
•、模糊综合评价的数学模型给定评价指标因素（着眼点）的有限集合
和评语的有限集合
U — {"], U2 , •••,
u
n
}
V— *卩2,…，V初｝
则相对某_单项评价因素U］而言，评价结果可以用评语集合*这一论域上的模糊子集B来描跖
B1 —"J V1 + "2 V2 + …+ "m / V m
并简记为向量形式
B1 —["1，"m]
•、模糊综合评价的数学模型如对教材进行评价，假如评价科学性（U］）、实践性（％）、适应性（％）、先进性（m）、专业性（明）等方面，则评价指标因素集为
— {"], "2 , "3，U4，"5}
若评价结果划分为11很好"（V）、“好"（％）、"一般”伉）“差w（V4）四个等扱，评语集则为
V = {v1, V2, V3, V4)
一、模糊综合评价的数学模型如只对科学性国）一个因素来评定该教材，若釆用民意测验的方法, 结果16%的人说“很好"，42%的人说“好"，39%的人说“一般"，3%的人说“羞"，则评价结果可攫模糊篥描述B= 0.16/很好+ 0.42 / 好+ 0.39/一般+ 0.03 / 差
~ 1
B1可简记为向量形式
B1 = [0.16,0.42,0.39,0.03]
评价结果鸟是卩诂壬=这一论域上的模糊子集.
B i就是对被评对象所做的单因素评价。

一、模糊综合评价的数学模型然而，一般往往需要从几个方面来综会地评价某一事物，从而得到一个综合的评价结果。

对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V这一论域上的横糊子氣记作B O
B = b\l V1 + b2 / v2 + ... + b m / v m
简记为m维向量形式
B = [b1, b2 ,..., b m]
其中与为V中相应元素的隶属度,且如G[0,1],j =
1,2,...,m o
一、模糊综合评价的数学模型实际评价工作中，考虑到不同评价因素童要性的区别，评价因素集合是因素集u这一论域上的模糊子篥，记作A •
A = a1 /u1 + a2 /u2 +... + a n /u n
简记为n维向■形式』「.
A—[a i, %2,..., %n]
n
其中④为u中相应元素的隶属度，且% G [0,1], £ %
=i.
•、模糊综合评价的数学
一、模糊综合评价的数学模型一个模糊综合评价问题，就是将评价因素篥合U这一论域上的一个模糊集合A经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个模糊集合B,即
B = A °R
上式即模糊综合评价的数学模型.其中
B—模糊综合评价的结果，是m维模糊行向量•
A—糊评价因素权重集合，是n维模糊行向量• R
—从U到V的一个模糊关系，是n x m矩阵。

其
元素北二匸二）表示从第i个因素着眼，做岀
第j
种评语的可能程度」
模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示宣合关系。

•、模糊综合评价的数学
-在综合评价中，常用的广义模糊算子主要有下列3种
1)主因素决定型M(V,A) b k=V n i = 1( a i A r i k)o
2)主因素突出型M(V,・)b k=V n i = 1( a i - r i k)o
3)加权平均型M(V・,・)b k=A(l，E n i=l(a i - r i k)}o
•在上述各式中W表示m i n称为模糊积;“V”表示m a x 称为模糊并;“•”表示普通积；“V•刀表示模糊有界和。

根据分析表明:加权平均型比较接近人们的经验评判，但计算出的结果不明细;主因素决定型信息利用
率不高，计算结果偏差变化大;主因素突出型利用信息比较充分。

一、模糊综合评价的数学模型
模糊综合评价的步骤：
L设定评价指标因素集U;
2.设定评语篥V ：
3・确定评价指标权■集A ;
•、模糊综合评价的数学
4.用民意测验方法请专家实施评价；
5,建立评价矩阵巴；
6,按数学模型进代综合评价；
7.归一化处理.得出具有可比性的综合评价结果.
二、模糊综合评价的应用
1 .用于讲课质量的评估
U =［清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁］
V=［很好，较好，一般，不好］
A = (0.5,020.2,0.1)
一0.4 0.5 0.10
一
0.60.30.1
R =
〜李0.10.20.60.1
一0.10.20.50.2
_
二、模糊综合评价的应用
B = A o R
〜李 〜
〜李
0.1 0 一
0.1 0 0.6 0.1 0.5 0.2
=[(0.5 A 0.4) v (0.2 A 0.6) v (0.2 A 0.1) v (0.1 A 0.1), (0.5 A 0.5) v (0.2 A 0.3) v (0.2 A 0.2) v (0.1 A 0.2), (0.5 A 0.1) v (0.2 A 0.1) v (0.2 A 0.6) v (0.1 A 0.5), (0.5 A 0) v (0.2
A 0) v (0.2 A 0.1) v (0.1 A 0.2)] =(0.4,0.5,0.2,0.1)
归一化：
B = (0.33,0.42,0.17,0.08)
0.4 0.5
0.6 0.3 0.1 0.2 0.1 0.2
=(0.5,0.2,0.2,0.1) o
二、模糊综合评价的应用
2.用于科技成果的评定
U =［水平，成功概率，经济效益］
A = (0.2,0.3,0.5)。