高中数学三角函数图像和性质

高中数学

三角函数的图象和性质知识点

一. 正弦函数：

1. 正弦函数的图象：

2. 定义域为；值域为 .

(1) 当且仅当时，取得最大值1；

(2) 当且仅当时，取得最小值1-.

3. 单调性：

在闭区间上都是增函数，其值从1-增大到1；

在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-.

4. 奇偶性： .

5. 周期性：最小正周期是，周期是 .

6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________.

二. 余弦函数：

1. 余弦函数的图象：

2. 定义域为 .值域为 .

(1) 当且仅当时，取得最大值1；

(2) 当且仅当时，取得最小值1-.

3. 单调性：

在闭区间上都是增函数，其值从1-增加到1；在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-.

4. 奇偶性： .

5. 周期性：最小正周期是，周期是 .

6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________.

三. 正切函数：

1．正切函数的图象

(1) 将正切函数tan y x =在区间 (,)22ππ-上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,,,2y x x x k k π

π=∈≠+∈R Z （）的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝

________()k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝________()k ∈Z 叫做正切曲线各支的________．

(2) 结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数

tan y x =在一个单调区间 (,)22ππ-上的简图．其中，三点为(,1)4π--、()0,0、(,1)4π，两线为2x π-＝、2

x π＝． 画图时，注意图象不能与直线 相交．

2. 定义域为__________;值域为__________．

3. 单调性：在区间__________内，函数单调递增．

4. 奇偶性：由诱导公式tan()tan x x -=-，可得正切函数具备________．

5. 周期性：最小正周期是________；周期是

6. 对称性：对称轴是________，对称中心是________．

题型一正弦，余弦函数的图象和性质

【例1】求函数y=

【例2】函数y=cos x+1的对称中心是_______. 函数y=2sin(4x+p

3

)的对称轴方程为_______.

【过关练习】

1．求函数3sin2

y x

=-的值域以及取得最值时x的值2. 判断函数=sin()

y x x

π-的奇偶性

3. 求函数1sin

y x

=-的单调区间

课后练习

【补救练习】

1. 求函数y

【巩固练习】

1. 求函数12sin y x =-的值域

2. 判断函数=cos y x x 的奇偶性

【拔高练习】

1. 函数2cos(2)14y x π

=-+的对称轴是_______，对称中心为_______.

2. 求函数11+cos 2

y x =的单调区间

题型二 正切函数的图象和性质

【例1】函数tan 0()44y x x x ππ

≤≤≠且＝－的值域是( ) A ．[]1,1－

Ｂ．(][)1,00,1-

Ｃ．(], 1∞－

Ｄ．[)1,-+∞

【例2】不通过求值，比较下列两个正切函数值的大小：tan167tan173。。

与

【过关练习】

1．用正切函数图象解不等式

tan x

2. 求函数tan 33y x π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性、对称中心

课后练习

【补救练习】

1. 函数 y =tan x 在

p 4,p 2éëêöø÷∪p 2,3p 4æèçùûú上的值域是___________.

【巩固练习】

1. 不通过求值，比较下列两个正切函数值的大小：1113tan()tan()45ππ--与

2. 比较tan1,tan2,tan3的大小

【拔高练习】

1. 在()0,2π内，使tan 1x >成立的x 的取值范围为__________

2. 求函数n 4ta y x π⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性、对称中心

函数 y =A sin(wx +j )+k 的图象与性质

知识点

一. 正弦函数、余弦函数的图象：

1. 正弦函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象中，五个关键点是：___、___、___、___、___.

2. 余弦函数[]cos ,0,2y x x π=∈的图象中，五个关键点是：___、___、___、___、___.

二. 三角函数的图象变换：

1. 由sin y x =的图象变换出()sin y wx ϕ=+的图象一般有两个途径，要对这两个途径加以区分.

【途径一】先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将sin y x =的图象沿x 轴向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1w 倍()0w >,即可得到()sin y wx ϕ=+的图象.

【途径二】先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的

1w 倍()0w >,再沿x 轴向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移w ϕ个单位,即可得到()sin y wx ϕ=+的图象.

三. 函数 y =A sin(wx +j )+k 的图象与性质：

函数()sin y A wx B ϕ=++()0,0A w >>

最大值是______，最小值是______，周期是_____，频率是______，相位是____，初相是____；其图象的对