概率与统计学的主要公式及解题技巧

一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

;P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);

P(A )=1-P(A);

B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)

P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);

2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：

离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn Pk

P1

P2

...

pn

X 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。分布函数：

F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1

;P{X>a}=1-P{X

离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k t

p k ;(把X

连续型

rvX ；F(x)=−∞

x

f x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是

密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;

二、常用概率分布：

①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)

P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);

②离散：泊松分布：X～Π(λ)

P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;

③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),

则：密度函数：f(x)=1b−a,a t

0,其它

=0,x x−a b−a1,x≥b,a t

分布函数F(x)=

−∞x f x dx

④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t

0,其它

F(x)=1−e−xθ0,x 0;

⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!

密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：

分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。

当X ～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）,由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；2

1)0(=Φ；

看到X ～N(μ,σ2),求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);既把X 变成

X−μσ

；则

X−μσ

～N(0,1)；

例题：已知X～N(1,22)；求P(-1

)

P(-1

X−12

3−12

)=

P(−1 X−12

1)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;

查表

正态性质：如X ～N(μ1,σ12)，Y ～N(μ2,σ22)；则Z=aX+bY 也是正态；Z ～N(μz,σz 2),其中µz=a µ1+b µ2;σz ²=a ²σ1²+b ²σ2²；

三、二维随机变量：

离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).

联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2,3,..)

联合分布律的表格形式:

X

Y1Y2Y3P(X=I)

Y

X1P11P12P13P11+P12+P13 X2P21P22P23P21+P22+P23 X3P31P32P33P31+P32+P33 P(Y=J)P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33

边缘分布：

P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加）;P(X=2)，P(X=3)同样计算

P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）;P(Y=2)，P(Y=3)类似计算；条件概率：

X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}=P{Y=yj,X=X1}

P{X=X1)=P1J P{X=X1);

P{Y=y1|X=x1}=P11P{X=X1);P{Y=y2|X=x1}=P12P{X=X1);P{Y=y3|X=x1}=P13P{X=X1)

连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）

;F(∞,∞)=1.

则：F(x,y)=P(X

−∞x−∞y f x,y dxdy

边缘密度：f x x =−∞∞f x,y dy; f y y =−∞∞

f x,y dx; 如XY 独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y);反之也成立；X,Y 二维正态密度中的参数ρ=0，则X,Y 独立；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；

思路：注意x 的定义域，利用F(∞)=−∞∞

f x dx =1; 求出参数；2、求P(X1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上

下限，并求积分；

3、求Z=X+Y 的分布：密度公式f x y z =−∞∞f x,z −x dx; 四、数学期望、方差数学期望E(X),方差D(X):

离散：E(X)=i=1n xi ∗pi ;E(g(X))=i=1

n

g(xi)∗pi ;连续：E(X)=−∞

∞

xf x dx; E(g(X))=−∞

∞

g(x)f x dx; 性质：E(C)=C,E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y 独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；

D(X)=E(X ²)−E 2X (极其重要！）;D(C)=0，D(CX)=C ²X 如X,Y 独立，D(X ±Y)=D X D(Y)五、样本及抽样分布

矩法估计量：用样本均值X 去估计总体的均值E(X)，则从X =E(X)解出的参数θ即为θ ，称为θ的矩法估计量。中心极限定理：E(X)=µ,D(X)=σ²（不一定是正态哦！）的独立同分

布的X1,X2,X3...Xn ，当n 充分大时，有：i=1n Xi−nμ nσ=1

n i=1

n

Xi−μ σ/n =X−μσ/n ～

（近似）N(0,1);