高中数学:求函数值域的10种常见方法
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求函数的值域(常用)
一、用非负数的性质
例1:求下列函数的值域:(1)y=-3x 2
+2;(2)
≥-1).
练1:函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________.
练2:
求函数y =
练3:求函数的值域。
练4:(1)232+-=x x y (2)]8,5[,452∈+-=x x x y
(3)2234x x y -+-=
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=
二、分离常数法
对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域.
例1:求下列函数的值域:(1)y=21
x x ++(2)y=2211x x -+.
练1:求下列函数的值域:(1)13222++=x x y (2)3
214222++++=x x x x y
三、利用函数单调性
已知函数在某区间上具有单调性,那么利用单调性求值域是一种简单的方法. 例1:求函数y=3x+x 3
的值域.
练1:求函数122+-
=x
x y ()0>x 的值域.
练2:求函数x x y 213--=的值域.
四、利用判别式
特殊地,对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x),可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值. 例1:求函数y =
234
x x +的最值.
练1:利用判别式方法求函数222231
x x y x x -+=-+的值域.
五、利用换元法求值域
有时直接求函数值域有困难,我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑. 例1:求函数
的值域。
练1:求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.
1x x y -+=
练2:设02x ≤≤,求函数1()432
1x x f x +=-+的值域.
练3:求函数的值域.
练4:求函数x x y 213--=的值域.
六:判别式法
例1:求函数的值域。
七、利用数形结合
数形结合是解数学问题的重要思想方法之一,求函数值域时其运用也不例外. 例1:若62--=x x y ,求y 的最大、最小值.
练1:求函数342
+-=x x y 的值域.
22
x 1x x 1y +++=
练2:求函数186122+-++=
x x x y 的值域.
练3:若(求x-y 的最大、最小值.
八、利用已知函数的有界性. 例1:求函数y=
25243
x x -+的值域.
练1:求函数的值域。
练2:(1)]
1,3[,241
5--∈+-=x x x y (2)①1212+-=x x y ②2sin 1sin +-=x x y
八、利用反函数
例1:求函数y=值域。
1e 1
e y x x +-=6x 54
x 3++
练1:求函数y=2x x
e e -+(x >0)的值域.
考点吗、求值域综合性题目. 例1:求下列函数的值域:
⑴34x
y x +=- ⑵25
243y x x =-+ ⑶y x =-.
练1:求下列函数的值域:
(1)242(14)y x x x =-+-≤≤;(2)2sin 2sin x
y x -=+;(3)
22436x x y x x ++=+-.
练2:求下列函数的值域⑴1y x x
=+;⑵y x =+.
练3:求下列函数的值域:
(1)4y =; (2)y x =+
(3)221223
x x y x x -+=-+; (4)y =;
练4:求下列函数的值域:
(1)232y x x =-+;(2)y =(3)312
x y x +=-;
(4)y x =+(5)y x =+(6)|1||4|y x x =-++;
(7)22221x x y x x -+=++;(8)2211()212x x y x x -+=>-;(9)1sin 2cos x y x -=-。
巩固练习
1、求函数])8,1[(4log 2log 22
∈⋅=x x x y 的值域.
2、已知[]0,2x ∈,求函数12()4
325x x f x -=-⋅+的值域.
2、函数342-+-=x x e
y 的值域.
4、求函数4
21,[3,2]x x y x --=-+∈-的值域.
5、①1-+
=x x y ②12--=x x y ③x x y 212--=
6、①]2,3[,12141-∈+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x x ②5log 1 )27)(log 9(log 333≤≤=x x x y ,其中 ③1
22+=x x y ④122+--=x x x x y
6、求值域:
(1)x x y 212--= (2)x x y 5.0log 4+-=
(3)x x y 4+
= (4)]9,2[ ,14∈-+=x x x y。