小学期数学建模运用线性规划求解人力资源调度问题

小学期数学建模能力提升课程

选题?

队伍编号??

运用线性规划求解人力资源调度问题

摘要

本文针对人力资源调度问题，根据题目给出的人员结构、工资状况以及分配到各地的人员数目的限制，列出目标函数和约束条件的不等式组，建立线性规划模型，运用lingo软件进行线性规划的求解。最后得到收益最大化时的人力资源调度方案。

首先，根据题目给出的信息，计算出各类人员分配到各地的人均收益（表4）；然后用X ij表示i人员分配到j地的数量，列出最大收益与约束条件的符号表达式与约束条件的不等式组，建立模型；最后用lingo软件求模型的最优解（表5）。得出收益最大时，现有技术力量的分配方法。

表4 公司通过各技术人员在不同项目中获得的利润

表5 人力资源最佳配置方案

关键词：线性规划、人力资源调度、收益最大化

一、问题重述

某公司现有员工42人，人员结构入表1。目前，公司承接有4个工程项目，其

中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，比如项目A，公司安排一位高级工程师收费2000元，而对项目B，则收费3000元。不同项目和各种人员的收费标准如表2所示。为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，各项目对专业技术人员结构的要求如表3 所示。

如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。

表1 公司的人员结构及工资情况

表2 不同项目和各种人员的收费标准

表3：各项目对专业技术人员结构的要求

说明：

●表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同

理；

●项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不

能参加；

●高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高

级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也

有不同的限制或要求；

●各项目客户对总人数都有限制；

●由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

二、问题分析

本文的目标是，在满足各项目人员要求的情况下，求得可以获得最大收益的人员配置方案。

据初步分析，公司每日所得收益与各项目收费、员工工资及管理费用之间存在“收益=收费-工资-管理费用”的关系。对数据重新整理，得到公司通过不同种类技术人员在各项目中取得的收益如下表。

由于各公司对不同技术人员及总人数都有明确的限制，我们可以根据条件构建线性规划模型，并利用Lingo进行求解。

三、模型假设

1、公司的现有技术人员数量和结构保持不变，即公司不会再临时招聘专业技术人员；

2、一旦任务分配好之后，不会再出现人员变动的情况，并且不可能出现同一个技术人员同时担任两个项目的工作；

3、对项目的收费标准和专业技术人员的工资水平保持不变；

4、排除人员因生病、请假等不能正常工作的情况，排除天气对项目进行的影响；

5、假设四个项目工期相同，即四个项目每天都在同时运行。

四、符号说明

其中1≤i ≤4；1≤j ≤4；

i 表示不同专业技术人员种类：i=1表示高级工程师；i=2表示工程师；i=3表示助理工程师；i=4表示技术员；

j 表示不同项目：j=1，2，3，4时分别代表项目A ，B ，C ，D 。

五、 模型的建立与求解【1】

5.1 最大收益与约束条件的符号表达式

由题意得目标函数：

Z max =∑∑A ij 4j=14i=1X ij （A ij 的值由上表指出）

约束条件：

s.t.

X 11+X 21+X 31+X 41≤10 X 12+X 22+X 32+X 42≤16 X 13+X 23+X 33+X 43≤11 X 14+X 24+X 34+X 44≤18 X 11+X 12+X 13+X 14≤9

X 21+X 22+X 23+X 24≤17 X 31+X 32+X 33+X 34≤10 X 41+X 42+X 43+X 44≤5 1≤X 11≤3; 2≤X 12≤5; X 13=2; 1≤X 14≤2 X 21≥2; X 22≥2; X 23≥2; 2≤X 24≤8 X 31≥2; X 32≥2; X 33≥2; X 34≥1 X 41≥1; X 42≥3; X 43≥1; X 44=0

5.2 模型求解

显然对于此题，我们希望得到一组整数解。对于此类问题，一般可以使用分制定界法求解。在这里我们借助Lingo 软件进行求解，编写程序如下： model:

max=1400*x11+2400*x12+2050*x13+1350*x14+1150*x21+1150*x22+1300*x23+1100*x24+900*x31+1100*x32+1050*x33+1050*x34+850*x41+1050*x42+600*x43+800*x44;

x11+x12+x13+x14<=9;

x21+x22+x23+x24<=18;

x31+x32+x33+x34<=9;

x41+x42+x43+x44<=6;

x11+x21+x31+x41<=10;

x12+x22+x32+x42<=16;

x13+x23+x33+x43<=11;

x14+x24+x34+x44<=18;

x11>=1;

x11<=3;

x12>=2;

x12<=5;

x13=2;

x14>=1;

x14<=2;

x21>=2;

x22>=2;

x23>=2;

x24>=2;

x24<=8;

x31>=2;

x32>=2;

x33>=2;

x34>=1;

x41>=1;

x42>=3;

x43>=1;

x44=0;

End

运行结果见附录。至此我们得到人力资源调度的最佳方案如下：