数学中的类比法

数学中的类比法摘要类比是数学学习中经常用到的一种推理方法.它是发现概念、定理、公式的重要手段，也是发现问题、探索问题、解决问题的重要方法.本文主要研究了：将平面几何的一些定理推广到空间几何中、将代数中的集合运算与概率事件中的运算进行类比、从有限到无限的类比、降次类比、降元类比等.这有助于我们借助类比对象间的“类比关系”更清晰的认识两个相似体系间的内在联系，逐渐养成发散思维能力和创新意识，通过类比还可以降低问题解决的难度.关键词：类比；降维类比；降次类比；几何.The analogy method in mathematicsAbstract:Analogy is a reasoning method is often used in mathematics learning. In mathematics, analogy is an important means of found concept, theorem, formula, and found the problem, explore the problems, the important way to solve the problem.This paper mainly studied: some of plane geometry theorem is generalized to space geometry; Collection of the algebraic operations with probability event in operations analogy; From limited to unlimited analogy; Drop analogy; Yuan analogy, etc. This will help us with the analogy between objects "analogy" more clear understanding of the intrinsic relationship between two similar system, and gradually form a divergent thinking ability and innovation consciousness, through the analogy can also reduce the difficulty of problem solving.Keywords: analogy, dimension reduction, fall time analogy, geometric analogy目录引言 11 文献综述 11.1国内外研究现状 11.2国内外研究现状评价 11.3提出问题 22类比法 22.1 类比法 22.2 类比法的分类 22.3类比法的意义 33 类比法在数学中的应用 43.1升维类比 43.1.1勾股定理的类比 43.1.2射影定理的类比 53.1.3余弦定理的类比 53.1.4维维安尼定理的类比 73.1.5相似三角形性质的类比 73.2降元类比法 83.3降次类比法 93.4结构的类比 93.4.1类比定比分点公式求解函数的值域 93.4.2类比三角公式证明等式 103.4.3类比斜率公式求解圆锥曲线的最值问题 11 3.5从有限到无限的类比 123.6随机事件与集合的类比 134 容易出错的“类比法” 144.1从平面到空间的类比 144.2从等式到不等式的类比 145 结论 155.1主要发现 155.2启示 155.3局限性 155.4努力方向 16参考文献 17致谢 18引言学习和研究数学，关键在于掌握数学思想和方法.如果说数学概念和数学命题是数学的骨架和躯体，那么数学思想和方法就是数学的血液和精髓.要想真正学会学好数学，把握数学的内在规律、要点和实质，就必须领会和研究数学的思想和方法，它是解决数学问题的利器，是进行数学发现和创造的有力工具[1].也可以这么说，数学知识是静止的，是被理解和被掌握的，其存在和应用具有很大的局限性，而数学思想和方法是运动的，是长期起作用的，它贯穿数学的始终，具有普遍的意义的永恒的价值.掌握一种数学思想和方法将终生受益.类比法就是众多数学思想和方法中一种.类比法是由两个或两类思考对象在某些属性上相同或相似推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的逻辑推理方法[1].类比是一种很重要的推理方法和数学思想.无论是过去还是现在，在科学研究和生产实践中，特别是数学解题和教学中发挥着及其重要的作用.波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”.可以说类比是探索问题、解决问题与发现问题的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比也是发现概念、方法、定理和公式的重要手段.例如，空间的毕达哥拉斯定理、空间余弦定理、空间射影定理等的发现及证明.多项式理论的建立便是类比在代数中取得全面成功的一个例子.我们在建立了整数理论的基础上，把多项式与整数类比.由整数的运算性质、整除性质、带余除法定理等可以得出多项式的相关性质.本文我将从以下几方面介绍数学中的类比法，包括：平面到空间的类比、降元类比、降次类比、结构相似的类比、有限到无限的类、随机事件与集合的类比以及一些错误使用类比法的情况.1 文献综述1.1国内外研究现状在查阅到的国内外参考文献[1-15]中：刘俊、付本路、姚玉平在文献[1]中介绍了类比法并给出一些运用类比法的例子.孙颖、杨文青、陆建在文献[2、3、4]中主要介绍了类比法在数学中的应用，如：概念类比，方法类比，教学思想类比，结构形式类比等.方宝初在文献[5]中主要给出了一些运用类比的典型例题.对于类比法的研究，最具影响力的是美国数学家、教育学家波利亚.波利亚在文献[6、8、14]中，通过对数学史上一些著名猜想的剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程，认为归纳和类比是两种最基本的猜测方法，并以此为据提出了合理推理的一般模式,认为类比就是某种类型的相似性[2].通过具体的例子论述合情推理（归纳类比）在数学发现和解题方面的作用.他还结合中学数学的实际呼吁：“要教学生猜想，要教合情推理”.朱华伟文献[7]中，分别从高维与底维的类比、一般与特殊的类比、结构相似的类比几个方面进行探讨.张文忠在文献[12]中主要研究了升维类比法.蔡小雄在文献[15]中，从归纳猜想、类比迁移、进退互化、整体处理、正难则反五个反面论述类比法在解题中的应用.1.2国内外研究现状评价对于类比法在数学教学中的应用，前人已经做了比较系统、全面的研究.但是涉及的类比思想比较浅显、知识点也比较简单；对于类比法在数学解题中的应用，例题比较丰富，也不乏典型例题，但是大部分文献中将类比法与其他数学方法（数形结合法、分类讨论法、化归法、换元法、特殊化法等）一起进行研究，类比法所占的篇幅极少，只是几个典型的例题而已，研究的内容比较单一，不够系统化.1.3提出问题类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的方法.我将从类比法的认识（定义、分类、意义），类比法的应用（降维类比、降次类比、降元类比、结构类比等），类比法的错误运用三方面进行研究，运用举例、分析与综合、观察、猜想等方法进行研究.通过对现有文献的归纳、总结、研究，对类比法进行更全面的研究.2类比法类比是发现新命题、新结论的途径之一.数学中许多重要的结论，往往是先通过类比发现，然后再给出一般性的证明.在数学史上，很多成果都是通过类比推理得到的.数学家欧拉就是一位擅长类比推理的高手.2.1 类比法类比法是由两个或两类思考对象在某些属性上相同或相似推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的逻辑推理方法[1].2.2 类比法的分类类比法可分为简单类比和复杂类比两类.简单类比是一种形式性质类比，它具有明显性、直接性的特征.其模式为：对象A具有属性 a b c对象B具有属性 a b猜测对象B具有属性 c复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测.其模式为：H蕴含AH蕴含B ，B为真猜测A可能为真按比较对象可分为：特征类比、结构类比；按类比推理的实际应用可分为：模糊类比、精确类比.类比是一种主观的不充分的似真推理，因此要确认其正确性还必须经过严格的逻辑论证.[3]运用类比解决问题，其基本过程可用如下的框图表示：类比原问题类比问题原问题解决类比问题解决猜想2.3类比法的意义类比法不仅是一种特殊到特殊的推理方法，也是一种求解问题思路、猜测问题答案或结论的发现方法.首先，从思维方向看，其思维是多方向，多角度的.归纳是从特殊到一般，演绎是从一般到特殊.与归纳和演绎的思维方向固定不同，它是从具体到具体的推理.其次，从结论收前提制约的程度看，类比的结论受前提制约的程度小.在演绎法中，结论断定的范围不超出前提断定的范围；在不完全归纳法中，结论断定的范围超出前提断定的范围，结论是前提的概括.而对于类比法，它能跨越原有理论框架，把新事实作为应予解释的系统，在广阔领域内进行类比，提出新的猜想，推动科学进步.再次，就适用范围的广阔性而言是演绎法和归纳法无可比拟的，演绎法或归纳法都是在同类对象的范围内进行；类比法即可在同类范围内进行，也可在异类范围内进行.最后，关于类比的创造机制问题，它是直觉思维与逻辑思维的有机结合.因此，数学的发展时至今日，研究数学的方法和手段越来越多，但类比法仍是我们数学教学及解题中的一种重要的手段.它能使人们的思维和解题能力得到进一步加强.3 类比法在数学中的应用类比是探索问题、解决问题与发现问题的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比也是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，类比法在数学解题中的应用也十分广泛，它也是数学教学中的一种重要手段3.1升维类比平面几何和立体几何在研究对象、方法和构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在两者之间进行类比是研究它们性质的一种有效的方法.将平面（二维）中的对象升级到空间（三维）中的对象，这种类比方法称为升维类比。

通过升维类比可得出空间的毕达哥拉斯定理、空间的维维阿尼定理等.3.1.1勾股定理的类比在平面几何中，勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么.将直角三角形与直角四面体类比可得出类比结论：D-ABC为直角四面体，其三个面的面积分别为A,B,C,D点所对面的面积为D，则.已知：如图1，D-ABC是直角四面体，,,,.求证：.证明：作CD⊥AB,交AB于O，连接OD,则CD⊥OD，OD⊥AB.===图1==.即.总结：该结论也被称为空间的毕达哥拉斯定理.3.1.2射影定理的类比在平面几何中，直角三角形射影定理又称“欧几里得定理”也是数形结合的纽带之一.下面是射影定理的内容：三角形的任意一边等于其余两边在该边上的射影之和 .即：a=bcosC+ccosB.b=acosC+ccosA.c=acosB+bcosA.将三角形与四面体类比可得出类比结论：四面体的任意一个面等于其余三个面在该面上的射影之和[5].证明：如图2，作AO⊥平面ABCD,垂足为O；作OE⊥BC,垂足为E，连接AE.由三垂线定理有AE⊥BC,故AE=是△ABC的高.同理得△ACD的高，△ABD的高.设点O到BC、CD、BD三边的距离分别为，，.则===.（其中α，β，依次为平面ABC,平面ACD,平面ABD与底面BCD所成的二面角）总结：在R t△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有如下的射影定理：. 图2..3.1.3余弦定理的类比在平面几何中，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即:...将三角形与四面体类比可得:....(其中a，b，c，d分别为四面体四个顶点所对面的面积，表示面积为a与b的两个面的二面角，类似,，,也表示二面角)证明：如图3，过D点作平面ABC的垂线DH，则△CBH是△CBD在底面△CAB上的投影，△ABH是△ABD在底面△CAB上的投影，△ACH是△ACD在底面△CAB上的投影，所以：...又.得同理可得：图3×d得：×a得：×b得：×c得：.---得：.同理可证：...总结：本例的形式比较复杂，一时无法写出证明过程，故可将证法进行类比.这也是进行类比推理的一种常见方式.3.1.4维维安尼定理的类比在平面几何中，正三角形有许多的性质（如：三线合一、四心合一等），但很少有人知道正三角形还有这样一条性质，（维维阿尼定理）正三角形内任意一点到三边的距离之和为一定值.将正三角形与正四面体类比可得类比结论：正四面体内任意一点到其四个面的距离之和为一定值[5].证明：图4，设点p到四个面的距离依次为，，，.连接PA,PB,PC,PD则有：（正四面体的高为定值）.总结：证明平面维维阿尼定理时，是通过计算原三角形以及三个小三角形的面积而获得的，根据类比推理，我们通过计算原四面体以及三个小四面体的面积来证明空间维维阿尼定理.3.1.5相似三角形性质的类比在平面几何中，相似三角形有这样性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，将相似三角形与四棱台进行类比可得：四棱台上下底面的面积之比等于“相似比”的平方.例1 棱台上下地面的面积分别为4和64，则平行于底面且与上下底距高之比为2:1的截面面积为（）.解：延长棱台的各条棱相交于一点O,设O到上底面的距离为，则利用相似的性质得：又=4，=64.S=36.图5（注：表示O点到棱台上底面的距离，表示棱台上底面的面积，表示棱台下底面的面积，表示截面的面积.）总结：该题除了类比相似的性质外，还可以类比定比分点的计算公式，不过需要注意的是面积的单位与距离的单位不能进行运算，所以面积需要开根.3.2降元类比法当我们需要求解的问题中含有多个变元时，直接求解比较困难，这时可以先考查并解决一个与它类似而变元较少的问题，从而得出解决问题的方法或结论.例2 设且=1.求证：.分析：先考虑类比命题：设且，求证:.即：.证明：.....即：.总结：从我们熟悉的结论（两个非负数的几何平均数不大于算数平均数）出发，在通过类比的方法证明原命题，大大的降低了证明原命题的难度.3.3降次类比法降次类比法与将元类比法相似，降元类比法是减少变元，而降次类比法是降低次数.如：我们类比一元二次方程的韦达定理的推导过程，得出一元三次方程的韦达定理.分析：设一元三次方程有三个根，，则有.将上式右端展开，整理比较得：.总结：式就是一元三次方程的韦达定理.韦达定理法也是中学数学中常用的解题方法.注意韦达定理的逆定理也是成立的.3.4结构的类比某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.3.4.1类比定比分点公式求解函数的值域我们熟悉的求值域的方法有：换元法、常数分裂法、利用有界量求值域和配方法等.下面我们来看一下如何利用类比法求值域例3 求函数的值域解：令则且.显然是分有向线段所成的比，其中的坐标分别为（1,0），（-3,0）因此.解得：总结：此题若直接变形求值域则难以入手，若先作一个变换令则与定比分点公式联系起来，利用便可求出的范围.3.4.2类比三角公式证明等式三角公式在中学数学中有着重要的地位，不过大家最熟悉的还是利用三角公式解三角形.下面我们来看一个利用三角公式证明等式的例子.例4 已知均为实数，且.求证：.证明：设，，.要使等式成立只须成立.只要.设，，..同理得：..成立..总结：通过观察题目发现该题是证明形如的等式，我们将原式与熟悉的三角公式进行比较得出结论.证明过程除了类比法外，还运用了分析法.3.4.3类比斜率公式求解圆锥曲线的最值问题求形如的最值.其几何意义是关于动点与定点的连线的斜率的最值问题.因此要求y的最值只要确定最大或最小时，A点的位置.当时，A点在椭圆上；当时，A点在圆上.例5 求函数的最大值和最小值.解：y表示与的连线的斜率且点A在圆上.过B作，与圆相切于C,D两点,则，.设切线的斜率为,则切线方程为：.即：.圆到直线的距离..整理得：.解得：，.,.总结：在约束条件下，形如的最值问题也可按上述方法求解.更一般的，形如最值，通常可以看作求曲线上的动点与定点（-a,-b）的连线的斜率的最值[7].3.5从有限到无限的类比欧拉证明雅克.伯努利级数（）的和的过程就是一个运用类比法的典型例子[9].下面我们一起来看一下欧拉的证明过程.（1）预备知识1：假如一个次方程，有个不同的根.则左边的多项式可以为n个线性因子的乘积即：.比较这个等式的两边同次幂的项，我们根据方程式根与系数的关系得出：.另一种方法也可把多项式分解成线性因子，设根中没有零根，或者设，则有：..如果次方程，有个不同的根则有：..（2）预备知识2：方程的泰勒展式为：.左边有无穷项，它是“无穷次”的，因此它理应有无穷多个根[10].抛去0这个根，用除这个方程的左边得方程方程：.它的根为：证明：=解上式得：.总结：欧拉运用了从有限到无限的类比，实现了有限方程到无限方程的过渡，成功的解决了这一数学难题3.6随机事件与集合的类比事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理[11].事件间的关系，事件的运算与集合的关系见下表符号概率论集合论S 样本空间全集不可能事件空集A 随机事件子集A的对立事件A的补集事件A发生必导致事件B发生集合A是集合B的子集事件A与事件B相等集合A与集合B相等事件A与事件B至少有一个发生集合A与集合B的并集事件A与事件B同时发生集合A与集合B的交集事件A发生且事件B不发生集合A与集合B的差集事件A与事件B不能同时发生集合A与集合B没有公共元素总结：在进行事件运算，我们可以类比集合的运算得出事件的运算满足交换律，结合律，分配律及德摩根律.4 容易出错的“类比法”掌握好类比法能使你加深对所学知识的理解，弄清新旧知识间的相互联系，对熟知的结论产生有益的联想.但是，在使用类比法的时候需要特别注意，类比法与不完全归纳法一样，得到的结论都是猜想，绝不能认为这个推理过程就是证明.由于从一个特殊的情况就作出猜想，它的推理甚至比不完全归纳法更不可靠.任何时候用类比法得到的猜想都必须经过严密的证明，才能确认它是正确的.否则，它很容易使你得到错误的结论.下面就是一些错用类比法的例子.4.1从平面到空间的类比我们熟悉的结论有：同一平面内，一条直线若和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；同一平面内，若两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线相互平行.由图知上面两条结论在空间中不成立.如果把上述结论中的线换成面可得：一个平面若和平行平面中的一个相交，则必和另一个相交；若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面相互平行.结论显然成立.通过上图可知结论是错误的.4.2从等式到不等式的类比在学习不等式时发现，不等式和等式有不少类似的性质.求解不等式的步骤也多与解方程相类似.但有一点是不相同的.以同一个数乘等式两端，等式仍然成立；以一个数乘不等式两端，不等号不一定保持不变.初学解不等式时，常常忽略上述问题，特别是以一个代数式乘不等式两端时，更容易因类比方程的解决方法而得出错误的结论.例6 解不等式.分析：初学者会将不等式两端同时乘上.这种解法是错误的，因为我们无法判断是正数还是负数，若是负数的话，不等号的方向是要改变的.解：....解得：.故原不等式的解集为：.5 结论5.1主要发现将平面与空间类比得出了空间勾股定理、空间余弦定理等.通过结构类比，发现解决问题的新方法，建立起未知知识与已知知识之间的联系，降低了问题解决的难度.对数学史上一些著名的类比的例子进行剖析，再现了一些重大发现产生的渊源及过程.5.2启示在数学中，类比是发展概念、定理、公式等的重要手段，也是探索问题，解决问题的一种重要的方法.运用类比法，展开丰富的联想产生迁移，形成新的观点，使原有的知识结构得到补充，改进和完善，开阔学生的知识领域，提高思维的创造性，实现知识上的飞跃.5.3局限性类比只是一种发现法，而不是论证法.它是根据简单比较而进行的推理方法，故得出的结论并不具有逻辑的必然性，而且类比的结论受前提的制约，但本文并未研究：什么样的对象与其属性可以类比，什么样的对象与其属性不能类比。