最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力

1、周期函数的定义：

对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。

分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为

C:

。把个单位即按向量

在其他周期的图像：

。

2、奇偶函数：

设

①若

②若。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点

②

③

④

⑤

（2）轴对称：对称轴方程为：。

①

关于直线

②函数

关于直线

成轴对称。

③

关于直线

成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

若，则具有周期性；

若，则具有对称性：

“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称

推论2、的图象关于直线对称

推论3、对称

2、的图象关于点对称

推论1、的图象关于点对称

推论2、的图象关于点对称

推论3、的图象关于点对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数与图象关于Y轴对称

2、奇函数与图象关于原点对称函数

3、函数与图象关于X轴对称

4、互为反函数与函数对称

5.函数与图象关于直线对称

推论1:函数与图象关于直线对称

推论2:函数与图象关于直线对称

推论3:函数与图象关于直线对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)

（2）f(2a－x)＝f(x)

（3）f(2a＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝－f(a－x)

（2）f(2a－x)＝－f(x)

（3）f(2a＋x)＝－f(－x)

易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，

则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，

则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是

f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；

y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称

推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称

推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a)

②f(x＋a)＝－f(x)

③f(x＋a)＝1/f(x)

④f(x＋a)＝－1/f(x)

5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

6、函数对称性的应用

（1）若

,即

（2）例题

1、

;

2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。

3、若

的图像关于直线对称。设

.

（四）常用函数的对称性

1、( ) 的周期为，()也是函数的周期

2、的周期为

3、的周期为

4、的周期为

5、的周期为

6、的周期为

7、的周期为

8、的周期为