数学中的类比法

数学中的类比法

摘要

类比是数学学习中经常用到的一种推理方法.它是发现概念、定理、公式的重

要手段，也是发现问题、探索问题、解决问题的重要方法.本文主要研究了：将平

面几何的一些定理推广到空间几何中、将代数中的集合运算与概率事件中的运算进行类比、从有限到无限的类比、降次类比、降元类比等.这有助于我们借助类比对

象间的“类比关系”更清晰的认识两个相似体系间的内在联系，逐渐养成发散思维能力和创新意识，通过类比还可以降低问题解决的难度.

关键词：类比；降维类比；降次类比；几何.

The analogy method in mathematics

Abstract:Analogy is a reasoning method is often used in mathematics learning. In mathematics, analogy is an important means of found concept, theorem, formula, and found the problem, explore the problems, the important way to solve the problem.This paper mainly studied: some of plane geometry theorem is generalized to space geometry; Collection of the algebraic operations with probability event in operations analogy; From limited to unlimited analogy; Drop analogy; Yuan analogy, etc. This will help us with the analogy between objects "analogy" more clear understanding of the intrinsic relationship between two similar system, and gradually form a divergent thinking ability and innovation consciousness, through the analogy can also reduce the difficulty of problem solving.

Keywords: analogy, dimension reduction, fall time analogy, geometric analogy

目录

引言 1

1 文献综述 1

1.1国内外研究现状 1

1.2国内外研究现状评价 1

1.3提出问题 2

2类比法 2

2.1 类比法 2

2.2 类比法的分类 2

2.3类比法的意义 3

3 类比法在数学中的应用 4

3.1升维类比 4

3.1.1勾股定理的类比 4

3.1.2射影定理的类比 5

3.1.3余弦定理的类比 5

3.1.4维维安尼定理的类比 7

3.1.5相似三角形性质的类比 7

3.2降元类比法 8

3.3降次类比法 9

3.4结构的类比 9

3.4.1类比定比分点公式求解函数的值域 9

3.4.2类比三角公式证明等式 10

3.4.3类比斜率公式求解圆锥曲线的最值问题 11 3.5从有限到无限的类比 12

3.6随机事件与集合的类比 13

4 容易出错的“类比法” 14

4.1从平面到空间的类比 14

4.2从等式到不等式的类比 14

5 结论 15

5.1主要发现 15

5.2启示 15

5.3局限性 15

5.4努力方向 16

参考文献 17

致谢 18

引言

学习和研究数学，关键在于掌握数学思想和方法.如果说数学概念和数学命题是数学的骨架和躯体，那么数学思想和方法就是数学的血液和精髓.要想真正学会学好数学，把握数学的内在规律、要点和实质，就必须领会和研究数学的思想和方法，它是解决数学问题的利器，是进行数学发现和创造的有力工具[1].也可以这么说，数学知识是静止的，是被理解和被掌握的，其存在和应用具有很大的局限性，而数学思想和方法是运动的，是长期起作用的，它贯穿数学的始终，具有普遍的意义的永恒的价值.掌握一种数学思想和方法将终生受益.类比法就是众多数学思想和方法中一种.

类比法是由两个或两类思考对象在某些属性上相同或相似推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的逻辑推理方法[1].类比是一种很重要的推理方法和数学思想.无论是过去还是现在，在科学研究和生产实践中，特别是数学解题和教学中发挥着及其重要的作用.波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”.可以说类比是探索问题、解决问题与发现问题的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比也是发现概念、方法、定理和公式的重要手段.例如，空间的毕达哥拉斯定理、空间余弦定理、空间射影定理等的发现及证明.多项式理论

的建立便是类比在代数中取得全面成功的一个例子.我们在建立了整数理论的基础上，把多项式与整数类比.由整数的运算性质、整除性质、带余除法定理等可以得出多项式的相关性质.本文我将从以下几方面介绍数学中的类比法，包括：平面到空间的类比、降元类比、降次类比、结构相似的类比、有限到无限的类、随机事件与集合的类比以及一些错误使用类比法的情况.

1 文献综述

1.1国内外研究现状

在查阅到的国内外参考文献[1-15]中：刘俊、付本路、姚玉平在文献[1]中介绍了类比法并给出一些运用类比法的例子.孙颖、杨文青、陆建在文献[2、3、4]中主要介绍了类比法在数学中的应用，如：概念类比，方法类比，教学思想类比，结构形式类比等.方宝初在文献[5]中主要给出了一些运用类比的典型例题.对于类比法的研究，最具影响力的是美国数学家、教育学家波利亚.波利亚在文献[6、8、14]中，通过对数学史上一些著名猜想的剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程，认为归纳和类比是两种最基本的猜测方法，并以此为据提出了合理推理的一般模式,认为类比就是某种类型的相似性[2].通过具体的例子论述合情推理（归纳类比）在数学发现和解题方面的作用.他还结合中学数学的实际呼吁：“要教学生猜想，要教合情推理”.朱华伟文献[7]中，分别从高维与底维的类比、一般与特殊的类比、结构相似的类比几个方面进行探讨.张文忠在文献[12]中主要研究了升维类比法.蔡小雄在文献[15]中，从归纳猜想、类比迁移、进退互化、整体处理、正难则反五个反面论述类比法在解题中的应用.

1.2国内外研究现状评价

对于类比法在数学教学中的应用，前人已经做了比较系统、全面的研究.但是涉及的类比思想比较浅显、知识点也比较简单；对于类比法在数学解题中的应用，例题比较丰富，也不乏典型例题，但是大部分文献中将类比法与其他数学方法（数