毕业设计论文电力系统潮流计算

题目：电力系统潮流计算
专业：电力系统及其自动化
班级：研11级12班
学号： ********** 学生姓名：***
指导教师：***
2012年 5 月 10 日
第1章绪论
1.1课题背景
电力是衡量一个国家经济发展的主要指标，也是反映人民生活水平的重要标志，它已成为现代工农业生产、交通运输以及城乡生活等许多方面不可或缺的能源和动力。

电力系统是由发电、输电、变电、配电和用电等环节组成的电能生产与消费系统。

它的功能是将自然界的一次能源通过发电动力装置转化成电能，再经输电、变电和配电将电能供应到各用户。

为实现这一功能，电力系统在各个环节和不同层次还具有相应的信息与控制系统，对电能的生产过程进行测量、调节、控制、保护、通信和调度，以保证用户获得安全、经济、优质的电能。

潮流计算是在给定电力系统网络结构、参数和决定系统运行状态的边界条件的情况下确定系统稳态运行状态的一种基本方法，是电力系统规划和运营中不可缺少的一个重要组成部分。

可以说，它是电力系统分析中最基本、最重要的计算，是系统安全、经济分析和实时控制与调度的基础。

是电力系统研究人员长期研究的一个课题。

MATLAB自1980年问世以来，它的强大的矩阵处理功能给电力系统的分析、计算带来许多方便。

在处理潮流计算时，其计算机软件的速度已无法满足大电网模拟和实时控制的仿真要求，而高效的潮流问题相关软件的研究已成为大规模电力系统仿真计算的关键。

随着计算机技术的不断发展和成熟，对MATLAB 潮流计算的研究为快速、详细地解决大电网的计算问题开辟了新思路。

1.2选题意义
电力系统已经与我们的生活息息相关，不可分割。

进行电力系统潮流计算是保证电力系统正常运行的必要计算。

具体来讲电力系统潮流计算具有以下意义：
(1)在电网规划阶段,通过潮流计算,合理规划电源容量及接入点,合理规划网架,选择无功补偿方案,满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。

(2)在编制年运行方式时,在预计负荷增长及新设备投运基础上,选择典型方式进行潮流计算,发现电网中薄弱环节,供调度员日常调度控制参考,并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。

(3)正常检修及特殊运行方式下的潮流计算,用于日运行方式的编制,指导发电厂开机方式,有功、无功调整方案及负荷调整方案,满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。

因此，潮流计算是电力系统中应用最广泛、最基本和最重要的一种电气运算。

第2章 电力系统潮流计算基本原理
2.1 电力网络的数学模型
2.1.1电力网络的基本方程式
电力网络可以用结点方程式或回路方程式表示出来。

在结点方程式中表示网络状态的变量是各节点的电压，在回路方程式中是各回路中的回路电流。

一般若给出网络的支路数b ，结点数n ，则回路方程式数m 为
m=b-n+1
结点方程式数m '为 m '=n-1
因此，回路方程式数比结点方程式数多
d=m-m '=b-2n+2
在一般电力系统中，各结点(母线)和大地间有发电机、负荷 、线路电容等对地支路，还有结点和结点之间也有输电线路和变压器之路，一般b>2n ，用结点方程式表示比用回路方程式表示方程式数目要少。

而且如以下所示，用结点方程式表示容易建立直观的方程式，输电线的连接状态等变化时也很容易变更网络方程式。

基于上述理由，电力系统的基础网络方程式一般都用结点方程式表示。

如图2-1所示,
n V k
V 2V
图2-1
把电力系统的发电机端子和负荷端子（同步调相机等的端子也作为发电机端来处理）抽出来，剩下的输电线路及其它输电系统概括为网络Ｎet 表示 。

在发电机结点和负荷结点上标出任意顺序的记号：1,2,…,I,…,n.在输电系统Net 的内部不包含电源，并且各节点和大地间连接的线路对地电容、电力电容器等都作为负荷来处理。

令端子1,2……,n 的对地电压分别为n v v v ,,,21，由各端子流向输电系统Net
1V
的电流相应为n
I I I ,,,21，则此网络方程组可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++=++++=++++=n
nn k nk n n n n n k k n n k k V Y V Y V Y V Y I V Y V Y V Y V Y I V Y V Y V Y V Y I
2211222221212112121111 (2-1) (2-1)式可以简单写成
∑==n
j j ij i V Y I 1 (I=1,2,…,n) (2-2)
或者写成
I ＝YV (2-3) 其中
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n I I I I 21 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n V V V V 21 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 212222111211 (2-4) (2-4)的Y 称为节点导纳矩阵。

因输电系统Net 只是由无源元件构成的，而导纳矩阵是对称矩阵，于是有以下关系
ji ij Y Y = （2-5）
电压V 和电流Ｉ的关系用式(2-1)～(2-5) 表示时称为节点导纳方程式。

这里电压Ｖ用电流Ｉ的方程式表示时，则(2-3)式化为
V ＝ZI (2-6)
其中
1-=Y Z
(2-6)式称为结点阻抗方程式，当然，阻抗矩阵也是对称矩阵。

2.1.2 自导纳和互导纳的确定方法
电力网络的节点电压方程：
B B B I Y U = (2-7) 式(2-7)B I 为节点注入电流列向量，注入电流有正有负，注入网络的电流为正，流出网络的电流为负。

根据这一规定，电源节点的注入电流为正，负荷节点为负。

既无电源又无负荷的联络节点为零，带有地方负荷的电源节点为二者代数之和。

式(2-7)B U 为节点电压列向量，由于节点电压是对称于参考节点而言的，因
而需先选定参考节点。

在电力系统中一般以地为参考节点。

如整个网络无接地支路，则需要选定某一节点为参考。

设网络中节点数为（不含参考节点），则B I ，B U 均为n*n 列向量。

B Y 为n*n 阶节点导纳矩阵。

节电导纳矩阵的节点电压方程：B B B I Y U =，展开为：
11121311121
2223222313233333123n n n n n n nn n n Y Y Y Y I U Y Y Y Y I U Y Y Y Y I U Y Y Y Y I U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(2-8) B Y 是一个n*n 阶节点导纳矩阵，其阶数就等于网络中除参考节点外的节点数。

节点导纳矩阵的对角元素ii Y (i=1，2，n)成为自导纳。

自导纳数ii Y 值上就等于在i 节点施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点i 注入网络的电流，因此，它可以定义为：
/(0,)ii i i j Y I U U j i ==≠ （2-9）
节点i 的自导纳ii Y 数值上就等于与节点直接连接的所有支路导纳的总和。

节点导纳矩阵的非对角元素ij Y (j=1，2，…，n;i=1，2，…。

，n;j=i)称互导纳，
由此可得互导纳ij Y 数值上就等于在节点i 施加单位电压，其他节点全部接地时，
经节点j 注入网络的电流，因此可定义为：
/(0,)ji ji i j Y I U U j i =≠≠ (2-10)
节点j ，i 之间的互导纳ij Y 数值上就等于连接节点j ，i 支路到导纳的负值。

显然，恒ij Y 等于ji Y 。

互导纳的这些性质决定了节点导纳矩阵是一个对称稀疏矩
阵。

而且，由于每个节点所连接的支路数总有一个限度，随着网络中节点数的增加非零元素相对愈来愈少，节点导纳矩阵的稀疏度，即零元素数与总元素的比值就愈来愈高。

2.1.3 节点导纳矩阵的性质及意义
节点导纳矩阵的性质：
（1）B Y 为对称矩阵，ij Y =ji Y 。

如网络中含有源元件，如移相变压器，则对称性不再成立。

（2）B Y 对无接地支路的节点，其所在行列的元素之和均为零，即 ,,110,0n n
i j j i j i Y
Y ====∑∑。

对于有接地支路的节点，其所在行列的元素之和等于该点接地支路的导纳。

利用这一性质，可以检验所形成节点导纳矩阵的正确性。

（3）B Y 具有强对角性：对角元素的值不小于同一行或同一列中任一元素。

（4）B Y 为稀疏矩阵，因节点i ，j 之间无支路直接相连时ij Y =0，这种情
况在实际电力系统中非常普遍。

矩阵的稀疏性用稀疏度表示，其定义为矩阵中的
零元素与全部元素之比，即 2/S Z n =， 式中Z 为B Y 中的零元素。

S 随节点数
n 的增加而增加：n=50，S 可达92%；n=100，S 可达90%；n=500，S 可达99%，充分利用节点导纳矩阵的稀疏性可节省计算机内存，加快计算速度，这种技巧称为稀疏技术。

节点导纳矩阵的意义：
B Y 是n*n 阶方阵，其对角元素 ii Y (i=1，2，----n)称为自导纳，非对角元素ij Y (i ，j=1，2，n ， i j ≠)称为互导纳。

将节点电压方程B B B I Y U =展开为：
111121122122
212
2n n n n n nn I Y Y Y U I Y Y Y U I Y Y Y Un ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2-11） 可见/(0,,1,2,,,)ii i i j Y I U U i j n i j ===≠ (2-12) 表明，自导纳ii Y 在数值上等于仅在节点i 施加单位电压而其余节点电压均为零（即其余节点全部接地）时，经节点i 注入网络的电流。

其显然等于与节点i 直接相连的所有支路的导纳之和。

同时可见/(0,,1,2,,)ij i j i Y I U U i j n j i ===≠。

表明，互导纳在数值上等于仅在节点j 施加单位电压而其余节点电压均为零时，经节点i 注入网络的电流，其显然等于(ij y -)即ij Y =ij y -。

ij y 为支路的导纳，负号表示该电流流出网络。

如节点ij 之间无支路直接相连，则该电流为0，从而ij Y =0。

注意字母几种不写法的不同意义：粗体黑字表示导纳矩阵，大写字母ij Y 代矩阵B Y 中的第i 行第j 列元素，即节点i 和节点j 之间的互导纳。

小写字母i ，j 支路的导纳等于支路阻抗的倒数数，1/ij ij y Z =。

根据定义直接求取节点导纳矩阵时，注意以下几点：
1) 节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除去参考节点外的节点数。

参考节点一般取大地，编号为零。

2) 节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零非对角元素就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。

3) 节点导纳矩阵的对角元素就等于各该节点所连接导纳的总和。

因此，与没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元素为非对角元素之和的负值。

2.1.4 非标准变比变压器等值电路
变压器型等值电路更便于计算机反复计算,更适宜于复杂网络的潮流计算.双绕组变压器可用阻抗与一个理想变压器串联的电路表示.理想变压器只是一个参数,那就是变比1U /U2K =。

现在变压器阻抗按实际变比归算到低压侧为例,推导出变压器型等值电路。

图2-2双绕组变压器原理图
图2-3变压器阻抗归算到低压侧等值模型
流入和流出理想变压器的功率相等
1112/U I U I K =
12/I I K = (2-13)
式(2-13)中, 1U /U2K =是理想变压器的变比,1U 和 2U 分别为变压器高,低绕组的实际电压.从图2-3直接可得：
122T U K U I Z =+ （2-14）
从而可得: 12T 1T 2122T T U U Y U Y U I Z Z =-=-K K K K
12T 12T 2T T U U Y U I Y U Z Z =-=-K K
（2-15） 式（2-14）中T T Y 1/Z =,又因节点电流方程应具有如下形式:
1111122I Y U +Y U =
2211222-I Y U +Y U = （2-16）
将式（2-14）与（2-15）比较，得：211T Y =Y /K ，12T Y =-Y /K ；21T Y =-Y /K ，22T Y =Y 。

因此可得各支路导纳为：
1212T 2121T 101112T 2202221T Y =-Y Y /Y =-Y Y /1Y Y Y Y 1Y Y Y Y =K ⎫⎪=K ⎪⎪-K ⎬=-=K ⎪⎪K -=-=⎪K ⎭
（2-17） 由此可得用导纳表示的变压器型等值电路：
图2-4变压器型等值电路
2.2 潮流计算的数学模型
2.2.1 潮流计算的节点类型
用一般的电路理论求解网络方程，目的是给出电压源(或电流源)研究网络内的电流(或电压)分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。

然而在电力系统中，给出发电机或负荷连接母线上电压或电流(都是向量)的情况是很少
的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率(P)和母线电压的幅值(U)，给出负荷母线上负荷消耗的有功功率(P)和无功功率(Q)。

主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。

所以，根据电力系统中各节点性质的不同，很自然地把节点分成三类：
（1） PQ 节点
对这一类点，事先给定的是节点功率(P ，Q)，待求的未知量是节点电压向量(U ，θ)，所以叫PQ 节点。

通常变电所母线都是PQ 节点，当某些发电机的输出功率P 。

Q 给定时，也作为PQ 节点。

PQ 节点上的发电机称之为PQ 机(或PQ 给定型发电机)。

在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ 节点。

（2） PU 节点
这类节点给出的参数是该节点的有功功率P 及电压幅值U ，待求量为该节点的无功功率Q 及电压向量的相角θ。

这类节点在运行中往往要有一定可调节的无功电源。

用以维持给定的电压值。

通常选择有一定无功功率储备的发电机母线或者变电所有无功补偿设备的母线做PU 节点处理。

PU 节点上的发电机称为PU 机(或PU 给定型发电机)
（3） 平衡节点
在潮流计算中，这类节点一般只设一个。

对该节点，给定其电压值，并在计算中取该节点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零。

也就是说，对平衡节点给定的运行参数是U 和θ，因此有城为U θ节点，而待求量是该节点的P 。

Q ，整个系统的功率平衡由这一节点承担。

2.2.2 潮流计算基本方程
电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。

潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。

采用导纳矩阵时，节点注入电流和节点电压构成如式(2-7)所示线性方程组可展开如下形式：
1(1,2, )n i ij j j I Y V i n ===∑ (2-18)
由于实际电网中测量的节点注入量一般不是电流而是功率，因此必须将式中的注入电流用节点注入功率来表示。

节点功率与节点电流之间的关系为：
i S =i i i i P jQ U I -= (2-19) 式中i Gi LDi P P P =-，i Gi LDi Q Q Q =-
因此用导纳矩阵时，PQ 节点可以表示为i S /i i i i i P jQ I U U =-==
把这个关系代入式中 ，得
1(1,2,)n i i ij j j i P jQ Y U i n U =-==∑ （2-20）
式（2-20）就是电力系统潮流计算的数学模型-----潮流方程。

它具有如下特点：
1：它是一组代数方程，因而表征的是电力系统的稳定运行特性。

2：它是一组非线性方程，因而只能用迭代方法求其数值解。

3：由于方程中的电压和导纳既可以表为直角坐标，又可表为极坐标，因而潮流方程有多种表达形式---极坐标形式，直角坐标形式和混合坐标形式。

（1）取 i i i U U θ=∠ ，||ij ij ij Y y β=∠，得到潮流方程的极坐标形式：
1n
i i i i ij j i j P jQ U Y U θθ=-=∠∠∑ (2-21)
(2) 取 i i i U e jf =+， ij ij ij Y G jB =+，得到潮流方程的直角坐标形式：
1111()()()()n n i i ij j ij j i ij j ij j j j n n
i i ij j ij j i ij j ij j j j P e G e B f f G f B e Q f G e B f e G f B e ====⎫=-++⎪⎪⎬⎪=--+⎪⎭
∑∑∑∑ (2-22) (3) 取 i i i U U θ=∠ ij ij ij Y G jB =+，得到潮流方程的混合坐标形式：
11(cos sin )(sin cos )n
i i j ij ij ij ij j n
i i j ij ij ij ij j P U U G B Q U U G B θθθθ==⎫=+⎪⎪⎬⎪=-⎪⎭
∑∑ (2-23) 不同坐标形式的潮流方程适用于不同的迭代解法。

例如：利用牛顿---拉夫逊迭代法求解，以直角坐标和混合坐标形式的潮流方程为方便；而P-Q 解耦法是在混合坐标形式的基础上发展而成，故当然采用混合坐标形式。

4: 它是一组n 个复数方程，因而实数方程数为2n 个但方程中共含4n 个变量：P ，Q ，U 和θ，i=1，2，，n ，故必须先指定2n 个变量才能求解。

2.3 潮流计算的约束条件
电力系统运行必须满足一定的技术和经济上的要求。

这些要求构成了潮流问
题中某些变量的约束条件，常用的约束条件如下：
①节点电压应满足小于节点最大额定电压并大于最小额定电压，即：
min max
(1,2,)i i i V V V i n ≤≤= (2-24)
从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近。

PV 节点电压幅值必须按上述条件给定。

因此，这一约束条件对PQ 节点而言。

②节点的有功功率和无功功率应满足小于节点最大额定功率并大于最小额定功率，即：
min max min max
Gi Gi Gi Gi Gi Gi P P P Q Q Q ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
(2-25)
PQ 节点的有功功率和无功功率，以及PV 节点的有功功率，在给定时就必须满足上述条件，因此，对平衡节点的P 和Q 以及PV 节点的Q 应按上述条件进行检验。

③节点之间电压的相位差应满足小于最小额定相角差，即：
max ||||||ij i j i j θθθθθ=-<- (2-26)
为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位不超过一定的数值。

这一约束的主要意义就在于此。

2.4 Matlab 简介 2.4.1 Matlab 概述
MATLAB (Matrix Laboratory)为美国Mathworks 公司1983年首次推出的一套高性能的数值分析和计算软件，其功能不断扩充，版本不断升级。

MATLAB 将矩阵运算、数值分析、图形处理、编程技术结合在一起，为用户提供了一个强有力的科学及工程问题的分析计算和程序设计工具，它还提供了专业水平的符号计算、文字处理、可视化建模仿真和实时控制等功能，是具有全部语言功能和特征的新一代软件开发平台。

2.4.2 matlab GUI 简介
图形用户界面（GUI ）是用户与计算机程序之间的交互方式，是用户与计算机进行信息交流的方式。

计算机在屏幕显示图形和文本，若有扬声器还可产生 声音。

用户通过输入设备，如：键盘、鼠标、跟踪球、绘制板或麦克风，与计算机通讯。

用户界面设定了如何观看和如何感知计算机、操作系统或应用程序。

通常， 多是根据悦目的结构和用户界面功能的有效性来选择计算机或程序
Matlab 作为强大的数学计算软件，同样也提供了图像用户界面设计的功能。

在matlab 中，基本的图形用户界面对象包含3类：用户控件对象（uicontrol ）、下拉式菜单对象（uimenu ）、和快捷菜单对象（uicontexmenu ）。

根据这些对象可以设计出界面友好、操作方便的图形用户界面。

2.4.3 GUI 设计模板及设计窗口
Matlab为GUI设计准本了四个模板，分别是Blank GUI(默认)、GUI with Uicontronl（带控件对象的GUI）、GUI with Axes and Menu（带坐标轴与菜单的GUI）、Modal Question Dialog（带模式问话对话框的GUI模板），GUI 设计模板如图3-1所示。

当用户选择不同模板时，在GUI设计模板界面的右边就会显示与该模板对应的GUI图形。

图2-5 GUI设计模板
选择设计模板后就进如GUI 设计窗口，GUI设计窗口由菜单栏、工具栏、控件工具栏以及图形对象设计区组成。

在GUI设计窗口的工具栏上有位置调整器、菜单编辑器、tab顺序编辑器、属性查看器等可视化设计工具。

控件工具栏包括Push Button、Check Box、Edit Box、Popup Menu、Axes、table等控件对象，他们是构成GUI 的基本元素。

2.4.4 GUI 设计的基本操作
为了添加对象控件，可以从GUI 设计窗口的控件工具栏中选择一个对象，然后以拖曳方式在对象设计区建立该对象，其对象创建方式方便、简单。

在GUI 设计窗口创建对象后，通过双击该对象，就会显示该对象的属性查看器，通过它可以设计该对象的属性值。

在选中对象的前提下，单击鼠标右键，会弹出一个快捷菜单，可以从中某个子菜单进行相应的操作。

在对象设计区右击鼠标，会显示与图形窗口有关的快捷菜单。

第3章 牛顿拉夫逊潮流计算理论分析
3.1 概述
牛顿法收敛性好，迭代次数少，在潮流计算方法中得到广泛的应用，目前为止还没有更好的方法能够完全取代它。

牛顿拉夫逊法（下面简称牛顿法）是数学中求解非线性方程的典型方法，能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。

本章将主要针对牛顿法的理论进行具体介绍。

3.2 牛顿法基本原理
牛顿-拉夫逊法是解非线性方程式的有效方法。

牛顿拉夫逊法潮流计算是目前最为广泛、效果最好的一种潮流计算方法。

这种把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即逐次线性化过程，这就是牛顿法的核心。

我们以如下非线性方程式的求解过程为例来说明：
0)(=x f （3-1）
设)0(x 为该方程式的初值。

而真正解x 在它的近旁：
)0()0(x x x ∆-= （3-2） 式中：)0(x ∆为初始值)0(x 的修正量。

如果求得)0(x ∆，则由式（3-2）就可以得到真正解x 。

为此将式
0)()0()0(=∆-x x f （3-3）
按泰勒级数展开
0!)()()1(!2)()()()()()0()0()()(2)0()0('')0()0(')0()0()0(=∆-+-∆+∆-=∆-n x x f x x f x x f x f x x f n
n n （3-4）
当我们选择的初始值比较好，即)0(x ∆很小时，式（3-4）中包含的2)0()(x ∆和更高阶次项可以略去不计。

因此，式（3-4）可以简化为
0)(')()0()0()0(=∆-x x f x f （3-5）
这是对于变量)0(x ∆的形式方程式，用它可以求出修正量)0(x ∆。

由于式（3-5）是式（3-4）的简化结果，所以由式（3-5）解出)0(x ∆后，还不能得到方程式（3-1）的真正解。

实际上，用)0(x ∆对)0(x 修正后得到的)1(x ：
)0()0()1(x x x ∆-= （3-6） 只是向真正解更逼近一些。

现在如果再以作为初值)1(x ，解式（3-5） 0)(')()1()1()1(=∆-x x f x f 就能得到更趋近真正解的)2(x ：
)1()1()2(x x x ∆-= （3-7）
这样反复下去，就构成了不断求解非线性方程式的逐次线性化过程。

第t 次迭代
时的参数方程为
0)(')()()()(=∆-t t t x x f x f （3-8）
或)()()()('(t t t x x f x f ∆= （3-9）
上式左端可以看成是近似解)(t x 引起的误差，当0)()(→t x f 时，就满足了原方程式（3-1），因而)(t x 就成为该方程的解。

式中)(')(t x f 是函数0)(=x f 在)(t x 点的一次导数，也就是曲线在)(t x 点的斜率，如图（3-1）所示，修正量)(t x ∆则是由)(t x 点的切线与横轴的交点来确定，由图（3-1）可以直观的看出牛顿法的求解过程。

图3-1 牛顿-拉夫逊法几何解释
现在把牛顿法推广到多变量非线性方程组的情况。

设有变量n x x x 21,的非线性联立方程组：
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬
⎫
===0),,(0),,,(0),,,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f
（3-10）
给定各变量初值)
0()
0(2)
0(1,,,n x x x ，假设)
0()
0(2)
0(1,,,n x x x ∆∆∆ 为其修正量，并使
其满足
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫
=∆-∆-∆-=∆-∆-∆-=∆-∆-∆-0),,,(0),,,(0),,,()
0()0()0(2)
0(2
)0(1)0(1)
0()0()0(2)0(2
)0(1)0(12)
0()
0()
0(2)0(2)0(1)0(11n n n n n n n x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f
（3-11）
对以上n 个方程式分别按泰勒级数展开，当忽略)
0()0(2)0(1,,,n x x x ∆∆∆ 所组成的二次项和高次项时，可以得到
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎬⎫=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂-0),,,(0),,,(0),,,()
0(0)0(202)0(101)0()0(2)0(1)
0(02)0(2022)0(1012)0()0(2)0(12)
0(01)0(2021)0(1011)0()0(2
)
0(1
1n n n n n n n n n n n n n
x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f （3-12） 式中：
i
i x f ∂∂为函数),,,(21n i x x x f 对自变量j x 的偏导数在点
（)
0()
0(2)
0(1,,,n x x x ∆∆∆ ）处的值。

把上式写成矩阵形式：
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)0()0(2
)
0(100201
02022012
01021011)
0()0(2)0(1)0()0(2)0(12)
0()0(2)0(11),,,(),,,(),,,(n n n n n n n n n n n x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f
（3-13） 这是变量)
0()
0(2)
0(1,,,n x x x ∆∆∆ 的线性方程组，称为牛顿法的修正方程，通过它可以解出
)
0()
0(2)
0(1,,,n x x x ∆∆∆ ，并可以进一步求得
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫∆-=∆-=∆-=)0()0()1()
0(2)0(2)1(2)0(1)0(1)1(1n n n x x x x x x x x x （3-14）
式中)
1()1(2)1(1,,,n
x x x 向真正解逼近了一步，如果再以它们作为初值重复解式
（3-13）修正方程式，等到更接近真解的)
2()
2(2)
2(1,,,n x x x ，如此迭代下去，并按式（3-14）进行修正，直到满足收敛要求为止并停止迭代计算，这就构成了牛顿法的迭代过程。

一般第t 次迭代式的修正方程为
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()(2
)
(121
22212
12111)
()(2)(1)()(2)(12)
()(2)(11),,,(),,,(),,,(t n t t t n n t n t n t n t t t n t t t n t t n t n t t t n t t x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f
（3-15） 上式可以简写为
)()()()(t t t X J X F ∆= (3-16)
其中
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),,,(),,,(),,,()()
()(2)(1)()(2)(12)
()(2)(11)(t n t t n t n
t t t n t t t x x x f x x x f x x x f X F ，⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=t n n t n t n t n t t
t n t t
t x f x f x f x f x f x f x f x f x f J
212221212111
)( 其中的)(t J 为第t 次迭代时的雅克比矩阵； 同理可以得到第t 次迭代时的修正量：
⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=∆)()(2)(1)
(t n t t t x x x X （3-17） 同样，也可以写出类似（3-14）的算式
)()()1(t t t X X X ∆-=+ （3-18）
这样反复交替的解式（3-16）及式（3-18）就可以使)1(+t X 逐步趋近方程式的真正解。

当满足人为收敛条件时，即
{}1)
()(2)(1,,,(max ε<t n t t i x x x f 或{}
2)(max ε<∆t i x （3-19）
迭代结束，式中21,εε为预先给定的小正数。

3.3 牛顿法潮流计算方程
3.3.1节点功率方程
电力系统的负荷习惯用功率表示，对于有n 个节点的电力系统，系统中各节
点注入电流与注入功率以标幺值表示的关系为
*
*
)(i
i i i
U jQ P U S I +=
=
**
i=1，2，……，n （3-20）
式中*表示其共轭复数。

将此关系式代入节点电压方程的通式，可得到以节点注
入功率表示的节点电压方程:
∑=*
*
=+n
j j
ij i
i i U Y U jQ P 1
)( (3-21) 上述的方程式，通常称为功率方程。

根据方程中的节点电压向量表示的不同，
可以得到不同形式的功率方程。

若节点电压向量以直角坐标表示，即以复数平面上实轴与虚轴上的投影表示可写成
i i i jf e U += （3-22）
其共轭值为
i i i jf e U -=*
（3-23） 导纳表示为
ij ij ij jB G Y += （3-24） 把这两关系式代回式（3-21）的功率方程中，展开后再将功率方程的实部和虚部
分别写成有功、无功功率分离的节点方功率方程：
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
+--=++-=∑∑∑∑====n j n
j j ij j ij i i ij j ij i i n j n
j j ij j ij i i ij j ij i i e B f G e f B e G f Q e B f G f f B e G e P 1111)()()()( （3-25） 式中：i=1，2，……，n 为各节点的编号。

若节点电压以极坐标表示，则i j i
i e U U δ= 或写成
i
i i i i jU U U δδsin cos += （3-26）
将其同导纳的复数表达式一起代入式（3-21）的功率方程，进整理可以得到
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
-=+=∑∑==)cos sin ()sin cos (11n
j ij ij ij ij j i i n
j ij ij ij ij j i i B G U U Q B G U U P δδδδ （3-27） 式中：j i ij δδδ-=——i 与j 节点电压的相角差。

由式（3-25）和（3-27）给出的功率方程表示方法避免了复数运算，因此，在潮
流计算中普遍采用。

3.3.2 修正方程
采用牛顿法计算潮流时，需要对功率方程进行修改。

下面将根据在不同坐标内的修改进行讨论：
（1）在直角坐标系内时，由PQ 节点功率方程（3-25）可知：节点i 的注入功率是各点电压的函数，设节点的电压已知，代入式（3-25），可以求出节点i 的有功及无功功率i i Q P ,，它们与给定的PQ 节点的注入功率is is Q P ,的差值应满足以下方程
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=++--=-=∆=+---=-=∆∑∑∑∑====0)()(0)()(1111n j n
j j ij j ij i i ij j ij i is i is i n j n
j j ij j ij i i ij j ij i is i is i e B f G e f B e G f Q Q Q Q e B f G f f B e G e P P P P （3-28） 对于PV 节点，已知节点的注入有功功率及节点电压大小，记作is is U P ,，其节点的有功功率应满方程：
)
1,.......,2,1(0)(0)()(2
22211-++=⎪⎭⎪
⎬
⎫
=+-=∆=+---=-=∆∑∑==n m m i f e U U e B f G f f B e G e P P P P i i is i n j n
j j ij j ij i i ij j ij i is i is i （3-29） 对于平衡节点，因为其电压给定，故不需要迭代求解。

通过以上分析可见，式（3-28）和式（3-29）共2（n-1）个方程，待求量112211,,,,,,--n n f e f e f e 共2（n-1）个。

将上述2（n-1）个方程按泰勒级数展开，并略去修正量的高次方项后得到修正方程如下：
U J W ∆-=∆ （3-30）
[]
T
n n m m m m U P U P Q P Q P W 2
1
121111--++∆∆∆∆∆∆∆∆=∆ []
T
n n m m m m f e f e f e f e U 111111--++∆∆∆∆∆∆∆∆=∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂=
----+-+---------+-+------+-+++++++++-+-+++++++++--++--++--++--++12
11211211212112112112111
11111111111112
11211211212121121121
1111111111111
111111*********
1111111111111
1
111111111111n n n n m n m n m n m n n n n n n n m n m n m n m n n n n m n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m m m m n m
n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m m m m n n m m m m n n m m m m f U e U f U e U f U e U f U e U f P e P f P e P f P e P f P e P f U e U f U e U f U e U f U e U f P e P f P e P f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f Q e Q f Q e Q f P e P f P e P f P e P f P e P f Q e Q f Q e Q f Q e Q f Q e Q f P e P f P e P f P e P f P e P J
其中雅克比矩阵的各元素可以对式（3-28）和式（3-29）求偏导数获得。

对于非对角元素（j i ≠）有
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎪⎬⎫=∂∆∂=∂∆∂-=∂∆∂=∂∆∂+-=∂∆∂-=∂∆∂0
)(2
2j i j i i ij i ij j
i j i i ij i ij j i
j i f U e U f G e B e Q f P f B e G f Q e P （3-31） 对于对角元素（)j i =有
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎬⎫
-=∂∆∂-=∂∆∂++--=∂∆∂-++=∂∆∂-+--=∂∆∂----=∂∆∂∑∑∑∑====i i i
i
i
i n
j i ii i ii j ij j ij i i
n j i ii i ii j ij j ij i i
n j i ii i ii j ij j ij i i
n j i ii i ii j ij j ij i i f f U e e U f B e G f B e G f Q f G e B e B f G e Q e B f G e B f G f P f B e G f B e G e P 22)()()()(2
2
1
111
（3-32）
由上述表达式可以看到，雅克比矩阵具有以下特点：
1） 各元素是各节点电压的函数，迭代过程中每迭代一次各节点电压都要变化，
因而各元素每次也变化； 2） 雅克比矩阵不具有对称性；
3） 互导纳0=ij Y ，与之对应的非对角元素亦为零，此外因非对角元素
02
2=∂∆∂=∂∆∂j
i j i f U e U ，故雅克比矩阵是稀疏矩。

（1） 当在极坐标系内时，由功率方程（3-27）可知节点i 的注入功率是各节点电压幅值和相角的函数。

代入式（3-27）可以求出节点i 的有功功率和无功功率，它们与给定的PQ 节点的注入功率is is Q P ,的差值满足下面方程：
⎪⎪
⎭⎪
⎪
⎬⎫
=--=∆=+-=∆∑∑==0)cos sin (0)sin cos (11n
j ij ij ij ij j i i i n
j ij ij ij ij j i i i B G U U Q Q B G U U P P δδδδ （3-33） 式中：j i ij δδδ-=——i 与j 节点电压的相角差。

在有n 个节点的系统中，假定第m ~1号节点为PQ 节点，第m+1~n-1号节点
为PV 节点，第n 号节点为平衡节点。

n V 和n δ是给定的，PV 节点的电压幅值11~-+n m V V 也是给定的，因此，只剩下n-1个节点的电压相角121,,,-n δδδ 和m 个节点的电压幅值m V V V ,,21是未知量。

由（3-33）可知一共包含了n-1+m 方程式，正好同未知量的数目相等，而直角坐标形式的方程少了n-1-m 个。

由方程（3-33）可以写出修正方程
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣
⎡H
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆-V V L K N Q P D 12δ
(3-34) 式中
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎬⎫
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=∆--m D m n m n V V V V V V V V Q Q Q Q P P P P 2121121211212
;;;δδδδ （3-35）
其中：H 是)1()1(-⨯-n n 阶方阵，其元素为j
i
ij P δ∂∆∂=H ；N 是m n ⨯-)1(阶矩阵，其元素为i i j
ij V P V N ∂∆∂=；K 是)1(-⨯n m 阶矩阵，其元素为j
i
ij Q K δ∂∆∂=；L 是m m ⨯。