常微分方程数学建模优秀论文

(3)
f ( x1 , x2 ) 0 g ( x1 , x2 ) 0
t
的根x1=x10,x2=x20称为（3）的 平衡点。
t
0 lim x1 (t ) x10 , lim x2 (t ) x2 若有
则平衡点是稳定的，否则不稳定。
线性常系数方程
x1 (t ) a1 x1 a2 x2 x2 (t ) b1 x1 b2 x2
d 2x m dt 2 fmg dx x(0) 0 ， v0 dt t 0
刹车时间 刹车距离
v0 t2 fg
1v x(t2 ) 2 fg
2 0
从而停车线到路口的距离为
1v L v0t1 2 fg
等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程， 第二项为刹车距离。
G 若1 0, 2 0 ，则 tlim Y (t ) ， S
4 2 2
2
即生产水平将衰减到G/S
2.当 2 4 时，（5）的通解为
G Y (t ) ( A Bt )e , S
t
t ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2

2
若 0，则 lim Y (t )
'

(2)
若f ( x0 ) 0, 则x0是渐近稳定的. 若f ( x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
二、二阶微分方程的平衡点及稳定性 二阶微分方程一般可化为两个一阶方程表示
x (t ) f ( x1 , x2 ) 1 x2 (t ) g ( x1 , x2 )
2 0
黄灯时间的计算 记街道的宽度为D,平均车身长度为H，这些 车辆应通过的路程最长可达到L+D+H,因而，为保 证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少 应为
LDH T v0
模型二：国民经济的增长
问题的提出：
消费资金
国民收入主要用于 投入再生产的积累资金 共设施开支
讨论国民收入与这三者之间的关系
对于一般的非线性方程（3），可以用近似 线性方法判断其平衡点的稳定性。而对于任意高 阶的微分方程都可以化为一阶微分方程组来处理。
模型一：交通管理中的黄灯问题
◆问题的提出：
十字路口亮红灯之前要亮一段时间的黄 灯，这是为了让正在行驶在十字路口的人注意， 告诉他们红灯即将亮起，假如能够停住，应当 马上刹车，以免冲红灯违反交通规则，那么， 黄灯应当亮多久才比较合适？
◆问题的分析： I.
根据法定速度v求出停车线的位置
II 根据停车线位置和v确定黄灯该亮多久
◆模型假设及构造求解：
假设驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 t1（据统计数据可假设为1秒），刹车后需行驶一段距 离称刹车距离，使机动车减速的摩擦力系数为f,汽车 质量m,刹车制动力为fmg。
由牛顿第二定律，有
问题的分析：
SARS的传染过程为 易感人群病毒潜伏人群 发病人群退出者（包括死亡者和治愈者）
疫情主要受日接触率 (t ) 的影响，在SARS传 播过程中，卫生部门的控制防御措施起着较大的 作用，已采取控制措施的时刻作为分割点，将传播 过程分为控前和控后两个阶段 .
控前阶段，SARS按自然规律传播， (t )可视 为常量，且疫情初期人们防范意识弱，加上自身的 传播特点，在个别地区出现了“超级传染事件” （SSE）。到了中后期，随着人们防范意识的增强， SSE发生的概率减小。SSE的特点在于在较短时间 内可使传染者数目快速增加，故可将SSE对疫情的 影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程 描述。且控后阶段 (t )逐渐减小，疫情减缓。
常微分方程建模（动态模型）
数理系
周树克
数学建模的一般步骤
• 1. 了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌 握必要的数据资料。 • 2. 通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因 素，经必要的精练、简化，提出若干符合客观实 际的假设。 • 3. 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去 刻画各变量之间的关系，即建立模型。 • 4. 模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定 理证明等）。 • 5. 模型的分析与检验。
常微分方程的主要特点是利用微元分析法， 建立瞬时变化率的表达式，然后根据所给条件确 定解曲线。因此，对变化率的假设与推导是建立 常微分方程模型的关键。
微分方程解的存在唯一性定理：
关于初值问题
dx (1) f (t , x) dt x(t0 ) x0 (2) 设函数f (t , x)在矩形域R {(t , x) :| t t0 | a,| x x0 | b}
模型三：SARS传播问题 问题的提出：
SARS（非典型肺炎）是21世纪第一个在世界 范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给部分国家 和地区的经济发展和人民生活带来了很大影响，人 们从中得到了许多重要的经验教训，认识到定量的 去研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓 延创造条件的重要性。那么，如何对SARS的传播 建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可 靠、足够信息的模型？
2
（4）
记 ls m lma ， mls
（4）化简为
dY dY Y lmG 2 dt dt
2
（5）
验算知G/S为（5）的一个特解，下面对（5） 的通解进行讨论
4 记 1 , 2
2
1.当 2 4 时，（5）的通解为 G 1t 2t Y (t ) Ae Be S 若 1 , 2中至少有一个为正，则 lim Y (t ) t 即生产水平随时间的增加而增加。
其中表示日退出率
2.控前阶段的自然传播模型
(1)参数确定：这一阶段如前已述 (t )保持不变
(t)
(2)超级传染事件（SSE）的处理 定义脉冲函数：
1 , x0 x x0 ( x x0 ) 2 0 , 其他
函数:
( x x0 ) lim ( x x0 )
m
m
(3)控前阶段的传播模型 m dS dt (t ) IS N i (t ti ) i 1 m dE dt S (t ) I E N i (t ti ) i 1 dI E I dt dQ I dt S E I Q 1 S (0) S , E (0) E , I (0) I , Q(0) Q 0 0 0 0
ut t
当 0时， he lim
ut t
即振幅随着时间的增大而增大。
eg. Y (t ) 5.073Ge
0.05t
sin(0.705t 0.908) 4G
分析： 由图可知，Y(t)在直线Y=4G上下振荡，并 且在t取某些值时，Y(t)取负值，这表明生产水平 为负。此时，政府部门可通过采用一些措施来提 高G的值，促进生产发展。
(4)
原点是其唯一的平衡点，其稳定性由（4）的 特征方程的根决定
2 p q 0 p (a1 b2 ) q a b a b 1 2 2 1
若p>0,q>0则平衡点稳定 若p<0,q<0则平衡点不稳定
微分方程的稳定性理论将平衡点分为节点、 焦点、鞍点、中心等类型，这完全取决于p,q 的值。
问题的假设与符号说明：
模型假设：
1）由于SARS的传染期不是很长，故不考虑这段 时间内的人口出生率和自然死亡率 2）平均潜伏期为6天 3）处于潜伏期的病人不具有传染性 符号说明： t0——从最初发现SARS病例到卫生部门采取预 防措施的时间间隔 N——疫区总人口数 S(t)——健康人数占总人数的比例 I(t)——感染人数占总人数的比例
微分方程的解
一阶微分方程：可分离变量, 齐次方程,线性方程等.
ax'' bx' cx 0 二阶微分方程:
b b2 4ac b b2 4ac r1 , r2 2a 2a
b 2 4ac 0, b 4ac 0,
2
x c1e r1t c2e r2t b x c1e c2te , r1 r2 2a t x e (c1 cos t c2 sin t )
(1)
方程f ( x) 0的实根x x0 称为方程（）的平衡点。 1 若 lim x(t ) x0 , 则称平衡点x0是渐近稳定的，
t
否则是不稳定的。
判断方法：
1.求解原方程用定义判断 2.当原方程不易求解时将f(x)在x0作Taylor展开， 只取一次项，即方程（1）近似为
x(t ) f ( x0 )( x x0 )
E(t)——潜伏期的人数占总人数的比例 Q(t)——退出者的人数占总人数的比例 f(t)——疫情指标 g(t)——预防措施的力度 h(t)——人们的警惕性指标 w(t)——防范意识 b(t)——实际的新增确诊人数 (t )——日接触率，即表示每个病人平均 每天接触的人数
模型的建立：
1.各类人群的转化过程 将人群分为易感人群S，病毒潜伏人群E， 发病人群I，退出人群Q四类。 (1)易感人群S与潜伏人群E间的转化 易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者
上连续,且关于x满足Lipschitz条件. 即存在常数L 0, 使得 | f (t , x1 ) f (t , x2 ) | L | x1 x2 |, (t , x1 ), (t , x2 ) R. 则方程(1)在区间 | t t0 | h上存在满足(2)的解x (t ) b 且解唯一.其中h min(a, ), M max | f ( x) | . R m
G 若 0, 则 lim Y (t ) t S 3.当 2 4 时，（5）的通解为 G ut Y (t ) he sin(vt w) S
其中h,w为常量
由Y(t)的图形可知，此时的生产水平将随着 时间的增长而出现振荡
当 0时， he 0 即振幅不断下降。 lim
dS N SNI dt
(2)病毒潜伏人群E与发病人群I之间的转化 病毒潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量 减去转为发病人群的数量
dE S (t ) I E dt
其中 表示潜伏期日发病率 (3)发病人群I与退出者Q间的转化 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少
dQ I dt
r1t r1t
b 4ac 0,
2
b , 2a
4ac b 2a
2
诸如 ax bx cx f (t ) 的线性非齐次方程的通解 等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解的和.
'' '
微分方程的稳定性理论 :
一、一阶方程的平衡点及稳定性(自治系统)
x(t ) f ( x)
dY l(D Y ) , l 0 dt
（2）
4）设投资水平的变化率与生产水平的变化率和现 有投资水平的差成比例
dI dy m(a I ), dt dt
m 0,a 0
(3)
模型构造与求解：
由（1）—（3）代入整理得
dY dY (ls m lma) slmY lmG 2 dt dt
模型假设：
1）记 Y(t)——t时刻的生产水平（国民收入平） C(t)——t时刻的消费水平 G——用于公共设施的开支水平 I(t)——t时刻用于投资再生产的投资水平
2）设消费水平与生产水平成正比 C=kY, 0<k<1
3）记 D(t)为t时刻的需求水平，则 D(t)=kY+I+G （1）
设生产水平的改变与需求水平和生产水平的差 成比例，即
0
由问题的分析，将SSE对疫情的影响看作是 一个瞬时脉冲行为，则有
dS (t ) IS N i (t ti ) dt i 1 dE S (t ) I E N i (t ti ) dt i 1
其中m为所加 函数的个数，在实际表现为SSE 的个数， i为第i个函数的强度。