2015高考总复习数学(文)课件：14.2 古典概型

【互动探究】
2．(2013 年湖南怀化二模)随着经济的发展，人们生活水平
的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重
视．从学生体检评价报告单了解到我校 3000 名学生的体重发育
评价情况，得下表： 偏瘦 女生/人 男生/人 正常 肥胖
300
865
885
y
z
x
已知从这批学生中随机抽取 1 名学生，抽到偏瘦男生的概 率为 0.15. (1)求 x 的值； (2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取 60 名，
m 求出事件 A 中的基本事件，利用公式 P(A)＝ ，求出事件 A 的概 n
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率.这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序
做到不重复、不遗漏.
【互动探究】 1．已知集合 A＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标(x，y)满足 x∈A，y∈A. (1)请列出点 M 的所有坐标； (2)求点 M 不在 y 轴上的概率；
4．(2012 年广东广州综合测试二)如图 14-2-1，A，B 两点 之间有 4 条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为 1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之 1 和为 5 的概率是_____. 3
图 14-2-1
5．(2012 年江苏)现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首 项，－3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数， 3 则它小于 8 的概率是____. 5
1 A.5
)
1 B.2 2 C.3 4 D.5
解析：因为文艺书只有 2 本，所以选取的 3 本书中必有科
技书，这样问题就等价于求选取的 3 本书中有文艺书的概率．
设 4 本不同的科技书为 a，b，c，d,2 本不同的文艺书为 e，f，
则从这 6 本书中任选 3 本的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，
②抽取的 2 所学校均为小学的结果为： {A1， A2}， {A1， A3}， 3 1 {A2，A3}共 3 种，抽取的 2 所学校均为小学的概率为15＝5.
【方法与技巧】古典概型在和统计等其他知识结合考查时，
通常有两种方式：一种是将统计等其他知识和古典概型捆绑起
来，利用其他知识来处理古典概型问题；另一种就是与其他知 识点独立考查而相互影响不大.前一种对知识的掌握方面要求 更高，如果在前面的问题处理错，可能对后面的古典概型处理 带来一定的失误.通常会设置有若干问题，会运用到统计中的相 关知识处理相关数据.
②求抽取的 2 所学校均为小学的概率．
解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 21∶14∶7＝3∶2∶1， 可得从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①设抽取的 6 所学校中小学为 A1 ， A2 ， A3 ，中学为 A4 ， A5，大学为A6. 抽取 2 所学校的结果为： {A1 ， A2} ， {A1 ， A3} ， {A1 ， A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}， {A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4， A6}，{A5，A6}共15种．
考点 1 古典概型
例 1：(2013 年江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌
还是去下棋．游戏规则为以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，
A5，A6(如图 14-2-2)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向
量，记这两个向量的数量积为 X，若 X>0 就去打球，若 X＝0
就去唱歌，若 X<0 就去下棋．
12 3 ∴点 M 不在 y 轴上的概率是 p1＝16＝4.
x＋y－5<0， (3)点 M 正好落在区域x>0， y>0 (1,1)，(1,3)，(3,1)
上的坐标共有 3 种：
3 故 M 正好落在该区域上的概率为 p2＝16.
考点 2 古典概型与统计等其他知识的结合 例 2：(2012 年天津)某地区有小学 21 所，中学 14 所，大 学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对 学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据 分析． ①列出所有可能的抽取结果；
能的．
用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件， 事件 M 包含以下 4 个基本事件： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)
4 1 因而 P(M)＝12＝3. 1 所以 A1 恰被选中的概率为3. (1)用 N 表示“B1，C1 不全被选中”这一事件，则其对立事 件 N 表示“B1，C1 全被选中”这一事件． 事件 N 包含以下 3 个基本事件：(A1，B1，C1)，(A2，B1， 3 1 C1)，(A3，B1，C1)．所以 P( N )＝12＝4. 1 3 由对立事件的概率公式得 P(N)＝1－P( N )＝1－4＝4. 3 所以 B1 和 C1 不全被选中的概率为4.
第 2 讲 古典概型
考情风向标 从近三年的高考试题来看，古 1.理解古典概型及其概率计 典概型是考查概率知识的重点．题 算公式． 型涉及选择题、填空题和解答题等 2．会用列举法计算一些随 多种形式，题目难度以中低档为 机事件所含的基本事件数 主．作为解答题时多数与统计的知 及事件发生的概率. 识结合起来考查.
x＋y－5<0， (3)求点 M 正好落在区域x>0， y>0 上的概率．
解：(1)∵集合A＝{－2,0,1,3}，点 M(x，y)的坐标 x∈A，y ∈A， ∴点 M 的坐标共有 4×4＝16(个)，分别是：
(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(0，－2)，(0,0)，(0,1)，
解： (1) 从 7 人中选出日语、韩语和印度语志愿者各 1 名，
所有可能的结果组成的基本事件有： (A1，B1，C1)，(A1，B1，
C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1， C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1， C2) ， (A3 ， B2 ， C1) ， (A3 ， B2 ， C2) ，共 12 个．由于每一个基 本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可
考纲要求
1．基本事件的特点 互斥 的． (1)任何两个基本事件是________ 基本事件 的 (2) 任何事件( 除不可能事件) 都可以表示成__________ 和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古 典概型． 有限个 ． (1)试验中所有可能出现的基本事件________ 相等 ． (2)每个基本事件出现的可能性________
2 A.3 1 B.2 1 C.3 1 D.6
2．有 5 条长度分别为 1,3,5,7,9 的线段，从中任意取出 3 条， 则所取 3 条线段可构成三角形的概率是( B )
3 A.5 3 B.10 2 C.5 7 D.10
3．(2013 年四川内江模拟)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同 学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相 同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A ) 1 1 2 3 A.3 B.2 C.3 D.4
(3)由题意，可知 y＋z＝500，且 y≥243，z≥243，
满足条件的基本事件如下： (y，z)有(243,257)，(244,256)，„，(257,243)，共有 15 组． 设事件 A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即 y≤z，
满足条件的(y，z)的基本事件有：(243,257)，(244,256)，„， (250,250)，共有 8 组， 8 所以 P(A)＝15.
问应在肥胖学生中抽多少名？
(3)已知 y≥243，z≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的 概率．
解：(1)由题意，得从这批学生中随机抽取 1 名学生， 抽到偏瘦男生的概率为 0.15， x 可知，3000＝0.15， ∴x＝450. (2)由题意，可知肥胖学生人数为 y＋z＝500(人)． 设应在肥胖学生中抽取 m 人， 60 m 则500＝3000， ∴m＝10. 答：应在肥胖学生中抽 10 名．
8 答：肥胖学生中女生少于男生的概率为15.
考点 3 互斥事件与对立事件在古典概型中的应用
例 3：(2011 年广东海珠一模)现有 7 名亚运会志愿者，其中
志愿者 A1，A2，A3 通晓日语，B1，B2 通晓韩语，C1，C2 通晓印 度语．从中选出通晓日语、韩语和印度语的志愿者各 1 名，组 成一个小组． (1)求 A1 恰被选中的概率； (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率．
【方法与技巧】在处理古典概型的问题时，我们通常都将
所求事件 A 分解为若干个互斥事件(尤其是基本事件)的和，利
用概率加法公式求解，或者利用对立事件求解.
【互动探究】 3．在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本 不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺
书的概率为(
7 (2)由(1)知，小波去下棋的概率为 p1＝15. 4 因为去唱歌的概率为 p2＝15， 4 11 所以小波不去唱歌的概率 p3＝1－p2＝1－15＝15.
【方法与技巧】(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试 验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有 同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确的判断试验的 类型是解决概率问题的关键. (2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再
图 14-2-2 (1)写出数量积 X 的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解：(1)X 的所有可能取值为－2 ，－1 ,0, 1. → 2· →5，共 1 种； (2)数量积为－2 的只有OA OA → 1· →5，OA → 1· →6，OA → 2· →4，OA → 2· → 6， 数量积为－1 的有OA OA OA OA OA → 3· →4，OA → 3· →5，共 6 种； OA OA OA → 1· →3，OA → 1· →4，OA → 3· →6，OA → 4· → 6， 数量积为 0 的有OA OA OA OA OA 共 4 种； → 1· →2，OA → 2· →3，OA → 4· →5，OA → 5· → 6， 数量积为 1 的有OA OA OA OA OA 共 4 种． 故所有可能的情况共有 15 种．
(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，
e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b， d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，
(d，e，f)，共 20 种，记“选取的 3 本书中有文艺书”为事件 A，
3．古典概型的概率公式
如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出
1 现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是______ n ．
该概率模型即为古典概型．
如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率
m P(A)＝______. n
1．(2013 年江西)集合 A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从 A，B 中 各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率是( C )
则“选取的三本书无文艺书”为事件 A ，则事件 A 包含的可能
情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共 4 种， 4 4 故 P(A)＝1－P( A )＝1－20＝5. 答案： D
(0,3)，(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)． (2)点 M 不在 y 轴上的坐标共有 12 种：
(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)，(1，－2)，(1,0)，(1,1)， (1,3)，(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)．