2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与四边形的综合问题

2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与四边形的综合问题

例题：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M 于点E，垂足为点M，且点D平分．

（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形AMCD是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；

（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；

（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，

则MA=MB=MC=ME=2，

又∵CO⊥MB，

∴MO=BO=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），

抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），

设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）

把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，

解得：a=，

故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；

（2）证明：连接DM，

∵△MBC为等边三角形，

∴∠CMB=60°，

∴∠AMC=120°，

∵点D平分弧AC，

∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，

∵MD=MC=MA，

∴△MCD，△MDA是等边三角形，

∴DC=CM=MA=AD，

∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．

理由如下：

设点P的坐标为（m，n）

∵S△ABP=AB|n|，AB=4

∴×4×|n|=5，

即2|n|=5，

解得：n=±，

当时，（m+1）2﹣2=，

解此方程得：m1=2，m2=﹣4

即点P的坐标为（2，），（﹣4，），

当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，

此方程无解，

故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．

同步练习

1.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．