圆锥曲线中的典型问题与方法：焦点三角形问题

圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品
【点评】 圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于 有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考， 往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
3、动点轨迹问题 例 3.已知椭圆
x2 y2 1(a b 0) 上一动点 P，两个焦点 a 2 b2 F1 (c,0)，F2 (c,0) ， F1PF2 的内切圆记为 M ，试求圆心 M 的轨迹方程.

2
2
。
(2c) 2 F1 F2
2
PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos
2
2 ( PF 1 PF 2 ) 2 PF 1 PF 2 (1 cos )
PF1 PF2
( PF1 PF2 ) 2 4c 2 2(1 cos )

4a 2 4c 2 2b 2 2(1 cos ) 1 cos
P 位 于 椭 圆 上 （ 异 于 长 轴 两 端 点 ） 何 处 ， 总 有
论
kMF1 kMF2 tan
2

2
tan

2
2
,
y y ac ( y 0). xc xc ac
2
整理得(a－c)x ＋(a＋c)y =(a－c)c (y≠0)证毕． 点评：由上获得的方程不难看出，△PF1F2 的内切圆圆心 M 始终在包含于原椭圆内的一小椭 圆上移动．如果 △PF1 F2 中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到

3
，且△ PF1 F2 的面积
x2 y2 1(a 0，b 0) ， a 2 b2
F1 (c，0) ，F2 (c，0) ， P( x0 ，y0 ) 。 在 △ PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 (| PF1 || PF2 |) 2 | PF1 | ·| PF2 | ， 即 | F1 F2 |2 | PF1 |2 | PF2 |2 2| PF1 | ·| PF2 | · cos
二、焦点三角形的的常见问题
1、焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例 1. 椭圆
x2 y2 1 上一点 P 到焦点 F1 , F2 的距离之差为 2，试判断 PF1 F2 的形状. 16 12
解：由椭圆定义： | PF | PF1 | 5, | PF2 | 3 . 1 | PF 2 | 8, | PF 1 | | PF 2 | 2. 又 | F1 F2 | 4 ，故满足： | PF2 | | F1 F2 | | PF1 | , 故 PF1 F2 为直角三角形.
而
F 1F2 sin( )

PF 1 PF2 2c 2a ， sin( ) sin sin sin sin
∴e
c sin( ) 。 a sin sin
【应用】已知椭圆的焦点是 F1(－1，0)、F2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜ 和｜PF2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程；
3
4c 4a | PF1 | ·| PF2 | ， 又 因 为 S △PF1 F2 2 3 ， 所 以
2 2
1 | PF1 | ·| PF2 |sin 2 3 2 3
，所以
| PF1 | ·| PF2 | 8 ，所以 4c 2 4a 2 8 即 b 2 2 ，又因为 e c 2 ，所以 a 2
椭圆的离心率 e
1 2
则
1 sin(180o ) 2 sin 120o sin(60o )
sin 3 sin(60o ) 2
，
整理得：5sinθ ＝ 3 (1＋cosθ )
3 2 3 sin 3 5 5 3． ∴ 故 tan ，tanF1PF2＝tanθ ＝ 3 1 cos 5 11 2 5 1 25
所以 AM · AN
8k 2 4k 2 12 ，x1 x2 2 3 4k 3 4k 2
( x1 1)( x2 1) y1 y2 ( x1 1)( x2 1) k 2 ( x1 1)( x2 1)

(1 k 2 ) x1x2 (1 k 2 )( x1 x2 ) 1 k 2
x2 y2 一 个 重 要 的 结 论 ： 已 知 椭 圆 2 2 1(a b 0) 上 一 点 P 及 两 焦 点 F1 、F2 ， 若 a b sin( ) 。 ∠PF1 F2 ， ∠PF2 F1 ，则椭圆的离心率为 sin sin
4、方程问题 例 4. 如图 2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， F1 、F2 分别为 左、右焦点，双曲线的右支上有一点 P，∠ F1 PF2 为 2 3 ，双曲线的离心率为 2，求该双曲线的方程。 解 析 ： 设 双 曲 线 的 方 程 为
证明：设 P( xo , yo ) ,由焦半径公式可知： PF 1 a exo ， PF 1 a exo 在 F1 PF2 中， cos
PF1 PF1 F1 F2 2 PF1 PF2
2
2
2

( PF1 PF2 ) 2 2 PF1 PF2 4c 2 2 PF1 PF2
7k 2 9 3 4k 2
2 2
因 为 ∠ MAN 为 钝 角 ， 所 以 AM · AN 0 所 以 7 k 9 0，所以 0 k
9 ，所以 7

cos ∠F1 PF2 0 PF1 · PF2 0 ；∠F1PF2 为直角 cos ∠F1 PF2 0 PF1 · PF2 0 ；∠F1PF2
2 2
3 2
3 2
3 90° （不合题意） 。 （2）若 l 与 x 轴重合，则∠MAN＝π （不合题意） 。 4 （3）若 l 与 x 轴、y 轴不垂直，设 l：y k ( x 1)( k≠0) ，代入曲线 C 的方程得： ∠MAN 2 arctan
(3 4k 2 ) x 2 8k 2 x 4k 2 12 0设M ( x1，y1 )，N ( x2，y2 ) x1 x2
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(2)若点 P 在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求 tanF1PF2． 解：(1)由题设 2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜ ∴2a＝４，又 2c＝2，∴b＝ 3
∴椭圆的方程为
x2 y2 ＝1． 4 3
(2)设∠F1PF2＝θ ，则∠PF2F1＝60°－θ
2 2 2
说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功. 2、定值问题
x2 y2 1(a b 0) 上一点 P，两个焦点 F1 (c,0)，F2 (c,0) ， F1PF2 的内切 a 2 b2 圆记为 M ，求证：点 P 到 M 的切线长为定值。
例 2. 椭圆 【证明】 设⊙M 与△PF1F2 的切点为 A、 B、 C， 如图 1， 因⊙M 是△PF1F2 的内切圆， 所以|F1A|=|F1C|、 |F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F1C|＋|F2C|=2c，∴ |F1A|＋|F2B|=2c，由椭圆第一定义知 |PF1| ＋|PF2|=2a ，∴ |PA|＋|F1A|＋|PB|＋|F2B|=2a， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a－c 为定值．证 毕．

a x 0 a
2b 2 4a 2 4c 2 4b 2 1 1 1= 2 2 2 PF1 PF2 2(a exo )(a exo ) a e 2 xo
2 xo a2
性质 3：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的弦)最短，通径为 2
b2 a
x2 y2 性质 4： 已知椭圆方程为 2 2 1(a b 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 a b
a
2 2
2 。故所求双曲 3
线方程为
3x y 1。 2 2 点评：如果在 △PF1 F2 中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。
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5、最值、范围问题 例 5. 已知曲线 C 的方程为 x y 1 ，A（－1，0） ，B（1，0） ，过点 B 的直线 l 与曲线 C 交 4 3 于 M，N 两点，若∠MAN 为钝角，求直线 l 的倾斜角为 的取值范围。 解 ：（ 1 ） 若 l ⊥ x 轴 ， 则 l 的 方 程 为 x 1 M (1， ) ，N (1， ) ，
S F1PF2
1 b2 PF1 PF2 sin b 2 tan 2 1 cos 2 x2 y2 1(a b 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2
性质 2：已知椭圆方程为
PF1 F2 ，若 F1 PF2 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。
【解析】 如图 1，设∠PF1F2=α 、∠PF2F1=β ，M(x，y)则在△PF1F2 中由正弦定 理及椭圆的定义有
| PF1 | | PF2 | | F1 F2 | ，由等比定理有即 sin sin sin[180° ( )] | PF1 | | PF2 | | F1 F2 | 2a 2c ， 又 由 合 分 比 定 理 知 sin sin sin( ) sin sin sin( ) ac y y tan tan , kMF2 ( y 0), 由前述不难看出，不 。由斜率公式知：kMF1 2 2 ac xc xc
中 F1 PF2 , 则 cos 1 2e .
2
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证明：设 PF 1 r 1 , PF 2 r2 , 则在 F 1 PF 2 中，由余弦定理得：
cos
r12 r22 F1 F2 (r r ) 2 2r1r2 4c 2 2a 2 2c 2 1 2 1 2r1r2 2r1r2 2r1r2
2a 2 2c 2 2a 2 2c 2 1 1 1 2e 2 . 2 r1 r2 2 2a 2( ) 2
命题得证。
2
【应用】已知椭圆
x2 y2 1(a b 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在一点 P, 使得 a2 b2
F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。
PF1 F2 , PF2 F1 , 则椭圆的离心率 e
PF1 F2 , PF2 F1 ,
由正弦定理得：
F 1F2 sin(180 )
o

PF2 sin

PF1 sin
由等比定理得：
F 1F2 sin( )

PF 1 PF2 sin sin
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圆锥曲线中的焦点三角形问题
一、焦点三角形的一些性质 性质 1： 已知椭圆方程为
x2 y2 1(a b 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 a2 b2
2
中 F1PF2 , 则 S F1PF2 b tan
简解：由椭圆焦点三角形性质可知 cos120 1 2e . 即
0 2
1 1 2e 2 2
,
于是得到 e 的取值范围是
3 ,1 . 2
性质 5： 已知椭圆方程为
x2 y2 1(a b 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 ， a2 b2 sin( ) 。 sin sin