2017年高中数学 第2讲 参数方程 第2节 直线和圆锥曲线的参数方程 第3课时 椭圆的参数方程 北

1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
??x＝ acos φ
?
??y＝
bsin φ
(φ为参数 )
??x＝bcos φ
?
??y＝asin φ
(φ为参数 )
2.椭圆中参数 φ的意义与圆中参数 θ的意义的区别是点 M所 对应的圆的半径 OA(或OB)的____旋__转__角_，称为 ____离__心__角_，不 是OM的_____旋__转__角_．
为12.
椭圆参数方程的应用：求轨迹方程
已知A，B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 9
＝1的右顶点和上顶
点，动点C在该椭圆上运动，求△ ABC的重心G的轨迹方程．
[思路点拨 ] (1)求出椭圆的右顶点，上顶点坐标为 (6,0)和
(0,3)； (2)设出C的坐标为(6cosθ，3sinθ)； (3)由重心公式可得G坐标； (4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
预习学案
椭圆轨迹是普遍存在的一 种天体之间相对运动所遵循的 现象．
根据牛顿运动定律，物体 在受到外力的作用下，会在该 力方向上产生一个加速度．又 根据万有引力定律，任何有质量物体之间都会相互吸引．所以 在力的作用下，天体运行轨迹不会成为标准圆，而大多是椭 圆．
根据所学知识，你能否写出椭圆的参数方程？
则由
?? ?
2x＋ay－2a＝0
??2ax－9y－18＝0
?? ?
x＝a12＋8a9①
解得? ? ?
消去参数 θ得到?x－4 2?2＋(y－1)2＝1.
[规律方法] 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决
相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
[变式训练] 2.已知线段AB＝4，直线l垂直平分AB，垂足 为点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，Q，使 OP·OQ＝9，求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程．
(θ为参数 )
消去θ得x92＋49y2＝1表示中心在原点，
焦点在 x轴上的椭圆．
课堂讲义
椭圆的参数方程应用求最值
??x＝4－2t，
已知直线
l的参数方程为
?
??y＝t－2
(t为参数)，
P是椭圆
x2 4
＋y2＝1上任意一点，求点 P到直线l的距离的最大
值．
[思路点拨]
[解题过程] 直线l的参数方程为?????xy＝＝4t－－22t， (t为参数)， 故直线l的普通方程为x＋2y＝0. 因为P为椭圆x42＋y2＝1上任意点， 故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)．
因此点 P到直线 l的距离 d＝|2cos
θ＋2sin 12＋22
θ|
2 ＝
2???sin5???θ＋π4?????பைடு நூலகம்.
所以当 sin???θ＋π4 ???＝1，
即θ＝π4时，d取得最大值
2
10 5.
[规律方法]
(1)用???
??
X＝ACOS Θ， Y＝BSIN Θ
研究椭圆问题时，椭圆
上任一点的坐标可记作(ACOS Θ，BSIN Θ)．
1．椭圆?????xy＝＝41＋＋25csions
θ， θ
(θ为参数)的焦距为(
)
A． 21
B．2 21
C． 29
D．2 29
解析： 由椭圆的参数方程知：a＝5，b＝2，
∴c＝ 25－4＝ 21. ∴2c＝2 21.
答案： B
2．中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为
1 2
的椭圆方
程是( )
A．?????xy＝＝2sicnoθsθ
B．?????xy＝＝2s3icnoθsθ
C．?????xy＝＝2c3ossiθnθ
D．?????xy＝＝c2osisnθθ
解析：
利用椭圆第二定义，求得椭圆标准方程为：
x2 4
＋
y32＝1，再化为参数方程．
答案： C
3．设P点在椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1上，P点关于y轴和原点的对称
点分别是Q、R，则△PQR面积的最大值是________.
课时 椭圆的参数方程
[ 学习目标]
1．掌握椭圆的参数方程，并解决一些长度、面积问题． 2．掌握利用椭圆的性质来解决实际问题． 3．通过对具体问题的解决，体会运用数形结合的思想方 法去分析问题和解决问题.
[ 学法指要]
1．理解椭圆参数方程的意义．(重点) 2．常与方程、三角函数和圆锥曲线结合命题．(难点)
(2)利用asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角
函数的有界性求最值．
[变式训练 ]
1.求椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的内接矩形中，面积最大
的矩形的长和宽及其最大面积． (如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋
y42＝1的参数方程为
?? ? ??
x＝3cosφ， y＝2sinφ
[解题过程] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点 C在椭圆 上运动，故可设动点 C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
???x＝6＋0＋3 6cosθ， ???y＝0＋3＋3 3sinθ，
即??? x＝2＋2cosθ， ?? y＝1＋sinθ.
(φ
为参数 )，设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点．
则P点的坐标是 P(3cosφ，2sinφ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4·3cos φ·2sin φ＝12sin2 φ 当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积 S有最大值 12，
这时x＝3cos45°＝322，y＝2sin45°＝ 2. 故面积最大的内接矩形的长为 3 2 ，宽为2 2 ，最大面积
答案： ab
4．如图，由圆 x2＋y2＝9上的点 M向x轴作垂线，交 x轴于 点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
解析：
圆x2＋y2＝9的参数方程为
?? ? ??
x＝3cosθ y＝3sinθ
(θ为参数 )．
∴设M(3cosθ，3sinθ)，P(x，y)，
则N(3cosθ，0)
∴???x＝3cosθ＋2 3cosθ＝3cosθ， ??y＝3s2inθ＝32sinθ
解析： 以O为原点，AB为y轴，l为x轴建立直角坐标系， 如图所示，
则A(0,2)，B(0，－2)， 设P(a,0)(a≠0)， 则由OP·OQ＝9，得Q???9a，0???.
直线AP的方程为 ax＋2y＝1， 直线BQ的方程为 9x＋?－y2?＝1，
a 即2x＋ay－2a＝0,2ax－9y－18＝0， 设M(x，y)