概率与统计学的主要公式及解题技巧

一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
;P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);
P(A )=1-P(A);
B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)
P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);
2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：
离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn Pk
P1
P2
...
pn
X 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。

分布函数：
F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1)
;P{X>a}=1-P{X<a}
离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k t
p k ;(把X<x 的概率累加）
连续型
rvX ；F(x)=−∞
x
f x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是
密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;
二、常用概率分布：
①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)
P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);
②离散：泊松分布：X～Π(λ)
P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;
③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),
则：密度函数：f(x)=1b−a,a t
0,其它
=0,x x−a b−a1,x≥b,a t
分布函数F(x)=
−∞x f x dx
④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t
0,其它
F(x)=1−e−xθ0,x 0;
⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!
密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：
分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。

当X ～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）,由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；2
1)0(=Φ；
看到X ～N(μ,σ2),求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);既把X 变成
X−μσ
；则
X−μσ
～N(0,1)；
例题：已知X～N(1,22)；求P(-1<X<3).解：(思路：µ=1，σ=2；变换式：x−12
)
P(-1<X<3)=P(-1-1<X-1<3-1)=P(−1−12
X−12
3−12
)=
P(−1 X−12
1)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;
查表
正态性质：如X ～N(μ1,σ12)，Y ～N(μ2,σ22)；则Z=aX+bY 也是正态；Z ～N(μz,σz 2),其中µz=a µ1+b µ2;σz ²=a ²σ1²+b ²σ2²；
三、二维随机变量：
离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).
联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2,3,..)
联合分布律的表格形式:
X
Y1Y2Y3P(X=I)
Y
X1P11P12P13P11+P12+P13 X2P21P22P23P21+P22+P23 X3P31P32P33P31+P32+P33 P(Y=J)P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33
边缘分布：
P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加）;P(X=2)，P(X=3)同样计算
P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）;P(Y=2)，P(Y=3)类似计算；条件概率：
X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}=P{Y=yj,X=X1}
P{X=X1)=P1J P{X=X1);
P{Y=y1|X=x1}=P11P{X=X1);P{Y=y2|X=x1}=P12P{X=X1);P{Y=y3|X=x1}=P13P{X=X1)
连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）
;F(∞,∞)=1.
则：F(x,y)=P(X<x,Y<y)=
−∞x−∞y f x,y dxdy
边缘密度：f x x =−∞∞f x,y dy; f y y =−∞∞
f x,y dx; 如XY 独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y);反之也成立；X,Y 二维正态密度中的参数ρ=0，则X,Y 独立；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；
思路：注意x 的定义域，利用F(∞)=−∞∞
f x dx =1; 求出参数；2、求P(X<Y)或P(X+Y>1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上
下限，并求积分；
3、求Z=X+Y 的分布：密度公式f x y z =−∞∞f x,z −x dx; 四、数学期望、方差数学期望E(X),方差D(X):
离散：E(X)=i=1n xi ∗pi ;E(g(X))=i=1
n
g(xi)∗pi ;连续：E(X)=−∞
∞
xf x dx; E(g(X))=−∞
∞
g(x)f x dx; 性质：E(C)=C,E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y 独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；
D(X)=E(X ²)−E 2X (极其重要！）;D(C)=0，D(CX)=C ²X 如X,Y 独立，D(X ±Y)=D X D(Y)五、样本及抽样分布
矩法估计量：用样本均值X 去估计总体的均值E(X)，则从X =E(X)解出的参数θ即为θ ，称为θ的矩法估计量。

中心极限定理：E(X)=µ,D(X)=σ²（不一定是正态哦！）的独立同分
布的X1,X2,X3...Xn ，当n 充分大时，有：i=1n Xi−nμ nσ=1
n i=1
n
Xi−μ σ/n =X−μσ/n ～
（近似）N(0,1);
i=1
n Xi 是X 的和；X 是样本平均值；样本及抽样分布：从总体X 中抽取一个个体，独立抽n 次，记为X1,X2,...Xn,它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n 是样本容量，X1,X2,..Xn 的观测值x1,x2,x3...xn 叫样本值。

如总体X 的分布函数是F ，密度是f;则：F(x1,x2,..xn)=F(x1)*F(x2)*...*F(xn)=i=1n F(xi) ;f(x1,x2,...,xn)=i=1n f(xi) ;重要统计量：
样本均值：X =1
n i=1n Xi ;样本方差S ²=1
n−1i=1
n
（Xi −X ）² ;如总体X 的E(X)=µ,D(X)=σ²,则E(X)=1
n i=1
n E(Xi )
=1
n
i=1
n μ=μ ,D(X)=
σ2n
;
六、正态总体分布常用统计量：
1、卡方χ²：X1,X2,...是来自总体X～N(0,1)的样本，χ²=X1²+X2²+...+Xn²,则称χ²～χ²(n)为自由度n 卡方分布；性质：E(χ²)=n ,D(χ²)=2n ;
卡方χ²的上分位点：给定0<a<1,满足P{χ²>χa ²
(n)}=χa ²∞
f
x dx =a 的χa ²(n),已知a,n,查表可χa ²(n)；
查表时：P{χ²<χa ²(n)}=1-P{χ²>χa ²(n)}=1-a 随机抽样时：有
（n−1)S ²σ²
～χ²(n-1);
2、t 分布：X ～N(0，1),Y ～χ²(n),XY 互相独立，t=X
Y/n ,称自由度为n 的t 分布，记t ～t(n);图形和N （0,1）类似；
t
分布的上分位点：给定
0<a<1,
满足
P{t>t a (n)}=t a (n)∞
f
x dx =a 的t a (n),已知a,n,查表可
t a (n),t 分布的图形：
3、F 分布：U ～χ²(n1)；V ～χ²(n2)，且UV 互相独立，
F=
U n1V n2
;是自由度为(n1,n2)的F 分布，记F ～F(n1,n2);
F 分布的上分位点：给定
0<a<1,满足
P{F>Fa(n1,n2)}=Fa(n1,n2)∞
f
x dx =a 的Fa(n1,n2)χa ²,
已知
a,n1,n2,查表可Fa(n1,n2)；
F 分布性质：
1F
~F n2,n1;分位点有F 1-a (n1,n2)=1/F a (n2,n1);
正态总体N(µ,σ²)的平均值和方差分布：
S n
4：X ～N(µ1,σ12),Y ～N(µ2,σ22);S1,S2是对应方差；七、参数估计
1、最大似然估计法：
离散型总体X ，其分布律P{X=x}=p(x;θ),θ是待定参数，Xi(i=1,2..n)是个体样本，xi(i=1,2,..n)是样本取样值，则Xi(i=1,2..n)的联合分布律为：i=1n p(xi;θ) (既Xi(i=1,2..n)的积事件）；似然函数L(θ)=L x1,x2,…,θ=i=1n
p(xi;θ) ;
把θ看做自变量，如L(θ)达到极大值，为计算方便；可令
=0，计算出θ=θ
，θ 称最大似然估计值。

极大似然估计的方法与步骤：
①写出似然函数∏==n
i i x f L 1
);()(θθ（或∏=n
i i x P 1
);(θ）
②令0)(ln =θ
θd L d ，求出的θ值即为θ的极大似然估计∧
θ
正态X ~N(μ,σ2)的最大似然估计量为：
2、无偏估计：指估计量θ
的数学期望E(θ )=θ;如E(X)=μ,称样本均值X 是总体均值μ的无偏估计；D(S ²)=σ²，
称样本方差是总体方差的无偏估计；其中，
样本方差S ²=1
n−1i=1n
（Xi −X ）² ，分母是n-1,不是n!.3、区间估计：
置信区间：给定a(0<a<1),理解为概率，来自总体X 的样本X1，X2,...Xn 的统计量θ(如均值，方差等）在∆θ：（θ1，θ2）之间，使得抽样样本的概率在1-a 。

则称(θ1,θ2)为置信水平1-a 的置信区间。

连续型rv：a已知，利用P(θ1 2)=1-a,求出θ1,θ2；常
题型：①σ已知，求μ的置信水平为1-a的置信区间：
a、变换成标准正态；令Y=X−μσ/n,则Y～N(0,1)；上分位点Y a/2可查表得出，由于N(0,1)的对称性，下分位点是-Y a/2；
b、由-Y a/2<X−μσ/n<Y a/2;得X−Y a/2∗σ/n<μ X Y a/2∗σ/n;就是μ的置信区间。

见图！
②σ未知，求μ的置信水平为1-a的置信区间：
X−μS n～t(n-1)；由P(X−μS n>t a/2(n-1))=a/2,查表得上分位点t a/2(n-1)，由于t函数对称性，下分位点是-t a/2(n-1)；
-t a/2(n-1)<X−μS n<t a/2(n-1);
既得μ的置信区间(X±S/n*t a/2(n-1))
③方差的置信区间（μ未知）；
（n−1)S ²σ²
(n-1);卡方χ²分布；给定a,查表可得上下分位
点χ²a/2(n-1)和χ²1-a/2(n-1)；解
χ²a/2(n-1)<（n-1)S²/σ²<χ²1-a/2(n-1)得方差σ²的置信区间：
χ
,
χ④两个正态总体X ～N(μ1,σ12)，Y ～N(μ2,σ22)的置信区间；来自总体X 的样本X1,X2,...Xn1,均值X ,方差S 1²;来自总体Y 的样本Y1,Y2,...Yn2,均值Y ,方差S 2²;a 、μ1−μ2的置信区间：
1）、σ12
，σ22
已知，设Z=X −Y ,则Z ～N(μ1−μ2,σ12n1
σ22n2
)
既
n1～N(0,1),上分位点为Z a/2;
置信区间为：
（X −Y
±Z 2）、σ12=σ22=σ2(未知）
n2−2);置信区间：（X −
Y ±t (n1+n2-2)S w )
其中：S ²;
b 、两个方差之比σ1
的置信区间，μ1，μ2均未知。

给定a,F 分布的上下分位点分别为F a/2(n1-1,n2-1),F 1-a/2(n1-1,n2-1),
有：F a/2(n1-1,n2-1)<S12/S22σ12/σ22<F1-a/2(n1-1,n2-1);
σ12/σ22置信区间：(S12S221F a/2(n1−1,n2−1),S12S221F1−a/2(n1−1,n2−1));
八、假设检验
方法：给定较小的a值(0.01,0.05),得到上分布点Z a/2;当统计量Z=X−μσ/n、t=X−μS n等<Z a/2时，说明假设(H0)成立,否则假设不成立(H1),a称显著性水平。

双边检验：H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0;H0的拒绝域为Z>Za时；
左检验：H0:μ≤μ0,H1:μ 0;H0的拒绝域为Z>Za时；
右检验：H0:μ≥μ0,H1:μ 0;H0的拒绝域为Z<Za时；
∵1−a为大概率事件，∴总体抽样的个体，分布在<Za的概率要大。

1、正态总体均值的假设检验：
a、单个总体均值μ的检验；
①如方差σ²已知，X～N(µ,σ2n)，Z=X−μσ/n~N(0，1)；当Z Z a/2时，原假设H0:μ=μ0成立，当Z≥Z a/2时H1:μ≠μ0成立。

②如方差σ²未知，X−μS n～t(n-1)，t=X−μS n;当t<t a/2(n-1)时，H0:μ=μ0成立，t>t a/2(n-1)时,H1:μ≠μ0成立。

b、两个总体正态的检验：X～N(μ1,σ2)，Y～N(μ2,σ2),μ1,μ2,σ2未知，检验；
H0：μ1−μ2=δ，H1：μ1−μ2≠δ，（δ为已知，显著性水平是a)
检验统计量(X−Y)−δ
n1,
s w
2=
n1−1S 12 (n2−1)S 2
2
n1 n2−2
;
当H0成立时，
t ~t n1 n2−2;设k=t a/2(n1+n2-2)(双边检验）
,则H0的拒绝域是|t|≥k=t a/2(n1+n2-2);c 、成对数据的检验（t 检验）
原始数据对X1,X2,...,Xn;Y1,Y2,...,Yn,构造r.v.D
D1=X1-Y1,D2=X2-Y2,Di=Xi-Yi ;Di 服从正态分布：Di ~N(μ0,σD 2),μ0,σD
2
未知；检验假设：
①H0：μD =0，H1：μD ≠0；②H0：μD ≤0，H1：μD 0；③H0：μD ≥0，
H1：μD 0；设样本均值为D ,样本方差S 2，上述检验的拒绝域为（a 为显著水平）
①|t|=|D
2|≥−1,②t=|D
2n |≥t a n −1,
③t=|D
2|≤−t a n −1,2、正态总体方差的假设检验：
1）、单个总体
X ～N(μ,σ2)，,μ,σ2未知，X1，X2，...Xn 是样本，要检验（显著性水平为a)；
①H0:σ2=σ0
2;H1:σ2≠σ02,σ0
2
为常数；属于双边检验；由
（n−1)S ²σ²
～χ²(n-1);卡方χ²分布，取χ²=
（n−1)S ²
σ0
2
；
其上下分位点是：k1=χ1−a/22(n-1);k2=χa/2
2(n-1)∴拒绝域：
（n−1)S ²
σ0
2
≤k1=χ1−a/2
2(n-1)or
（n−1)S ²
σ0
2
≥k1=χa/2
2(n-1)②H0:
σ2≤σ0
2;H1:σ2 σ02,σ02
为常数；属于单边检验；拒绝域：
（n−1)S ²
σ0
2
≥χa 2(n-1)；
（上分位点）③H0:
σ2≥σ0
2;H1:σ2 σ02,σ0
2为常数；属于单边检验；拒绝域：
（n−1)S ²
σ0
2
≤χ1−a
2(n-1)；（上分位点）；2）、两个总体
X ～N(μ1,σ12)，Y ～N(μ2,σ22),μ1,μ2,σ12，σ12未知，要检验（显著性水平为a)；H0:
σ1
2≤
σ2
2;H1:
σ1
2
σ2
2；H1为真时，S 1
2S 2
2会增大，由
S12
S 22σ12σ2
2～F(n1-1,n2-1)，∵σ1
2σ2
2 1，
∴拒绝域为F=S 12
/S 2
2≥F a (n1-1,n2-1)九、方差分析和一元线性回归方程：y =a b x .1)
设：（x1,y1),(x2,y2),...,(x n ,y n )为样本观测值；均值
为X ,Y
S xx =i=1
n
(X i − X)²;S yy =i=1
n
(Y i − Y)²;
S xy=i=1n(X i−
X)(Y i−Y);
b =S xy S xx;a =Y−b X;回归直线方程：y =a b x；（过点（X,Y）
2)σ2的估计(:σ2 为其无偏估计量）
残差平方和为：Q e=S yy-b S xy;σ2 =Q e n−2;
3)在显著水平为a，线性假设的检验(t检验）；
假设H0：b=0,H1:b≠0;
当H0为真，b=0
~t(n−2);
H0的拒绝域：|t|=|b| σ2 S xx≥t a/2(n−2)
4）、在单因素试验条件下，来自不同的检验组Aj(j=1,2,...,s)下的样本X1j,X2j,…,X nj,均值为μj(j=1,2,...,s),方差都为σ2，分布为N(μj,σ2): a、假设检验：
H0：μ1=μ2=…=μs,H1:μj(j=1,2,...,s)不全相等.
b、总偏差平方和：S T=j=1s i=1nj(x ij −x)²;x是总评价值。

效应平方和：S A=n∗j=1s(X j −x)²;X j是第j检验组的平均值。

误差平方和：S E=S T−S A;
c、检测统计量（分布）F=S A/(s−1)
S E/(n−s)~F(s−1,n−s),(当H0为真)时，d、拒绝域：F=S A/(s−1)
S E/(n−s)≥F a(s−1,n−s);。