三角函数经典例题.doc

经典例题透析类型一：类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是屮考屮

的热点・明确直角三角形屮正弦、余弦、正切的意义，熟记30。、45。、60。角的

三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小.1・在RtAABC屮，ZACB=90°, CD丄AB于点D,已知么(),BC=2,那A.

B. C. D. 思路点拨：思路点拨：由于Z ABC在RtAABC和RtABCD屮，乂己知AC

和BC,故只要求出AB或CD 即可.解析：解析：解法1：利用三角形面积公式出，先用勾股定理求，・•・・・•・解法2：直接利用勾股定理求出・, 在RtAABC 屮，・答

案：A 总结升华：总结升华：求直角三角形屮某一•锐角三角函数值，利用定义, 求出对应两边的比即可.2.计算：(1)(2)锐角A满足___________________；,则Z

A= _______ .答案：(1)答案：；(2)75°.解析：解析：(1)把角转化为值・(2)

把值转化为角即可. (1)・1

(2)由・・・，得.・・・A=75°.,总结升华:结升华：己知角的三角函数,

应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算.已知一个三角函数值求角，先看看哪一-个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角. 3.已知为锐角，，求・思路点拨：

思路点拨：作一直角三角形，使为其一•锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾求出股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用，再利用解析：解析： ,使可求出. 解法1：如图所示，RtAABC屮，Z C=90°, ZB=,由 , 可设，•贝I」，・・・解法2：由.，得，・・・・总结升华：总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条

件的直角三角形，根据比的性质用一不为()的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值.或利用，来求. 2

类型二：类型二：解直角三角形解直角三角形是屮考的重要内容Z—，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础.解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是屮考的热点.4.已知：如图所示，在ZkABC中，ZC=90°，点D在BC ±, BD=4, AD=BC, ・求: (1)DC的长；

⑵sinB的值. 思路点拨：思路点拨：题屮给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtAACD和RtAABC中求得,由AD=BC,图中CD=BC-BD,因此可列方程求出CD. 解析：解析：⑴设 ,在RtAACD屮,

, ・•・,・・・• J AD=BC,・••又，・•・,解得•・・・・(2)BC=BD+CD=4+6= 1 O=AD・在RtAACD 屮，在RtAABC 中，. ・・・・• 总结升华：总结升华：借助三角函数值，设出其屮两边，根据已知条件, 列出方程，求出解，再求3

出其要求的问题. 举一反三【变式1】如图所示，在梯形ABCD屮，AD〃BC,

CA平分ZBCD, DE〃AC,交BC的延长线于点E,・(1)求证：AB=DC：(2)若 , ，求边BC的长. 思路点拨：思路点拨：要证AB二DC,只需

证明ABC= BCD.由AC〃DE, AD//BC,可得四边形ADEC为平行四边形，所以

ZE=ZDAC.由CA 平分ZBCD,可得ZBCD=2ZBCA=2 ZE,所以ZB= ZBCD,问题得证，由⑴可知AD=CD= ABF,可求得BF=1,剜 ,过点A作AF 丄BC,在RtA・解析：解析：(1)证明：J DE〃AC,・・・ZBCA=ZE. 丁CA 平分ZBCD, ZBCD=2ZBCA, Z 二.I BCD二2ZE. 又T ZB=2ZE, ・・・ZB=ZBCD.・•・梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC. (2)解：如图所示，作AF丄BC, DG丄BC,垂足分别为F、G,贝lj AF〃DG. 在RtAAFB屮，・.• tan B=2,・・・AF=2BF.又丁，且，得BF=1., .・.同理可知，在RtADGC中，

CG=I.・・• A D〃BC,・・・ ZDAC=ZACB・乂丁ZACB=ZACD, .I ZDAC= ZACD ・・•・AD=DC・ J ,・•・・ I AD〃BC, AF〃DG,化四边形AFGD是平行四边形.・•・，・•・BC二BF+FG+GC二・【变式2］已知：如图所示，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E,满足ZABE=ZCBP, BE=BP. (1)求证：ACPB仝AAEB； (2)求证：PB丄BE； (3)PA： PB=1： 2, Z APB=135°,求cosZPAE 的值. 4

思路点拨：思路点拨：(1)在ACPB和AAEB屮，ZPBC=ZABE, BP二BE,要证

A CPBC^AAEB,只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证.⑵只要证ZPBE=90°,而ZABC=90°,即证出.⑶要求cosZPAE的值，需判断ZPAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需连结PE,借助(1)(2),求出ZPBE=,而ZAPB=135°,因此ZAPE=90°. 解析：解析：⑴证明：T四边形ABCD 是正方形，・・・BC=AB. T ZCBP=ZABE, BP二BE,.・.A CPB^A AEB・(2)证明：・・• ZCBP=ZABE,.・.ZPBE= ZABE+ ZABP= ZCBP+ Z ABP=90°,・•・ BP1BE・(3)解：连结PE, V BE=BP, ZPBE=90°, :. Z

BPE=45°・设AP=k,贝ij BP=BE=2k,.・., .I ・•/ ZBPA=135°, Z

BPE=45°,・・・ZAPE=90°,. 在RtAAPE屮，类型三：类型三：

利用三角函数解决实际问题直角三角形应用非常广泛，是屮考的重要内容Z—•近年来，各地屮考试题为体现新课标理念，设计了许多面H新颖、创意丰富的新型考题.运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年屮考的热点.虽然解直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键.5.如图所示，在一个坡角为15。的斜坡上有-•棵树，高为AB,当太阳光与水

平线成50。角时，测得该树在斜坡的树影BC的长为7 m, 求树高.(精确到0.1m) 5