复数的概念及运算(公开课)

复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示
C {z | z a bi,其中a,b R)
复数
ìï í ïî
实数 虚数
2.复数的代数形式：
用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的
代数形式
实部
虚部
规定: 0i=0,0+bi=bi
3.两个复数相等 有两个复数z1=a+bi (a,b∊R)和z2=c+di(c,d∊R)
y轴------虚轴
复数z=a+bi 一一对应
uuur 平面向量 OZ
以(a,b)为坐标的向量叫做表示复数z=a+bi的对应向量
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
6.复数的模：
z=a+bi 则：
| z | a2 b2
a
o
x 7.z的共轭复数
z=a+bi 则：
z = a - bi
1．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是_____
∴(1＋i)10＝(1＋i)8(1＋i)2＝32i
④除法：z1＝a＋bi＝（a＋bi）（c－di） z2 c＋di （c＋di）（c－di）
＝（ac＋bd）c2＋＋（d2 bc－ad）i(c＋di≠0).
练习：若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z的虚部为_____ 解析：|4＋3i|＝5，则 z＝3－54i＝3－543i＋34＋i 4i＝532＋54i＝35＋45i， 其虚部为4. 5
解析：由题意，得 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1+i
\ z =1- i
例 已知：z=11＋－2ii2 则|z|=______ 解析：11＋－2ii2＝1－＋22ii＝－22＋i＝－1＋12i.
\ | z |= 1 + 1 = 5
4
2
解析：xi - y＝3＋4i ∴x＝4 y=-3 ∴|x＋yi|=5
例 2如图 10-2-1，在复平面内，点 A 表
示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( B )
A．A
B．B
C．C
D．D
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范
- 4 4 -1 2i
- 3 3 -1 3i
（3） x2 1 x i
虚数
实数可以与 i 进行四则运算．
即：将实数a和数i相加记为: a+i； 把实数b与数i相乘记作: bi； 将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
一.复数的有关概念
1.复数： 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数
解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i. 2.已知 i 是虚数单位，则i＋i2＋i3＋.....＋i100＝_______ 解析： i=i i2 =-1 i3 =-i i4 =1
∴i＋i2＋i3＋i4＝0 i5＋i6＋i7＋i8＝0 ∴ i＋i2＋i3＋.....＋i100＝0 3.已知 i 是虚数单位，则(1＋i)10＝_______ 解析： (1＋i)2＝2i (1＋i)4＝-4 (1＋i)8＝16
例 1：设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i (a∈R)是纯虚数， 则 a 的值为_________
解析：复数 a－31－0 i＝a－31－0i3＋3＋i i＝a－3－i 是纯虚数， 则 a－3＝0，a＝3.
1 若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则 z = ______
(2)复数的运算律
z1＋z2＝_z_2＋__z_1_， z1·z2·z3＝_z_1·_(_z2_·_z_3)
(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(z_2_＋__z_3)_.. z1·(z2＋z3)＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3__
1.已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝_______
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
虚数单位
为了解决负数开方问题，
引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于－1，即 i 2 1
（2） -1 i
a+bi =c+di
a=c且b=d
注
若z1,z2为虚数，z1与z2只有相等或不相等 两关系，而不能比较大小
意
虚数不能比较大小❗
4.复数的分类：
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0) 虚数(b≠0)
纯虚数(a=0) 非纯虚数(a≠0)
实数集R是复数 集C的真子集，
RC
练习:
1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部 与虚部
围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m32或m m2 1
m(3,2) (1,2)
复数运算
(1)复数的加、减、乘运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__a_＋__c)_＋__(_b_＋__d_)i_； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ _(_a_－__c_)＋__(_b_－__d_)_i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ _(a_c_－__b_d_)_＋__(_a_d_＋__b_c_)i_；
1 3
2i
0
i2
i 1 (2 3i) i
5.复数的几何意义：
－5
5.复数的wenku.baidu.com何意义：
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
点Z(a,b)叫做表示复数z=a+bi的点
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
o
x
x轴------实轴