第一类切比雪夫多项式方程的重根规律
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（ ） ＝ｃ ｏ ｓ （ ｎ ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ｘ ） ， （１ ）
其中 ｎ ∈Ｎ， ｘ Ｅ （ 实数集 ） ，且
该 定义 也 拓 广 为 ：
１ ．
） ＝ Ｚ ０ （ － １ ） （ ＼ 厶 ＾ ／
（ ２ ）
其 中 （ 二 ］ 表 示 组 合 数
文献【 ３ 】 提 出 了切 比雪 夫 多 项 式 方 程 这 一课 题 ，并 给 出 （ ） ＝ （ ） 的全 体 复 根 ．类似 地 ，可 以求
得 切 比雪 夫 多项 式 方程 （ ） ＋ （ ） ＝０的全 体 复 根 ，并 可 以进 一 步 探 讨 其 根 的分 布 规 律 ，即方 程 何 时 全 是 单 根 ，何 时 存 在 重 根 以及 其 重 数 又 是 多 少 等 等 ．首 先 由 引 理 １ 、２ 给 出方 程 （ ） ＝ （ ） 及
Ｌ（ ｘ ） ＋ （ ） ＝０ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ｐ ｈ ｅ ｎ ｏ ｍ ｅ ｎ ａ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｐ ｌ ｏ ｒ ｅ ｄ ， ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｍｅ
１ ４
五 邑大学学报 （自然科学版 ）
２ ０ １ ３拄
（ ） ＝１ ６ ｘ 一 ２ ０ ｘ ＋５ ｘ， 瓦（ ） ＝３ ２ ｘ 一 ４ ８ ｘ ‘ ＋１ ８ ｘ 一 １ ，
（ ｘ ） ＝６ ４ ｘ ’ － １ １ ２ ｘ ＋ ５ ６ ｘ － ７ ｘ．
Fra Baidu bibliotek
ｍ ） 或 ０ （ ｎ ＜ ｍ ） ， ｎ ， 小 ∈ Ｎ ； ∈ Ｃ （ 复 数 集 ） ．
当且仅当 ∈ 且Ｉ ｘ ｌ １ 时式 （ １ ） 与式 （ ２ ） 等价．
（ ） 称 为 第 ｎ个 第 一类 切 比雪 夫 多 项式 ，前 ８个 第 一 类 切 比雪 夫 多 项 式 为 ： Ｔ ｏ （ ｘ ） ＝１ ， （ ） ＝ ，Ｔ Ａｘ ） ＝２ ｘ － １ ， （ ） ＝４ ｘ － ３ ｘ， （ ） ＝８ ｘ 一 ８ ｘ 十ｌ ，
５月
文章 编 号 ：１ ０ ０ ６ ． ７ ３ ０ ２（ ２ ０ １ ３ ）０ ２ ． ０ ０ １ ３ ． ０ ３
第一 类切 比雪夫 多项 式 方 程 的重 根 规 律
凌 明 灿 ， 吴 康
（ 华 南师 范大 学 数 学科 学 学 院 ， 广 东 广州 ５ １ ０ ６ ３ １ ） 摘 要 ：给 出 一 类 切 比 雪 夫 多 项 式 方 程 （ ） ＝ （ ） 及 （ ） ＋ （ ） ：０的 全 体 复 根 ，探 讨 了 方 程 的 重根 现 象 ，得 到 一 些 有 趣 的 重根 规 律 ．
切 比雪夫 多 项 式 （ ） 源 于 多倍 角余 弦 函数 的 展 开式 ，它 简单 、对 称 的 特 点 表 现 了独 特 的 数学 之 美 ，是 计 算数 学 中一 类 重要 的 特 殊 函数 ．目前 关 于 切 比雪 夫 多 项 式 的 方 程 和 方 程 组 研 究 有 了一 定 的 成果Ｉ １ － ６ １ ，下 面着 重介 绍 第 一类 切 比雪 夫 多 项 式 方程 的重 根 规 律 ． 定义 １ 。 第 一 类 切 比雪 夫 多 项 式 序 列 ｛ （ ） ） 定义 为 ：
ＬＩ ＮＧ Ｍｉ ｎ ｇ －ｃ ａ ｎ ．Ｗ Ｕ Ｋａ ｎｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ６ ３ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ） Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａ ｌ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｒ ｏ ｏ ｔ ｓ ｏ ｆ Ｔ ｙ ｐ ｅ Ｉ Ｃ ｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ ｖ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ （ ） ＝ （ ） ａ ｎ ｄ
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ ３ － ０ ４ 作 者 简 介 ：凌 明灿 （１ ９ ９ Ｏ 一 ） ，男 ， 广 东 高 州人 ，在 读硕 士 生 ，研 究 方 向 为 初 等 数 学 ；昊 康 ，副教 授 ，硕 士 生
导 师 ，通 信 作 者 。 主要 研 究 方 向为 组 合 数 学 、初 等数 学 、竞 赛 数 学．
ｆ ｕ ｎ ｎ ｙ ｌ ａ ｗｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｄ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｔｙ ｐ ｅ Ｉ Ｃｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ ｖ Ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｌ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｒ ｏ ｏ ｔ ｓ ；ｒ ｏ ｏ ｔ ａ ｎ ｄ ｍｕ ｈｉ ｐ ｌ ｉ ｅ ｉ ｔ ｙ
关 键 词 ：切 比 雪 夫 多 项 式 方 程 ；全 体 复 根 ； 重 根 规 律
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ７ ４ ． ６
文 献 标 志 码 ：Ａ
Ｒｏ ｏ ｔ ａ ｎｄ Ｍ ｕｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｙ ｐ ｅ Ｉ Ｃｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈｅ ｖ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｎｏ ｍｉ ａ ｌ ｓ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
第２ ７卷 第 ２期
２ ０１ ３矩
五 邑大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ＯＵ Ｒ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＷＵＹ Ｉ Ｕ ＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
、 ， ０ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ２ Ｍａ ｙ ２ ０ １ ３
其中 ｎ ∈Ｎ， ｘ Ｅ （ 实数集 ） ，且
该 定义 也 拓 广 为 ：
１ ．
） ＝ Ｚ ０ （ － １ ） （ ＼ 厶 ＾ ／
（ ２ ）
其 中 （ 二 ］ 表 示 组 合 数
文献【 ３ 】 提 出 了切 比雪 夫 多 项 式 方 程 这 一课 题 ，并 给 出 （ ） ＝ （ ） 的全 体 复 根 ．类似 地 ，可 以求
得 切 比雪 夫 多项 式 方程 （ ） ＋ （ ） ＝０的全 体 复 根 ，并 可 以进 一 步 探 讨 其 根 的分 布 规 律 ，即方 程 何 时 全 是 单 根 ，何 时 存 在 重 根 以及 其 重 数 又 是 多 少 等 等 ．首 先 由 引 理 １ 、２ 给 出方 程 （ ） ＝ （ ） 及
Ｌ（ ｘ ） ＋ （ ） ＝０ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ｐ ｈ ｅ ｎ ｏ ｍ ｅ ｎ ａ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｐ ｌ ｏ ｒ ｅ ｄ ， ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｍｅ
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五 邑大学学报 （自然科学版 ）
２ ０ １ ３拄
（ ） ＝１ ６ ｘ 一 ２ ０ ｘ ＋５ ｘ， 瓦（ ） ＝３ ２ ｘ 一 ４ ８ ｘ ‘ ＋１ ８ ｘ 一 １ ，
（ ｘ ） ＝６ ４ ｘ ’ － １ １ ２ ｘ ＋ ５ ６ ｘ － ７ ｘ．
Fra Baidu bibliotek
ｍ ） 或 ０ （ ｎ ＜ ｍ ） ， ｎ ， 小 ∈ Ｎ ； ∈ Ｃ （ 复 数 集 ） ．
当且仅当 ∈ 且Ｉ ｘ ｌ １ 时式 （ １ ） 与式 （ ２ ） 等价．
（ ） 称 为 第 ｎ个 第 一类 切 比雪 夫 多 项式 ，前 ８个 第 一 类 切 比雪 夫 多 项 式 为 ： Ｔ ｏ （ ｘ ） ＝１ ， （ ） ＝ ，Ｔ Ａｘ ） ＝２ ｘ － １ ， （ ） ＝４ ｘ － ３ ｘ， （ ） ＝８ ｘ 一 ８ ｘ 十ｌ ，
５月
文章 编 号 ：１ ０ ０ ６ ． ７ ３ ０ ２（ ２ ０ １ ３ ）０ ２ ． ０ ０ １ ３ ． ０ ３
第一 类切 比雪夫 多项 式 方 程 的重 根 规 律
凌 明 灿 ， 吴 康
（ 华 南师 范大 学 数 学科 学 学 院 ， 广 东 广州 ５ １ ０ ６ ３ １ ） 摘 要 ：给 出 一 类 切 比 雪 夫 多 项 式 方 程 （ ） ＝ （ ） 及 （ ） ＋ （ ） ：０的 全 体 复 根 ，探 讨 了 方 程 的 重根 现 象 ，得 到 一 些 有 趣 的 重根 规 律 ．
切 比雪夫 多 项 式 （ ） 源 于 多倍 角余 弦 函数 的 展 开式 ，它 简单 、对 称 的 特 点 表 现 了独 特 的 数学 之 美 ，是 计 算数 学 中一 类 重要 的 特 殊 函数 ．目前 关 于 切 比雪 夫 多 项 式 的 方 程 和 方 程 组 研 究 有 了一 定 的 成果Ｉ １ － ６ １ ，下 面着 重介 绍 第 一类 切 比雪 夫 多 项 式 方程 的重 根 规 律 ． 定义 １ 。 第 一 类 切 比雪 夫 多 项 式 序 列 ｛ （ ） ） 定义 为 ：
ＬＩ ＮＧ Ｍｉ ｎ ｇ －ｃ ａ ｎ ．Ｗ Ｕ Ｋａ ｎｇ
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收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ ３ － ０ ４ 作 者 简 介 ：凌 明灿 （１ ９ ９ Ｏ 一 ） ，男 ， 广 东 高 州人 ，在 读硕 士 生 ，研 究 方 向 为 初 等 数 学 ；昊 康 ，副教 授 ，硕 士 生
导 师 ，通 信 作 者 。 主要 研 究 方 向为 组 合 数 学 、初 等数 学 、竞 赛 数 学．
ｆ ｕ ｎ ｎ ｙ ｌ ａ ｗｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｄ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： Ｔｙ ｐ ｅ Ｉ Ｃｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ ｖ Ｐｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｌ ｌ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｒ ｏ ｏ ｔ ｓ ；ｒ ｏ ｏ ｔ ａ ｎ ｄ ｍｕ ｈｉ ｐ ｌ ｉ ｅ ｉ ｔ ｙ
关 键 词 ：切 比 雪 夫 多 项 式 方 程 ；全 体 复 根 ； 重 根 规 律
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ７ ４ ． ６
文 献 标 志 码 ：Ａ
Ｒｏ ｏ ｔ ａ ｎｄ Ｍ ｕｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｉ ｃ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｙ ｐ ｅ Ｉ Ｃｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈｅ ｖ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｎｏ ｍｉ ａ ｌ ｓ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
第２ ７卷 第 ２期
２ ０１ ３矩
五 邑大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ＯＵ Ｒ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＷＵＹ Ｉ Ｕ ＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
、 ， ０ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ２ Ｍａ ｙ ２ ０ １ ３