椭圆第二定义教案

椭圆第二定义教案

周银伟

教学目标：1、以教材中（例3）人造地球卫星的飞行轨迹中近地点和远地点出发，自然地引

出问题，通过对问题的数形的运算与迁移，引导学生得出椭圆的第二定义，并探究第一定义与第二定义两者等价性；

2、借助几何画板演示和代数推导两种手段，通过对定点,定直线,定比三要素的变化得到的轨迹是否是椭圆进行猜想与验证，培养学生实事求是的科学态度和严谨踏实的学风。明确为什么定点不能在定直线上,比值大于0小于1，定点为什么是椭圆焦点，比值为什么就是离心率。

3、通过特殊例题的推导，让学生理解利用第二定义得到的椭圆方程不一定是标准方程。引发对建系的思考和例4这一建系方法必然性的定论。

4、通过教师对椭圆方程与函数的关系、点点距离与点线距离几何形态的转化，培养数形结合的思想，猜想与验证的思想。以及从何处探索及研究问题。

教学过程：

一、 提出问题

如图椭圆方程为 122

22=+b

y a x ,说出椭圆上的点P(x,y)横纵坐标

的取值范围,顶点坐标,焦点坐标离心率和椭圆上距右焦点最近与

最远的点。（由学生回答，从而既联系了教材例3，又自然的引出了问题）

问题一：为什么A 1,A 2两点距离焦点最近和最远? 具体以

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2=+y x 为例。（学生思考） 教师引导：|PF 2|=2

2)3(y x +-（消去y ，根号内为关于x 的一元二次函数，在x 有范围限

制下的最值）

板书如下：|PF 2|=|55

3

|256259)251(16)3()3(222

2

2

-=+-=-+-=+-x x x x x y x

（从根号下的二次函数的最值，进一步转化为)55(|,3

25|53≤≤--=x x y 的绝对值函数。 进而又转化为)55(,5

3

5≤≤--

=x x y 一次减函数。在代数运算上也有递进关系) 板书一般性结论的推导：

|PF 2|=||||2)1()()(22

22

2222

2

2

2

c a x e a ex a cx x a c a x b c x y c x -=-=+-=-+-=+-

（通过从特殊到一般的思维过程，让学生明确点点距离的代数处理方法，归纳到二次函数、绝对值函数、一次函数的转化进程）

结论一：已知椭圆方程为 122

22=+b y a x ,则椭圆上任意一点P (x ,y )到右焦点的距离为a-ex,

问题2：已知椭圆方程为 122

22=+b

y a x ,则椭圆上任意一点P (x ,y )到左焦点的距离为 。

（学生思考回答：a+ex ，可以从第一定义中得到,也可从代换中得到）

教师问：用形的观点看，代数式22)3(y x +-、

1

2

+-x y 的几何意义是什么？（自然地引导出点点距离，斜率）

教师又问：|325|-

x 的几何意义是什么？（引导学生看成点P (x ,y )到定直线3

25=x 的距离。抽象为||2

c

a x -的几何意义是点线距离,引导学生得出下列结论） 结论二：方程为 12222=+

b y a x 的椭圆,具有如下性质: ||)(22

2c a x a c y c x -

=+-，它的几何意义是动点到定点．．．．．)0,(c F 的距离与它到定直线．．．．．．．．．c a x 2

=的距离的之比为常数．．．．．．．．．

。 问题3：反过来,具有这种性质的点P 的轨迹是椭圆吗?（判断可逆性，是否是充要条件）

学生阅读教材P 100例4，发现其具有可逆性,并总结得出下列概念：

对于椭圆 12222=+b

y a x ，相应于焦点F （c,0）的准线方程是 c a x 2=

根据椭圆的对称性，相应于焦点F(-c,0)的准线方程为c

a x 2

-=,(用几何画析动画演示,加深理

解)

二、探究验证：

针对教材中“当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

)10(<<=

e a

c

e 时，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。”进行探究验证。

问题1、改变例4中的三要素:定点,定直线,定比?轨迹还会是椭圆吗? 问题2、为什么说比是离心率？定点是焦点？

(如何验证：联想三角函数)sin(ϕ+=wx A y 中A ，ϕ,w 三个变量对图像的影响时的教材处理，自然地引导学生先确定两个为定值,第三个为变量) 1、定点F(2,0)，定直线为3=x ,比值为λ进行论证。

板书：

λ=-+-|

3|)2(2

2x y x ，化简为0)94()46()1(22222=-+-++-λλλx y x 讨论：,1≥λ方程不是椭圆方程（用几何画板画图对照，使学生从代数与几何两个方面理解轨迹不是椭圆）

当2

1=λ时，方程化简为13

194)35(22

=+-y x ，从而验证定点为焦点，比λ确实为离心率。

（再次用几何画板画图对照，使学生从代数与几何两个方面理解定点为焦点。方程不是标准方程，从而引导学生对如何建系的思考和例4这一建系方法必然性的定论。）

2、定点刚好在定直线上问题的验证与讨论。（分：λ<1,无轨迹；λ=1，为过点与直线垂直的垂线；λ>1时，为两条过点的直线，用几何画板画图对照） （投影）

椭圆定义2: (总结性定论)平面内到一定点距离与到一定直线的距离之比为常数的动点轨迹为

椭圆。其中,定点不在定直线上,常数大于0小于1.定点是椭圆焦点，定直线叫做椭圆准线。比为离心率。

三、课堂练习：

已知椭圆

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2=+y x 上一点P 到左焦点的距离为3，求点P 到椭圆右准线的距离。 四、改小结为探索：：

问：结合前面最近最远点的例子，第一定义与第二定义是否存在一种必然联系?(学生思考)

(目的：第一定义与第二定义本质是在同一个方程下两种几何特征在此时的等价关系，避免学生孤立的看待第一定义与第二定义。) 简述如下：从第一定义推导第二定义

a y c x y c x 2)()(2

2

2

2

=+-+++⇒12222=+b

y a x ⇒||)(22

2c a x a c y c x -=+-

用第二定义推导第一定义：