高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数3导数及其应用文

1．设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则 a
＝( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：基本法：y′＝a－x＋1 1，当 x＝0 时，y′＝a－1＝2， ∴a＝3，故选 D. 答案：D
2．(2016·高考全国丙卷)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝ e－x－1－x，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
速解法：若 a＞0，又∵f(0)＝1，f(－1)＝－a－2＜0， 在(－1,0)处有零点，不符合题意． ∴a＜0，若 a＝－43，则 f(x)＝－43x3－3x2＋1 f′(x)＝－4x2－6x＝0，∴x＝0，或 x＝－32. 此时 f －32为极小值且 f －32＜0，有三个零点，排除 D. 答案：C
答案：y＝2x
类型二 导数与函数的极值、最值
[例 2] (1)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，
且 x0＞0，则 a 的取值范围是( C )
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－1)
解析：基本法：a＝0 时，不符合题意． a≠0 时，f′(x)＝3ax2－6x，令 f′(x)＝0， 得 x1＝0，x2＝2a. 若 a＞0，则由图象知 f(x)有负数零点，不符合题意． 则 a＜0，由图象结合 f(0)＝1＞0 知，此时必有 f2a＞0，即 a×a83－ 3×a42＋1＞0，化简得 a2＞4，又 a＜0，所以 a＜－2，故选 C.
当 a<0 时，f(x)图象如图，x1 为极小值点，x2 为极大值点．
3．若函数 y＝f(x)为偶函数，则 f′(x)为奇函数， 若函数 y＝f(x)为奇函数，则 f′(x)为偶函数， 4．y＝ex 在(0,1)处的切线方程为 y＝x＋1.
[速解方略]——不拘一格 类型一 导数的几何意义及应用
方略点评：基本法是直接求解a，并使极小值fa2＞0.速解法是用特值检验排除.
(2)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( C ) A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数 y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
方略点评：基本法是先由切点求切线方程再代入2，7，求 a.速解 法是利用斜率的求法建立 a 的方程.
(2)已知曲线 y＝x＋lx ＋1 相切，则 a＝________.
解析：基本法：令 f(x)＝x＋ln x，求导得 f′(x)＝1＋1x，f′(1)＝2， 又 f(1)＝1，所以曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝ 2(x－1)，即 y＝2x－1.设直线 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 的切点为 P(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得 a(2x0＋1)＝0， ∴a＝0 或 x0＝－12，又 ax20＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即 ax20＋ax0＋2 ＝0，当 a＝0 时，显然不满足此方程， ∴x0＝－12，此时 a＝8.
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线 过点(2,7)，则 a＝________.
解析：基本法：由题意可得 f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1， 又 f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线方 程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)， ∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得 a＝1. 速解法：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率 k＝5－1 a＝5－a， f′(x)＝3ax2＋1，∴5－a＝3a＋1，∴a＝1. 答案：1
类型一 类型二 类型三 限时速解训练 综合提升训练 滚动训练
必考点三 导数及其应用
[高考预测]——运筹帷幄 1．利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数． 2．利用导数求函数的极值、最值，由函数极值求参数． 3．利用导数研究函数切线问题．
[速解必备]——决胜千里 1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最 值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 2．若 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有两个极值点，且 x1<x2， 当 a>0 时，f(x)的图象如图，x1 为极大值点，x2 为极小值点，
解析：基本法：由三次函数的值域为 R 知，f(x)＝0 必有解，A 项 正确；因为 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 的图象可由 y＝x3 平移得到，所 以 y＝f(x)的图象是中心对称图形，B 项正确；若 y＝f(x)有极值点， 则其导数 y＝f′(x)必有 2 个零点，设为 x1，x2(x1＜x2)，则有 f′(x) ＝3x2＋2ax＋b＝3(x－x1)(x－x2)，所以 f(x)在(－∞，x1)上递增，在 (x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，则 x2 为极小值点，所以 C 项错误，D 项正确．选 C.
速解法：求出 y＝x＋ln x 在(1,1)处的切线为 y＝2x－1 由yy＝ ＝2axx－ 2＋1a＋2x＋1 得 ax2＋ax＋2＝0， ∴Δ＝a2－8a＝0， ∴a＝8 或 a＝0(显然不成立)． 答案：8
方略点评：1基本法是用导数的方法，速解法利用了判别式法， 也较简单. 2曲线 y＝fx在点 Px0，y0处的切线，Px0，y0为切点，其切线 斜率为 f′x0，其切线方程为 y－y0＝f′x0x－x0.如果 f′x0不 存在，则切线为 x＝x0.
解析：首先求出 x>0 时函数的解析式，再由导数的几何意义求出 切线的斜率，最后由点斜式得切线方程． 设 x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝ex－1＋x. ∴当 x＞0 时，f(x)＝eex＋x， ∴f′(x)＝eex·2e＋1＝ex－1＋1， ∴f′(1)＝2，所以所求切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.