9组合变形

( N M )2 4( T )2
AW
Wt
W=40kN 0.5m
P=320N
d 0.3m
N 31.8MPa
A
M总 47MPa
W
T 12.7MPa
Wt
r3 (31.8 47)2 412.72
83MPa ＜[]=100MPa
5mm
强度满足要求
例题13: 结构承载如图,钢制圆杆的横截面面积
对应截面核心的边界点 1 2 3 4 5 6
核心边界点
yP
iz2 ay
-0.10
0
0.10 0.10
0 -0.10
的坐标(m)
zP
i
2 y
az
0 0.20 0 -0.07 -0.13 -0.07
例11:槽形截面的截面核心为abcd,若垂直截面的偏
心压力作用于A点,试指出此时中性轴的位置.
B
C
yP iz2
r4
( N M )2 0.75( T )2
AW
W
危险点的应力状态
扭
转
(1)
、
双
向
弯 曲
r3
2 4 2
(M
wenku.baidu.com
2 Z
M
2 Y
)
T
2
Wz
r4 2 3 2
(M
2 Z
M
2 Y
)
0.75T
2
Wz
例12:图示一起重螺旋,螺纹根部直径d=40mm, []=100MPa试用最大剪应力理论校核螺杆强度
双 向 弯 曲
(
向 应
圆 形
力截
状面
)
态
M
M
2 Z
M
2 Y
M
W
M
2 Z
M
2 Y
W
危
险双
点向
为 单
(
弯 曲
向 应 力
矩 形 截 面
)
状
态
max
( M Z WZ
MY ) WY
危
险
点
P
为拉
单伸
向、
应 力 状
双 向 弯 曲
态
x
FN A
Mzy Iz
Myz Iy
例题1:分别求图示构件的最大正应力并比较
对应截面核心的边界点
核心边界点的 坐标(cm)
yP
iz2 ay
zP
iy2 az
12 3 4
-18.2 0 18.2 0 0 -18.2 0 18.2
(2) ZC
4
(3) z 1 2
3 (1)
400
ZC
4R
3
8.49cm
A 1 R2 628cm2
2
(4)
y
Iz
1 2
402
64
6.28104 cm4
y0 (yP,zizy2PP)力z0作用点的1 坐标.
a
当力作用点(yP, zP)为已知时,
b d 上式为中性轴的直线方程
c
若(y0,z0)已知时,即为力的作用点 沿直线移动的方程,
E
D作用力在直线上移动时,
中性轴将绕某点转动
A 力作用在d点,中性轴为BE,力作用在c点
中性轴为BC，交于B点,力作用点在dc上
350KN 350KN 解: (1) 为偏心压缩
200
偏心距: e 50mm
300
(1)
200 300
200
危险点处最大正应力:
11.6 1.33 （1)(1)max
( N A
M max WZ
)
8.75 350103 350506
(2)
(
（2) 0.2 0.3
0.2 0.32
)
200 (5.83 5.83) 11.66MPa
(2)
m
iy2
Iy A
48103 0.6 101
8102 m2
iz2
Iz A
4.58102 m2
中性轴编号
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
中性轴在形心 主惯性轴上的 截距(m)
a y 0.45 ∞ -0.45 -0.45 ∞ 0.45
az ∞ 0.40 ∞ 1.08 0.6 1.08
W=40kN 0.5m d 0.3m
M1 P h 96Nm
M2 W e 200Nm
P=320N M总 200 96 296Nm
T Pl 160Nm N 40103 N
r3
( N M )2 4( T )2
AW
Wt
N 31.8MPa
5mm
A
M总 47MPa
W
r3
或者说，
pz
压力P沿直线pq移动时， 中性轴绕C点旋转。
中性轴
yP s
r
A zP
y q
截面核心：对每一个横截面，都有一个封闭区域 当压力作用于这一封闭区域内时，截 面上只有压应力。
y B
A de C
a
cb
z
E
D
例6：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截
面核心
若中性轴与 AB 边重合：
z
中性轴在坐标轴的截距：
A b
a
D
ya y
ay
h 2
,
az
iz2 yP
，az
i
2 y
zP
B
h/6 C
bh3
h
iz2
IZ A
12 h 2 bh
h2 12
ay
iz2 yP
yP
iz2 ay
12 h
2
h 6
ay
iz2 yP
az
i
2 y
zP
z
A
yP
iz2 ay
h2
12 h
h 6
2
zP
i
2 y
az
D
b2 12
b 2
b 6
b
例题5：已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l， 载荷FP1和FP2求：根部截面上的最大正应力
A、B 二点应力最大
max
My Mz
Wy
Wz
max
(
My Wy
Mz ) Wz
第三节 偏心受压与截面核心
已知：外加载荷P以及横截面尺寸求：ABED截
面上四个角点上的正应力
应力平面
N Mz y My z
分布图,(2)求:拉力P及偏心距
P
a
P
a
25
b
5
a Ea 210109 1103 b 210MPa
b
Eb
P A
210109 0.4103
P
W
a
84MPa
P 18.4KN
P P
A
W
b
1.786mm
例4:求(1)截面的max, 绘制正应力分布图
P=100KN (2)缺口移至中央保持max不变,宽为多少
200
（2）max
N A
350103 0.22
8.75MPa
例2
z1
50
2010 60 2050 100 2090 50 20 60 20 100 20
59.5mm
IY
50 203 12
(59.5 10)2 50 20
20 603 12
(59.5 50)2 20 60
100 203 (40.5 10)2 100 20 398.9cm4 12
A Iz
Iy
zyB zA y
P PyP y PzP z
A
Iz
Iy
注：IZ Aiz2
P（1 A
yP y iz2
zP z
i
2 y
）I
y
A iy2
P（1 A
yP y0 iz2
zP z0
i
2 y
）
0
yP y0 iz2
zP z0 iy2
1
中 性
——中性轴位置方程 轴
z 最大压应力
ay
yB z
A=80×10-4m2,抗弯截面模量W=100 ×10-6 m3,
抗扭截面模量WP=200 ×10-6 m3,许用应力
[]=134MPa 试校y核此杆强3m度.
z q =4kN/m
B
M x M总z
y My z T
A Q4
+
D
0.5m C
K P2=8Pk1N=2M0kyN 10kN.m, M z 8kN.m，
移动,中性轴将绕B点转动.
第四节 弯曲与扭转的组合变形
l
A A
l
F B
B
SS
F CF C
a a
M
S平面
y
1
4
z
2
x
3
y
FF
1
1
Mx Wp
1
x1
Mz Wz
4 Mz
3
x
z
2
Mx
3
4
Mx Wp
x4
Mz Wz
4
3
Mx Wp
首先确定主应力
1
2
1 2
3
2
1 2
2 4 2 2 4 2
2＝0
r3 1 3 2 4 2
第二节 拉(压)与弯曲的组合变形
一、拉(压)与弯曲组合变形:
Lx P
P1
x L
x L
P2
P e Lx
N
P
x L
x L
Pe
M
N
M
危 险
横截面上任意点处正应力:
N M (x) y
点
A
IZ
为 单 向 应
max(min)
N M max A WZ
力
状
态
强度条件:
max
危
险
点 为 单
b
c
a b/6 y
B
d h/6 C 矩形截面核心为菱形
h
例题8：直径为d 的圆形截面的截面核心
z
ay
iz2 yP
，az
i y2 zP
d
y
iz2
IZ A
d 4
64
d 2
d2 16
yP
iz2 ay
d2
4
16 d
d 8
直径为d 的圆形截面的 截面核心：d/8的圆形 核心
2
(2)
800 1
(3)
z (1)
组合变形
主讲教师：邹翠荣
2020年12月3日星期四
第九章 组合变形
第一节 组合变形和叠加原理
组合变形：杆件在外力作用下,产生两种或 两种以上的基本变形。
叠加原理：在弹性范围内、小变形的情况下,可 以认为杆件同时产生的几种基本变形是各自独立, 互不影响的。解决组合变形的问题时:先将外力分 解简化成几种简单受力,使每种简单受力只产生一 种基本变形,利用叠加原理,把各种变形下产生的应 力进行叠加,求得组合变形时横截面上的应力.最后 分析危险点的应力状态,选择适当的强度理论,进行 强度计算.
T 4kN.m, N 20kN
-8
T
Wt
6+ M
kN.m
P1 M总
AW
y
3m
z q =4kN/m
B
M x M总z
A D 0.5m C
P1=20kN K
y My z T
Q+4
P2=8kN
T
AD1
y
令：y0 ay、z0 0 y0 0、z0 az
D2
az
最大拉应力
yP iz2
y0
zP
i
2 y
z0
1
——中性轴位置方程
令：y0
ay、z0
0
中性轴与偏心压力作用点分 别在坐标原点（截面形心）两
y0 0、z0 az
侧。作用点越靠近截面形心，
中性轴离截面形心越远，中性
ay
i
2 z
yP
A Iz
Iy
x
- FN Mzy My z
A Iz Iy
关于中性轴的概念
中 性 轴
横
截
面
中
上 正
性 轴
应 力 双向弯曲 为
偏心压缩
的
零 的
位点
置
连 成
的 直 线
横截面是否一定存在中性轴 中性轴是否一定通过横截面的形心
截面核心
yP
x Pz Ay
x P zP My=PzP
Mz z=yPyP
P PyP y PzP z
2.分析立柱的内力和应力
N 12KN
M 200 40.5103 P
2.886kN m
3.校核强度
t max
N A
M
z2 I
32.2MPa t
c max
N A
M z1 Iy
40.2MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的
轴向正应变分别为a=1×10-3,b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力
yP
iz2 ay
05
0 -5
zP
iy2 az
3.3 0 -2.43 0
z
A 0.4 0.6 0.4 0.9 0.6m2
(5) 0.2 0.6 (4)
0.4 (3) 0.45
0.2 (6)
0.45
(1)
Iy
yI
1 (0.9 0.43
z
31 12
(0.4 0.93
0.4 0.63 ) 48103 m4 0.6 0.43 ) 27.5103 m4
r4
1（[
2
1
）2
2
2
3
2
3
1
2
]
2 3 2
1
2
1 2
2 4 2
2＝0
3
2
1 2
2 4 2
r3 1 3 2 4 2 r4 2 3 2
M ， T
W
Wt
圆形截面：Wt 2W
r3
( M )2 4( T )2
W
Wt
r4
( M )2 3( T )2
W
Wt
A
100 P=100KN
Z
Z
0
2020 60 55 45
e 5mm B
yc
201010 6010 70 2010 6010
55mm
Iz 72.6104 mm4
max
P A
P 5103 Iz
x 38.6mm 10(100(1120x50)311700.38)10106 6116622.8.8M1P0a6
i
2 y
Iy
6.28104 8.492 628 17560cm4
Iy A
28cm2
iz2
Iz A
100cm2
中性轴编号
(1) (2) (3) (4)
中性轴在形心主惯
a y ∞ -20 ∞ 20
性轴上的截距(cm)
az -8.49 ∞ 11.51 ∞
对应截面核心的边界点
12 3 4
核心边界点的 坐标(cm)
4 3
540
2
y
A 802 1 542 4110cm2
4
Iy
Iz
804 12
544
64
3106 cm4
(4) 800
i
2 y
Iy A
729cm2
iz2
中性轴编号
中性轴在形心主惯 性轴上的截距(cm)
(1) (2) (3) (4)
a y 40 ∞ -40 ∞ az ∞ 40 ∞ -40
r3
1 W
M2 T2
r4
1 W
M 2 0.75T 2
r3
空圆 心形 圆截 截面 面或
( M )2 4( T )2
W
Wt
r4
( M )2 3( T )2
W
Wt
r3
1 W
r4
1 W
M 2 T2
圆形截面：
M 2 0.75T 2 Wt 2W
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
r3
( N M )2 ( T )2 AW W
az
i
2 y
zP
轴将横截面划分成两部分。
中 性 轴
z yB
D1
ay z A 最大压应力
D2
az
y
最大拉应力
要使坐标为（r、s）的C点的应力为零，
即要求中性轴通过C点，得：
yP iz2
y0
zP iy2
z0
1
——中性轴位置方程
r iz2
yP
s
i
2 y
zP
1
只要压力P作用于pq直线的任意点上，C点 的应力总等于零，即中性轴总通过C点。