第2章 模糊控制- 数学基础
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22
Degree of membership
1
0.8
Young Old
0.6
0.4
(50.96,0.036)
0.2
u Yຫໍສະໝຸດ Baiduars
0 0 20 40 60 80 100
23
2.2.1.4 隶属函数的建立
隶属函数的设计原则 任一模糊集合必须是凸模糊集 设计隶属函数时,首先确定具有最大隶属度 的点,然后向两边以单调递减方式延伸。 ② 同一语言变量所取的不同值 ( 模糊集合 ) 的隶 属函数间通常要求具有对称性和平衡性。 语言值通常选奇数个,3-9个较好; 将“零”、“舒适”、“适中”等基准语 言值两边的其它语言值和相应的隶属函数 取为对称和平衡的。
第一,集合������ 是清晰的,论域������ 中的元素本身相 对于集合������来说具有模糊性。
第二,论域������ 中的元素是清晰的、而集合������ 本身 具有模糊性。 第三,集合 ������ 本身具有模糊性,论域������中的元素 本身相对于集合������来说也具有模糊性。 以上三种情况,均称为“集合 ������ 是论域������上的模 糊集合”。
2.2.1.1 模糊集合的概念 2.2.1.2 模糊集合的表示方法 2.2.1.3 模糊集合的运算
2.2.1.4 隶属函数的建立
7
2.2.2 模糊关系
2.2.2.1 模糊关系和模糊关系矩阵 2.2.2.2 模糊关系的运算
2.2.3 模糊推理
2.2.3.1 语言变量
2.2.3.2 模糊推理
8
2.2.1 模糊集合和隶属函数
完整的模糊集合表示要求将论域中的所有元素及 其相应的隶属度同时体现出来。 对例1,模糊集合������的完整直观表示图为:
������
������
������
������
16
连续论域 ������
完整写法:������ =
������������ (������) ������
������ ∈ ������ 或
17
模糊集合的其它有关概念
①
支撑集 ������������������������������ = ������ ������������ ������ > 0};
������ 1 ������ 0
② ������ 截集
������������ = ������ ������������ ������ ≥ ������};
2.2.1.1 模糊集合的概念
(普通)集合
集合:具有某种共同特征的群体。(Contor集合)
论域:被研究的对象的全体,通常用������表示。 对于定义在论域 ������ 上的普通集合 ������ 来说, ������ 中的任 一元素要么属于 ������ ,要么不属于 ������ 。可以用下面定义 的特征函数来表示这种隶属关系: ������������ ������ ≝ 1, ������ ∈ ������ 0, ������ ∉ ������
3
1983年,日本学者Shuta Murakami研制成功了一 种基于语言真值推理的模糊逻辑控制器, 并成功用于汽车速度的自动控制;
20世纪90年代以来,除了传统的工业过程控制以外, 各种商业民用场合也大量采用模糊控制技 术,如:模糊控制洗衣机、模糊微波炉、 模糊空调、地铁运行的模糊控制、机器人 控制等。 21世纪:更为广泛的应用。
������
⑤
������������������������������
������ =
������0 ∈ ������;
18
⑥
正则(或正规)模糊集 ∃ ������0 ∈ ������, ������. ������., ������������ ������0 = 1;
⑦
凸模糊集
������������ ������������1 + 1 − ������ ������2 ≥ min ������������ ������1 , ������������ ������2 单峰值型
������ = { ������1 , ������������ ������1 , ������2 , ������������ ������2 , ⋯ , (������������ , ������������ ������������ )}
15
可简化为矢量表示法:
������ = {������������ ������1 , ������������ ������2 , ⋯ , ������������ (������������ )}
13
模糊概念说明
①
隶属度是为了刻画论域中的任一元素对于某一集 合的从属程度而引入的一个数学概念; ② 一旦隶属度确定,这个元素对于这个集合的从属 关系就完全确定了,但并不意味着模糊性的消除; ③ 模糊的本质是部分属于、部分不属于的模棱两可 性; ④ 隶属度也可以看作是为了定量刻画模糊性而引入 的一个数学概念; ⑤ 模糊本身是一种客观现象,但隶属度的确定带有 人为主观性; ⑥ 模糊集合可看作以不同的隶属度含盖论域中的所 有元素。
������ ������1 ������2 ������3 ������4
������
20
2.2.1.3 模糊集合的运算
本质:逐点将它们的隶属度进行相应的运算。 假定 ������ 、 ������ 是定义在同一个论域 ������ 上的两个模糊集。 ① 相等:������������ ������ = ������������ (������); ② 包含:������������ (������) ≥ ������������ (������),也称������ 是������的模糊子集; ③ 并:������������∪������ (������) = ������������ (������) ∨ ������������ (������); ④ 交: ������������∩������ ������ = ������������ ������ ∧ ������������ (������); ⑤ 补:������������ ������ = 1 − ������������ (������)。 模糊集合的幂等律、交换律、结合律、吸收律、 分配律、两极律、复原律、对偶律与普通集合一致。
������������ ������ ������∈������ ������
;
简化写法:直接写出模糊集合 ������ 的隶属函数的 解析表达式 ������������ (������)
例2:设������ = [0,20],������为������上“靠近10的实数”, 如何表示模糊集合������?
与普通集合运算的差别:模糊集合与其补集的交集不是 空集、并集也不是全集。
21
例3:以人类的年龄作为论域������ = [0,100],则“年轻 (������)”是������上的一个模糊集,假定其隶属函数为 ������������ ������ =
1 1+0.04 ������−25
1,
0 ≤ ������ ≤ 25 ;“年老(O)”也 , 25 < ������ ≤ 100 2
③ ������ 强截集
������������ = ������ ������������ ������ > ������};
④
模糊集的核 ������������������������ = ������ ������������ ������ = 1}; 单点模糊集
1 , ������0
������������������������ ������������
③
构造容易 可通过简单的工业计算机或单片机来构造,控制 算法用相应的软件实现;也可通过专用模糊控制 芯片直接构造。
④
鲁棒性好 对模型参数不确定或波动较大的线性系统和非线 性系统都能执行有效的控制。
6
2.2 模糊控制的数学基础
模糊集合理论,对于模糊控制理论的学习和模 糊控制器的设计具有重要的基础性作用。 2.2.1 模糊集合和隶属函数
9
借助所定义的特征函数,可将������表示为 ������ = ������ ∈ ������ | ������������ ������ = 1 普通集合的特征:隶属关系不存在模棱两可性。
模糊集合
例1:假设论域������为下列图形的集合:
������ 三个元素是否属于������。
b
c
定义集合 ������ 为所有的圆构成的集合;考察 ������ 中的这
4
2.1.2 模糊控制的特点
①
无需知道被控对象的数学模型 以人们的控制经验为基础设计控制器
②
与人类脑力活动的特点一致
模糊性:人类思维中采用模糊量,如:高、中、 低、大、小等。
经验性:模糊控制的核心是控制规则,模糊控制 中的知识表示、模糊规则和模糊推理均建立在专 家知识或熟练操作工的成熟经验之上。
5
1965年,L.A.Zadeh 提出模糊集理论;
1972年,L.A.Zadeh 提出模糊控制原理;
1974 年, E.H.Mamdani 将模糊数学成功应用于蒸 汽机和锅炉系统控制中; 1977 年,英国的 Pipps 等人采用模糊控制对十字路 口的交通管理进行实验,车辆的平均等待 时间减少了7%; 1980 年, Tong 等将模糊控制用于污水处理过程控 制,取得较好的效果。
第2章 模糊控制
1
主要内容
2.1 模糊控制简介
2.1.1 发展历史 2.1.2 模糊控制的特点
2.2 模糊控制的数学基础
2.2.1 模糊集合和隶属函数 2.2.2 模糊关系 2.2.3 模糊推理
2.3 模糊控制系统
2.3.1 模糊控制原理 2.3.2 模糊控制系统
2
2.1 模糊控制简介
2.1.1 发展历史
11
模糊集合:给定某一集合 ������ 和某一论域 ������ ,如果 存在论域 ������ 中的某个元素,它部分属于 ������ 、部分 不属于������,那么我们就说������是论域������上的一个模糊 集合。 直观阐述:
������
������
12
模糊集合定义的几种具体情况:
14
2.2.1.2 模糊集合的表示
离散论域 ������ = {������1 , ������2 , ⋯ , ������������ } Zadeh表示法: ������������ (������1 ) ������������ (������2 ) ������������ (������������ ) ������ = + + ⋯+ ������1 ������2 ������������ ������������ (������������ ) ---- ������������ 对于 ������ 的隶属度; ������������ ������������ = 0 时,该项可省略。 序偶表示法:
10
分析: ������ ∈ ������, ������ ∉ ������; 对于������ ,按照普通集合的概念,整体上不属于������。 缺点:丢失信息量。 为了刻画这种情形下的隶属关系,Zadeh引入 了隶属度的概念,它规定: ① 当某一元素 ������ 属于集合 ������ 时,就说该元素对于 该集合的隶属度为1; ② 当������不属于������时,就说������对于������的隶属度为0; ③ 当������部分属于������、部分不属于������时,就说������对于 ������的隶属度是开区间(0,1)中的某个数。 问题:考虑例1中各元素的隶属度?
������ 1 ������1 ������2
正规 凸模 糊集
,
������ ∈ [0,1] ;
������3
非正规凸模糊集
正规非凸模糊集
0
19
⑧
模糊集的中心
•
• •
隶属函数达到其最大值的、论域中的所有点 的均值有限时,将该均值称为中心; 正无穷时,将使隶属函数达到最大值的最小 值点称为中心; 负无穷时,将使隶属函数达到最大值的最大 值点称为中心。
是������上的一个模糊集合,假定其隶属函数为
������������ ������ =
1 1+25 ������−50
0,
0 ≤ ������ ≤ 50 。 , 50 < ������ ≤ 100 −2
计算:(1) 年轻或年老(������ ∪ ������)的隶属函数; (2) 既年轻又年老(������ ∩ ������)的隶属函数; (3) 不年轻(������)的隶属函数。
Degree of membership
1
0.8
Young Old
0.6
0.4
(50.96,0.036)
0.2
u Yຫໍສະໝຸດ Baiduars
0 0 20 40 60 80 100
23
2.2.1.4 隶属函数的建立
隶属函数的设计原则 任一模糊集合必须是凸模糊集 设计隶属函数时,首先确定具有最大隶属度 的点,然后向两边以单调递减方式延伸。 ② 同一语言变量所取的不同值 ( 模糊集合 ) 的隶 属函数间通常要求具有对称性和平衡性。 语言值通常选奇数个,3-9个较好; 将“零”、“舒适”、“适中”等基准语 言值两边的其它语言值和相应的隶属函数 取为对称和平衡的。
第一,集合������ 是清晰的,论域������ 中的元素本身相 对于集合������来说具有模糊性。
第二,论域������ 中的元素是清晰的、而集合������ 本身 具有模糊性。 第三,集合 ������ 本身具有模糊性,论域������中的元素 本身相对于集合������来说也具有模糊性。 以上三种情况,均称为“集合 ������ 是论域������上的模 糊集合”。
2.2.1.1 模糊集合的概念 2.2.1.2 模糊集合的表示方法 2.2.1.3 模糊集合的运算
2.2.1.4 隶属函数的建立
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2.2.2 模糊关系
2.2.2.1 模糊关系和模糊关系矩阵 2.2.2.2 模糊关系的运算
2.2.3 模糊推理
2.2.3.1 语言变量
2.2.3.2 模糊推理
8
2.2.1 模糊集合和隶属函数
完整的模糊集合表示要求将论域中的所有元素及 其相应的隶属度同时体现出来。 对例1,模糊集合������的完整直观表示图为:
������
������
������
������
16
连续论域 ������
完整写法:������ =
������������ (������) ������
������ ∈ ������ 或
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模糊集合的其它有关概念
①
支撑集 ������������������������������ = ������ ������������ ������ > 0};
������ 1 ������ 0
② ������ 截集
������������ = ������ ������������ ������ ≥ ������};
2.2.1.1 模糊集合的概念
(普通)集合
集合:具有某种共同特征的群体。(Contor集合)
论域:被研究的对象的全体,通常用������表示。 对于定义在论域 ������ 上的普通集合 ������ 来说, ������ 中的任 一元素要么属于 ������ ,要么不属于 ������ 。可以用下面定义 的特征函数来表示这种隶属关系: ������������ ������ ≝ 1, ������ ∈ ������ 0, ������ ∉ ������
3
1983年,日本学者Shuta Murakami研制成功了一 种基于语言真值推理的模糊逻辑控制器, 并成功用于汽车速度的自动控制;
20世纪90年代以来,除了传统的工业过程控制以外, 各种商业民用场合也大量采用模糊控制技 术,如:模糊控制洗衣机、模糊微波炉、 模糊空调、地铁运行的模糊控制、机器人 控制等。 21世纪:更为广泛的应用。
������
⑤
������������������������������
������ =
������0 ∈ ������;
18
⑥
正则(或正规)模糊集 ∃ ������0 ∈ ������, ������. ������., ������������ ������0 = 1;
⑦
凸模糊集
������������ ������������1 + 1 − ������ ������2 ≥ min ������������ ������1 , ������������ ������2 单峰值型
������ = { ������1 , ������������ ������1 , ������2 , ������������ ������2 , ⋯ , (������������ , ������������ ������������ )}
15
可简化为矢量表示法:
������ = {������������ ������1 , ������������ ������2 , ⋯ , ������������ (������������ )}
13
模糊概念说明
①
隶属度是为了刻画论域中的任一元素对于某一集 合的从属程度而引入的一个数学概念; ② 一旦隶属度确定,这个元素对于这个集合的从属 关系就完全确定了,但并不意味着模糊性的消除; ③ 模糊的本质是部分属于、部分不属于的模棱两可 性; ④ 隶属度也可以看作是为了定量刻画模糊性而引入 的一个数学概念; ⑤ 模糊本身是一种客观现象,但隶属度的确定带有 人为主观性; ⑥ 模糊集合可看作以不同的隶属度含盖论域中的所 有元素。
������ ������1 ������2 ������3 ������4
������
20
2.2.1.3 模糊集合的运算
本质:逐点将它们的隶属度进行相应的运算。 假定 ������ 、 ������ 是定义在同一个论域 ������ 上的两个模糊集。 ① 相等:������������ ������ = ������������ (������); ② 包含:������������ (������) ≥ ������������ (������),也称������ 是������的模糊子集; ③ 并:������������∪������ (������) = ������������ (������) ∨ ������������ (������); ④ 交: ������������∩������ ������ = ������������ ������ ∧ ������������ (������); ⑤ 补:������������ ������ = 1 − ������������ (������)。 模糊集合的幂等律、交换律、结合律、吸收律、 分配律、两极律、复原律、对偶律与普通集合一致。
������������ ������ ������∈������ ������
;
简化写法:直接写出模糊集合 ������ 的隶属函数的 解析表达式 ������������ (������)
例2:设������ = [0,20],������为������上“靠近10的实数”, 如何表示模糊集合������?
与普通集合运算的差别:模糊集合与其补集的交集不是 空集、并集也不是全集。
21
例3:以人类的年龄作为论域������ = [0,100],则“年轻 (������)”是������上的一个模糊集,假定其隶属函数为 ������������ ������ =
1 1+0.04 ������−25
1,
0 ≤ ������ ≤ 25 ;“年老(O)”也 , 25 < ������ ≤ 100 2
③ ������ 强截集
������������ = ������ ������������ ������ > ������};
④
模糊集的核 ������������������������ = ������ ������������ ������ = 1}; 单点模糊集
1 , ������0
������������������������ ������������
③
构造容易 可通过简单的工业计算机或单片机来构造,控制 算法用相应的软件实现;也可通过专用模糊控制 芯片直接构造。
④
鲁棒性好 对模型参数不确定或波动较大的线性系统和非线 性系统都能执行有效的控制。
6
2.2 模糊控制的数学基础
模糊集合理论,对于模糊控制理论的学习和模 糊控制器的设计具有重要的基础性作用。 2.2.1 模糊集合和隶属函数
9
借助所定义的特征函数,可将������表示为 ������ = ������ ∈ ������ | ������������ ������ = 1 普通集合的特征:隶属关系不存在模棱两可性。
模糊集合
例1:假设论域������为下列图形的集合:
������ 三个元素是否属于������。
b
c
定义集合 ������ 为所有的圆构成的集合;考察 ������ 中的这
4
2.1.2 模糊控制的特点
①
无需知道被控对象的数学模型 以人们的控制经验为基础设计控制器
②
与人类脑力活动的特点一致
模糊性:人类思维中采用模糊量,如:高、中、 低、大、小等。
经验性:模糊控制的核心是控制规则,模糊控制 中的知识表示、模糊规则和模糊推理均建立在专 家知识或熟练操作工的成熟经验之上。
5
1965年,L.A.Zadeh 提出模糊集理论;
1972年,L.A.Zadeh 提出模糊控制原理;
1974 年, E.H.Mamdani 将模糊数学成功应用于蒸 汽机和锅炉系统控制中; 1977 年,英国的 Pipps 等人采用模糊控制对十字路 口的交通管理进行实验,车辆的平均等待 时间减少了7%; 1980 年, Tong 等将模糊控制用于污水处理过程控 制,取得较好的效果。
第2章 模糊控制
1
主要内容
2.1 模糊控制简介
2.1.1 发展历史 2.1.2 模糊控制的特点
2.2 模糊控制的数学基础
2.2.1 模糊集合和隶属函数 2.2.2 模糊关系 2.2.3 模糊推理
2.3 模糊控制系统
2.3.1 模糊控制原理 2.3.2 模糊控制系统
2
2.1 模糊控制简介
2.1.1 发展历史
11
模糊集合:给定某一集合 ������ 和某一论域 ������ ,如果 存在论域 ������ 中的某个元素,它部分属于 ������ 、部分 不属于������,那么我们就说������是论域������上的一个模糊 集合。 直观阐述:
������
������
12
模糊集合定义的几种具体情况:
14
2.2.1.2 模糊集合的表示
离散论域 ������ = {������1 , ������2 , ⋯ , ������������ } Zadeh表示法: ������������ (������1 ) ������������ (������2 ) ������������ (������������ ) ������ = + + ⋯+ ������1 ������2 ������������ ������������ (������������ ) ---- ������������ 对于 ������ 的隶属度; ������������ ������������ = 0 时,该项可省略。 序偶表示法:
10
分析: ������ ∈ ������, ������ ∉ ������; 对于������ ,按照普通集合的概念,整体上不属于������。 缺点:丢失信息量。 为了刻画这种情形下的隶属关系,Zadeh引入 了隶属度的概念,它规定: ① 当某一元素 ������ 属于集合 ������ 时,就说该元素对于 该集合的隶属度为1; ② 当������不属于������时,就说������对于������的隶属度为0; ③ 当������部分属于������、部分不属于������时,就说������对于 ������的隶属度是开区间(0,1)中的某个数。 问题:考虑例1中各元素的隶属度?
������ 1 ������1 ������2
正规 凸模 糊集
,
������ ∈ [0,1] ;
������3
非正规凸模糊集
正规非凸模糊集
0
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⑧
模糊集的中心
•
• •
隶属函数达到其最大值的、论域中的所有点 的均值有限时,将该均值称为中心; 正无穷时,将使隶属函数达到最大值的最小 值点称为中心; 负无穷时,将使隶属函数达到最大值的最大 值点称为中心。
是������上的一个模糊集合,假定其隶属函数为
������������ ������ =
1 1+25 ������−50
0,
0 ≤ ������ ≤ 50 。 , 50 < ������ ≤ 100 −2
计算:(1) 年轻或年老(������ ∪ ������)的隶属函数; (2) 既年轻又年老(������ ∩ ������)的隶属函数; (3) 不年轻(������)的隶属函数。