补集思想在解题中的应用举例(高三)

补集思想在解题中的应用举例

在集合中，大家都知道补集有这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用.

【例1】已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围.

分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解.

解：易解得A={y|y>a 2+1或y

的范围.如图

由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤3

32a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a . 即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a ,而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集.从而,易知所求范围为{}

332|<<->a a a 或. 【点评】一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”.

【例2】若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围.

分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”.故先考虑其反面是捷径. 解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a .设A=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x .于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧

-≥-≤=123a a a A C U 或

24a 2+1a

【例3】若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222π

π

π

+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，

求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.

分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路.若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立.

证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,

又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立，

∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.

【点评】本题实际是一种反证法，反证法从某种角度看就是“补集思想”的一个应用.

总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助.

【例4】已知函数()12)2(242

2+----=p p x p x x f ,在区间]1,1[-上至少存在一个实数c 使()0>c f ,求实数p 的取值范围.

分析：本题的正面情形复杂多样，需要讨论考虑.故先考虑其反面是捷径.

解:设所求p 的范围为A ，则

=A C R {|p 在]1,1[-上函数()()}01222422≤+----=p p x p x x f

注意到函数的图象开口向上

⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=-≤+--=∴0

12)1(0932)1(22p p f p p f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤=∴233|p p p A C R 或 ∴⎭⎬⎫⎩

⎨⎧<<-=233|p p A 【例5】m 为什么数时，方程0sin sin 2=+-m x x 无实根.

分析：此题若正面解，可判别式小于0和1sin >x 讨论出的取值范围或讨论二次函数的两种情况，列出关系式，但这需要一定的技巧.若从反面考虑取其补集，可避免讨论，迎难而解.

解：原方程变形、整理：m -=-4

1)21

(sin 2，若方程有实数解，则1sin 1≤≤-x ，49)21(sin 02≤-≤∴x ，故4

12≤≤-m .取其补集得， 当41>m 或2-