高等数学课后习题答案--第十章

⑸ sec 2 x tan ydx + sec 2 y tan xdy = 0 ; ⑺
⑵ ( y + 1) 2
dy + x3 = 0 ; dx
⑷ sin x cos ydx + sin y cos xdy = 0 ; ⑹
dy = 2 x+ y Biblioteka Baidu dx
dy 1− y2 = ; dx 1− x2
⑻ (e x + y − e x )dx + (e x + y + e y )dy = 0 ; ⑽ ( x + 1)
（3） y = x + cx ；
3 3 3 2
（4） ln
y c+x = ; x c
2
⎛ y⎞ （5） ⎜ ⎟ = (ln x + c) 2 − 1 . ⎝x⎠
12. 求下列齐次方程的解： dy x y = + ， y (1) = 2 ; ⑴ dx y x
⑵ ( x 2 + 2 xy − y 2 )dx + ( y 2 + 2 xy − x 2 )dy = 0 ， y (1) = 1 ; ⑶ ( x 2 + y 2 )dx + ( xy − 2 x 2 )dy = 0 ， y (1) = 0 。 【答案】 （1） y ( x) =
6. 将 A 物质转化为 B 物质的化学反应速度与 B 物质的浓度成反比，设反应开始时 有 B 物质 20%，半小时后有 B 物质 25%，求 B 物质的浓度的变化规律。 9 1 【答案】. u 2 = t+ . 200 25 7. 核反应堆中， t 时刻中子的增加速度与当时的数量 N ( t ) 成正比。设 N ( 0) = N 0 ， 证明 t t ⎛ N (t ) ⎞ 1 ⎛ N (t ) ⎞ 2 2 ⎟ =⎜ 1 ⎟ 。 ⎜ ⎜ N ⎟ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ kti 【解】方程的解是 N (t i ) = N 0 e , i = 1,2 , 消去 k 即得.
1 1 2 x 4 + 14 ； （2） y ( x) = + 1 + 4x − 4x 2 ； 2x 2 2 3π 1 2 y 2 − 2 xy + x 2 3 2y − x （3） 通解为 ln x + ln − arctan + c = 0 ，c = − ； 2 8 x 4 2 x
13. 将下列方程化为齐次方程后求出通解：
(
)
T=
R2 r2
2H 2 × 200 = 10000 ≈ 6389 (秒) ≈ 1 小时 46 分 29 秒 g 980
11. 求下列齐次方程的通解： dy ⑴ x = y − x2 + y2 ; dx
⑶ ( x 3 + y 3 )dx − 2 xy 2 dy = 0 ; ⑸
2 2 2 dy y + x x + y = 。 dx xy
200
10. 半径为 1 米，高为 2 米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为 1 厘米的塞子后水开始流出，试导出水面高度 h 随时间变化的规律，并求水完全流 空所需的时间（水面比出水口高 h 时，出水速度 v = 2 gh 。） dh r 2 2 gh ， h(0) = H = 200cm ， R = 100cm, r = 1cm ，解得 = 【解】. dt R 2 R2 2 2h R 2 代入数据和初值得 t = H − h , h = 0, 则 t+c =− , 2 r2 g g r
⑵ ( x 2 + y 2 )dx + ( xy − 2 x 2 )dy = 0 ; ⑷ x
y dy = y ln ; x dx
【答案】 （1） y + x 2 + y 2 = c
；
1 2 y 2 − 2 xy + x 2 3 2y − x − arctan = c； （2） ln x + ln 2 x 4 2 x
《高等数学》习题参考资料 第四篇 常微分方程
第十章 常微分方程 §1 常微分方程的概念 习 题 1． 指出下列各题中的函数（或隐函数）是否为所给微分方程的解： （1） xy ′ = 2 y ， y = 5 x ； （2） y ′′ + 4 y = 0 ， y = 6 sin 2 x − 2 cos 2 x ； （3） y ′′ − 2 y ′ + y = 0 ， y = 3xe x + x ； x （4） (2 xy 2 − y )dx + ( y 2 + x + y )dy = 0 ， x 2 + y − + ln y = 0 ； y 【解】 (1) 否; (2) 是; (3) 是; (4) 是. 验证下列函数是所给微分方程的特解： ⎧ y ′ − 2 xy = x 3 2 1 （1） ⎨ ， y = ex − ； 2 2 ⎩ y (0) = 1 ⎧ 7 5 ⎪ y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 5 （2） ⎨ ， y = −5e x + e 2 x + 。 2 2 ⎪ ⎩ y x =0 = 1, y ′ x =0 = 2 【解】 (1) 是 ; (2) 是. 2．
⑼ cos ydx + (1 + e − x ) sin ydy = 0 ； 【答案】 (1) ln y = −
dy + 1 = e − y sin x 。 dx
1 ( y + 1) 3 x 4 ; (2) + = c ; (3) y (c − a ln(1 + x + a) = 1 ; ln x + c 3 4 (4) cos x cos y = c ; (5) tan x tan y = c ; (6) 2 x + 2 − y = c ; (7) arctan x − arctan y = c , y = ±1 ； （8） (e x + 1)(e y − 1) = c ， y = 0 ； sin x + c − cos x 。 （9） sec y (1 + e x ) = c ； （10） e y = 1+ x
201
⑴ ( x + 2 y + 1)dx + (2 x − y − 3)dy = 0 ; ⑵ (3x − 2 y + 1)dx + ( x − 4 y − 3)dy = 0 ; ⑶ (2 x + 2 y + 1)dx + ( x + y − 1)dy = 0 。
2c( x − 1) − 5c 2 ( x − 1) 2 + 1 ； 【答案】 （1） y = −1 + c
4. 求下列微分方程的解： dy ⑴ = e 2 x + y ， y (0) = 0 ; dx
⑵
xdy + 2 ydx = 0 ; y (1) = 1
⑶ cos ydx + (1 + e − x ) sin ydy = 0 ， y (0) = ⑷ sin x cos ydx + sin y cos xdy = 0 ， y (0) =
【解】 y ' = 3 x − 1 .
(1) y =
3 3 3 5 x − x + c ; (2) y = x 3 − x + . 4 4 4
4
4
198
3. 求下列微分方程的通解： dy ⑴ x = y ln 2 y ; dx dy dy dy = x + a( y 2 + ) ; ⑶ dx dx dx
x2 1 1 1 以 2 ， − − 3 xy = c ； （3）乘以 2 再积分, ln( x 2 + y 2 ) = 2 x + c ； 2 2 y y x +y
8. 一个 1000 米 3 的大厅中的空气内含有 a %的废气，现以 1 米 3／分钟注入新鲜空 气，混合后的空气又以同样的速率排出，求 t 时刻空气内含有的废气浓度，并求使 废气浓度减少一半所需的时间。 【解】设大厅中的空气内含有废气量 x(t ) , 浓度 ρ (t ) , 于是在 t 到 t + dt 时刻内废气的 x(t ) , 于是 减少量 − dx , 它等于排出的废气量 ρ (t )dt × 1 = ρ (t )dt . 而 ρ (t ) = V t − x(t )dt dx dt − dx = , =− , 解得 x(t ) = Ce 1000 , x(0) = 1000a , C = 1000a , V x(t ) 1000 x(t ) = 1000ae
− t 1000
, 500a = 1000ae
−
T 1000
, T = 1000 ln 2 (分).
9. 设 [t , t + dt ] 中的人口增长量与 pmax − p( t ) 成正比，试导出相应的人口模型，画出 人口变化情况的草图并与 Malthus 和 Verhulst 人口模型加以比较。 p M − p0 dp 【解】 = k ( p M − p) ， p = p M − . dt ( p M − p 0 )kt + 1
π π
4 4
;
。
199
【答案】 （1） e 2 x − 3 + 2e − y = 0 ； （2） x 2 y = 1 ； （3）
(1 + e x ) sec y = 2 2 ； （4） cos x cos y =
2 . 2
5. 镭的衰变速度与它的现存量成正比，设 t 0 时有镭 Q0 克，经 1600 年它的量减少了 一半，求镭的衰变规律。 ln 2 − ( t −t0 ) dQ ln 2 1600 = − kQ ， k = 【解】 5． ， Q(t ) = Q0 e . dt 1600
§2
一阶常微分方程 习 题
1. 曲线 y = f ( x ) 经过点 (e,−1) ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求 该曲线的方程。 1 【答案】 1. y ' = , y (e) = −1 . y 2. 已知曲线 y = f ( x ) 在任意一点 x 处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少 1， ⑴ 求出该曲线方程的所有可能的形式，并在直角坐标系中画出示意图。 ⑵ 若已知该曲线经过 (11 , ) 点，求该曲线的方程.
7 1 59
（2） (4 y − 3x + 1) 20 (4 y + x + 5) 8 = c( x + 1) 40 ； （3） 3 ln( x + y + 2) − 2 x − y = c .
14. 上凸曲线 y = f ( x ) 经过点 (0,0) 和 (1,1) ，且对于曲线上任一点 P ( x, y ) (0 < x < 1) ，曲线上连接 (0,0) 和 P 的弧与连接 (0,0) 和 P 的线段所围面积为 x 2 ，求该曲线的方程。 【解】 y = − x 3 + 2 x ； 15. 判断下列方程中是否全微分方程，若是全微分方程则求出其通解： ⑴ (5 x 4 + 3xy 2 − y 3 )dx + (3 x 2 y − 3xy 2 + y 2 )dy = 0 ; ⑵ (4 x 2 + 2 xy + y 2 )dx + ( x + y ) 2 dy = 0 ; ⑶ e y dx + ( x e y − 2 y )dy = 0 ; dy ⑷ ( x cos y + cos x) + (sin y − y sin x) = 0 ; dx 2 2 ⑸ (3x + 6 xy )dx + (6 x 2 y + 4 y 2 )dy = 0 ; ⑹ y ( x − 2 y )dx − x 2 dy = 0 。 3 1 【答案】 (1) x 5 + x 2 y 2 − xy 3 + y 3 = c ; (2) 不是全微分方程; 2 3 4 (3) xe y − y 2 = c ; (4) x sin y + y cos x = c ; (5) x 3 + 3x 2 y 2 + y 3 = c ; 3 (6) 不是全微分方程. 16. 用观察法判断下列方程的积分因子，再求出通解： ⑴ ydx − xdy = 0 ; ⑵ y 2 ( x − 3 y )dx + (1 − 3xy 2 )dy = 0 ; ⑶ xdx + ydy = ( x 2 + y 2 )dx ; ⑷ ( x − y 2 )dx + 2 xydy = 0 ; ⑸ (2 y − 3x 2 y )dx − xdy = 0 ; ⑹ y (1 + xy )dx + x(1 − xy )dy = 0 。 1 x 【答案】 （1）积分因子 2 , = c ； （2） y 2 xdx + dy − 3( ydx + xdy ) y 2 = 0 ，乘 y y