空间向量的距离问题演示文稿
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
D1 A1
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
D
于 , 那 么有这个四棱柱的对角线的长可以 A
确定棱长吗?
C1
B1 C B
分析: 设 AC1 a，AB AD AA1 x，BAD BAA1 DAA1
则由AC1 AB AD AA1
2
2
2
2
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
空间向量的距离问题演示文稿
（优选）空间向量的距离问题
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
a
a
2
或
a
x2 y2 z2
(其中
a
(x,
y,
z)
)
，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z) x
D
C
n EF，n EG 22xx24yy02Z 0 F
11
n ( , ,1) , BE (2, 0, 0) 33
A
d | n BE| 2 11 .
E
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
P
n
则 d=| PO |=| PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6 所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: BD1 BA BC BB1
其中ABC ABB1 120，B1BC 60
ห้องสมุดไป่ตู้
11 .
11
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N
D
C
M
A
B
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0a, )
即 a2 3x2 2(3x2 cos )
x
1a
3 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、
AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的
距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
D M
A
x
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
N
Cy
B
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2 ∴ MC (
2
a,
2 a, 0) ,
2 MN
2
(0,
1
a,
1
a)
,
2
22
z
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
∴ n MC 2 ax ay 0 且
P
2
n MN a y a z 0 22
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
A1
B1
进行向量运算
D
C
2
AC1
( AB
AD
AA1 )2
2
2
2
A
B
图1
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
D1 A1
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
D
于 , 那 么有这个四棱柱的对角线的长可以 A
确定棱长吗?
C1
B1 C B
分析: 设 AC1 a，AB AD AA1 x，BAD BAA1 DAA1
则由AC1 AB AD AA1
2
2
2
2
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
空间向量的距离问题演示文稿
（优选）空间向量的距离问题
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
a
a
2
或
a
x2 y2 z2
(其中
a
(x,
y,
z)
)
，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z) x
D
C
n EF，n EG 22xx24yy02Z 0 F
11
n ( , ,1) , BE (2, 0, 0) 33
A
d | n BE| 2 11 .
E
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
P
n
则 d=| PO |=| PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6 所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: BD1 BA BC BB1
其中ABC ABB1 120，B1BC 60
ห้องสมุดไป่ตู้
11 .
11
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N
D
C
M
A
B
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0a, )
即 a2 3x2 2(3x2 cos )
x
1a
3 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、
AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到平面 EFG 的
距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
D M
A
x
MA ( 2 a, 0, 0) 2
∴ n MN , n MC
N
Cy
B
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2 ∴ MC (
2
a,
2 a, 0) ,
2 MN
2
(0,
1
a,
1
a)
,
2
22
z
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量,
∴ n MC 2 ax ay 0 且
P
2
n MN a y a z 0 22
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
A1
B1
进行向量运算
D
C
2
AC1
( AB
AD
AA1 )2
2
2
2
A
B
图1
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )