《大学物理》矢量运算解读
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2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
y
在直角坐标系中，常用 i 、j 、k
Ay
A
β j α O
γ
i
表示x、y、z 方向的单位矢量。
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
A
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
A0 叫做单位矢量；
A 也叫做模。
A
1单位
矢量相等 ：大小相等、方向相同的两矢量相等。 矢量平移后保持不变。
二、矢量的加减法（几何法）
2．矢量解析法 把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量，分矢量的 量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可 用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指 向），从而使问题简化。 若A A A0，则A0叫做A方向上的单位矢量， 其大小 A0 1，方向与A的方向一致。
C x Ax Bx
C y Ay B y
方向
2 2 大小 C C x Cy
Cy arctan Cx
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。 如图： W Fcos s
F θ
s
1. 矢量的数乘
大小
B mA
mA
。 方向 m 0, B与A的方向一致；否则相反
2．矢量的减法
A B A (-B)
B
C A B
A
B
矢量减法规律（自己总结）
矢量减法规律： 起点相同的两个矢量的差，就是从减矢量的 末端指向被减矢量的末端的矢量。
三、矢量合成的解析法（矢量投影 ，代数运算，问题简化）
1．矢量的合成和分解
已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成，反之叫矢量分解。 注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的 方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsi n
C A B
c
i A B Ax Bx
讨论：
（1）结合律 （2）
方向: 指向用右手螺旋法则确定。 j k
垂直于A 、 B 组成的平面，
B
Ay By
1．矢量的加法
已知：A 、B ，求 A B
A
平行四边形法则 ①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从起点O作对角线 就是合矢量
C A B
C
O
B Acos
Asin
大小: C
A 2 B 2 2 AB cos
Asin B Acos
arctan 方向：
矢量加法的其他法则 （1）多矢量相加时，可依次相加。
A B C E C F
c
A
B
E
A
Leabharlann Baidu F
B
F
c
（2）多边形法则： 平移后首尾相接。
（3）交换律 结合律
A B B A A ( B C ) ( A B) C
Az Bz
A
A ( B C) A B A C
A B (B A)
M r F
A A 0
Fsin r
r F 的方向
r
F
（3） 力矩定义：
五、矢量的导数和积分
1.矢量的导数
t A2 (t t ) 对应A 如图，当 A1 (t ) ΔA dA 当△t→0时，有 lim Δt 0 Δt dt
y
A1 (t )
A
A2 (t t )
可以证明
2.矢量的积分 若
dA dAx dAy dAz i j k dt dt dt dt
O
x
z
dA B( t ) B x ( t ) i B y (t ) j Bz ( t ) k dt
2．矢量的点乘 标积
两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘，其乘积称为标积（点积）
A B AB cos
、 A 式中θ为两矢量 、 B的夹角。
A B 等于B 在
A 方向上的分量 B cos 与A 的模的乘积或等于 A 在 B 方向上
→
的分量 A cos 与 B 的模的乘积。
C
Ay
然后将 A、B 正交分解，其解析式为
A Ax i A y j
B Bx i B y j
O
α
B
By
Ax
Bx
(由图 可得出)
x
故 而 所以
C A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
C Cxi C y j
讨论：
标积满足交换律、分配律 （1） （2）特别注意： A A A2 0
A B B A A ( B C ) A B A C
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
补充知识：矢量运算
目的及要求:
1．掌握矢量、矢量运算法则；
2．理解单位矢量的定义，掌握矢量解析法；
3．从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
y
在直角坐标系中，常用 i 、j 、k
Ay
A
β j α O
γ
i
表示x、y、z 方向的单位矢量。
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
A
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
A0 叫做单位矢量；
A 也叫做模。
A
1单位
矢量相等 ：大小相等、方向相同的两矢量相等。 矢量平移后保持不变。
二、矢量的加减法（几何法）
2．矢量解析法 把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量，分矢量的 量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可 用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指 向），从而使问题简化。 若A A A0，则A0叫做A方向上的单位矢量， 其大小 A0 1，方向与A的方向一致。
C x Ax Bx
C y Ay B y
方向
2 2 大小 C C x Cy
Cy arctan Cx
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。 如图： W Fcos s
F θ
s
1. 矢量的数乘
大小
B mA
mA
。 方向 m 0, B与A的方向一致；否则相反
2．矢量的减法
A B A (-B)
B
C A B
A
B
矢量减法规律（自己总结）
矢量减法规律： 起点相同的两个矢量的差，就是从减矢量的 末端指向被减矢量的末端的矢量。
三、矢量合成的解析法（矢量投影 ，代数运算，问题简化）
1．矢量的合成和分解
已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成，反之叫矢量分解。 注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的 方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsi n
C A B
c
i A B Ax Bx
讨论：
（1）结合律 （2）
方向: 指向用右手螺旋法则确定。 j k
垂直于A 、 B 组成的平面，
B
Ay By
1．矢量的加法
已知：A 、B ，求 A B
A
平行四边形法则 ①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从起点O作对角线 就是合矢量
C A B
C
O
B Acos
Asin
大小: C
A 2 B 2 2 AB cos
Asin B Acos
arctan 方向：
矢量加法的其他法则 （1）多矢量相加时，可依次相加。
A B C E C F
c
A
B
E
A
Leabharlann Baidu F
B
F
c
（2）多边形法则： 平移后首尾相接。
（3）交换律 结合律
A B B A A ( B C ) ( A B) C
Az Bz
A
A ( B C) A B A C
A B (B A)
M r F
A A 0
Fsin r
r F 的方向
r
F
（3） 力矩定义：
五、矢量的导数和积分
1.矢量的导数
t A2 (t t ) 对应A 如图，当 A1 (t ) ΔA dA 当△t→0时，有 lim Δt 0 Δt dt
y
A1 (t )
A
A2 (t t )
可以证明
2.矢量的积分 若
dA dAx dAy dAz i j k dt dt dt dt
O
x
z
dA B( t ) B x ( t ) i B y (t ) j Bz ( t ) k dt
2．矢量的点乘 标积
两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘，其乘积称为标积（点积）
A B AB cos
、 A 式中θ为两矢量 、 B的夹角。
A B 等于B 在
A 方向上的分量 B cos 与A 的模的乘积或等于 A 在 B 方向上
→
的分量 A cos 与 B 的模的乘积。
C
Ay
然后将 A、B 正交分解，其解析式为
A Ax i A y j
B Bx i B y j
O
α
B
By
Ax
Bx
(由图 可得出)
x
故 而 所以
C A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
C Cxi C y j
讨论：
标积满足交换律、分配律 （1） （2）特别注意： A A A2 0
A B B A A ( B C ) A B A C
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
补充知识：矢量运算
目的及要求:
1．掌握矢量、矢量运算法则；
2．理解单位矢量的定义，掌握矢量解析法；
3．从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则