建筑力学弯矩图、剪力图课件
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BC：
QCD QDC 5
QBC 20 q 2 10 QCB＝5-P=-10
剪力图如图所示。 在已荷点和所有反应力的情况下，可以 取分段分离体求剪力控制截面值，但如 果 M 图已知，不求约束反力也可确定分 段杆端的剪力控制截面值。
D 5kN 10kN + C 10kN B
+
A
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P L/2 M P/2 Q L/2 q L M PL/4 + P/2 Q qL/2 + + qL2/8 qL/2
+
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P m b L M + Pb/L Q + Pa/L Pab/4 Q M/2 M + m/L M/2 + -
a
L/2
L/2
（四）叠加法作弯矩图与剪力图
10kNm D
C B 10kNm M图 A
轴力为零不考虑。 杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端 作用弯矩受力情况完全相同，即对应。 所以任意分段均可同叠加法作M图。
（3）画剪力图：取控制截面如图。 计算剪力：取分离体如图。 AB：QAB=0（自由端） QBA q 2 10 CD： QDC 5
l
或由
0 A
M0 BA来自01 0 QBA ( M A M B m A l
M , M ，分别为荷载对杆端 A ， B 之矩的代数和。
MA
P
MB
QAB
QBA
例6－10 外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的 内力图。本例同例6-10反向
P
D 2 1 C 1 2 B q 2 2 A
工程力学（上）
直播课堂6
姚志刚
第六章静定结构的内力计算
一、本章主要知识点 1．截面内力及符号 2．内力图 3．荷载和剪力、弯矩的对应图形关系
4．叠加法作弯矩图、剪力图 5．分段叠加法作弯矩图 6．静定梁作内力图 7．刚架作内力图 8．三铰拱的计算 9．桁架的计算
二、本篇讲授的内容
（一）截面内力及符号 物体因受外力作用，在物体各部分之间 所产生的相互作用力称为物体的内力。 对内力的正、负号作如下规定： 轴力符号：当截面上的轴力使分离 体受拉时为正；反之为负。
M图 10kN
10kN
+
几个标准弯矩图
简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有中点的P 悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有端点的P 简支梁作用有非中点的P 简支梁作用有中点的m
简支梁作用有均布荷载q
q L M qL/2 + P/2 + qL2/8 qL/2
Q
（1）简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有均布荷载 q 的弯矩图为一抛 物线，其中点弯矩为。 （ 2 ） 简 支 梁 作 用 有 中 点 的 P 简支梁作用有中点的 P的弯矩图为一折 线，在集中力P作处产生折点，其值为。
当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和 内力可以这样计算：先分别计算出每项 荷载单独作用时的反力和内力，然后把 这些计算结果代数相加，即得到几项荷 载共同作用时的反力和内力。
P
P
Q +
PL
M
q
qL
1/2 qL2
+
P q + L P+qL PL+1/2qL2
1 2 qL 8
上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中 力。 梁的反力和内力都是由两部分组成。 各式中第一项与集中力P有关，是由集中 力P单独作用在梁上所引起的反力和内力； 各式中第二项与均布荷载q有关，是由均 布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和 内力。两种情况的叠加，即为二项荷载 共同作用的结果。这种方法即为叠加法。
＋
－
＋
－
教材例6－3（P73） 一外伸梁如图所示。 。求截面1－1 及截面2－2的剪力和弯矩。
P A 2 1 1 2 B q 2 2
P 10 N , q 4 N / m
解： 1．求梁的支座反力。 由整体平衡可求： X A 0, YA 3N , YB 15N 2．求1－1截面上的内力 杆上外力均为已知，可求任意截面的内 力。如截面 1 － 1 ，取左段为分离体，如 图所示。 P
简支梁作用有中点的P
P L/2 M P/2 Q L/2
+ PL/4 + -
简支梁作用有中点的m
m
L/2 M/2 M + m/L Q
L/2 M/2 +
简支梁作用有非中点的P
P a L
b
M
+ Pb/L Q + Pa/L Pab/4
悬臂梁作用有端点的P
P P Q + PL M
悬臂梁作用有均布荷载q
q
qL/2 M qL/2 +
L
qL/2 + qL2/8 qL/2
Q
解： （1）求梁的支座反力 由整体平衡可求： （2）取距A端X处的C截面，标 出 M CA , N CA , QCA 。解得：
M ( x) ql qx 2 x 2 2
A x Q(x) C M(x)
N ( x) 0
q2 M BA 10(kN m) 杆上侧受拉。 2
2
M CD 5 2 10(kN m)
确定A、B、C、D四点M值： BC，CD间无均布荷载q，直接联直线； AB 间 有 均 布 荷 载 q, 确 定 中 点 值 为 2.5KN/m,可由三点确定抛物线。
（2）分段画弯矩图 控制截面内无荷载――连直线； 控制截面内有荷载（q或中点P）――连 虚线，再叠加相应的弯矩图。
剪力图可以由弯矩图取得： 任取杆段 AB ，荷载及杆端弯矩已知， 如图所示。 则： M B 0 ， 1 0 Q AB ( M A M B mB ， )
M1 Q1 YA 2m 1m
由 X 0, N1 0 由 Y 0, Q1 4 2 15 7( N ) 由 M 1 0 M 1 15 1 4 2 2 1( N m) 求截面 1 － 1 内力也可取左段为分离体， 其结果见教材。 3．求2－2截面上的内力。（见教材）
M2 Q2 4 1
（二）内力图 内力图为表示内力随横截面的位置变 化的函数的图形。 一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置 选择用X表示，则梁的各个横截面上的内 力可以表示为X的函数，函数图形即内力 图。
教材例6－7（P76） 简支梁 AB 受一集度为 q 的均布荷载作 用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 分析：取左边 X 长的分离体， X 处截 面的内力按正方向假设，用平衡方程求 解。
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P m b L M + Pb/L Q + Pa/L Pab/4 Q M/2 M + m/L M/2 + -
a
L/2
L/2
集中力偶：剪力图为一水平直线，力 偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力 偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
教材例6－10（P81反） 外 伸 梁 如 图 所 示 ， 已 知 q 5kN / m, p 15kN ，试画出该梁 的内力图。
即：
+
MA
1 2 qL 8
MB
分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加 上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点 集中力P）的标准弯矩图； 叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和， 而不是弯矩图的简单拼合。 分段叠加法作弯矩图的方法如下：
分段叠加法作弯矩图的方法： （1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作 用） 控制截面――一般取外力不连续点（如： 均布荷载 q 的端点、 P 作用点和集中力偶 M作图点的左、右）。
Q( x ) ql qx 2
M 图为二次抛物线，确定 X＝0，L/2 及L处M值可确定M的函数图形。 Q图为直线形，确定X＝0，L处Q值即 可确定Q图。
M qL/2 + + qL2/8 qL/2
Q
根据内力图的特征，除均布荷载 q 作 用下的 M 点为二次抛物线外，其余情况 均为直线段。因此，可以不需列出函数 方程，直接确定直线段内力图的控制点 值，即荷点作用不连续点的截面内力连 接直线即可。
教材例6－10（P81反） 外 伸 梁 如 图 所 示 ， 已 知 q 5kN / m, p 15kN ，试用叠加法 画出该梁的M图。
P D 2 1 C 1 2 B q 2 2 A
YB 20kN, YD 5kN
10kNm
10kNm 1 PL 0.25 15 4 15kNm 4 5kN +
q qL + 1/2 qL2
（5）悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有均布荷载 q 的弯矩图为一抛 物线，其值端点为零、固定端为。 （6）悬臂梁作用有端点的P 悬臂梁作用有端点的 P的弯矩图为一斜线， 其值端点为零、固定端为PL。
（五）分段叠加法作弯矩图
简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用 有 M A , M B 弯矩，用叠加法作弯矩图。
（2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图: M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由
qL2 M A M B ＋ 2 8
确定，作抛物线。M图 M B M D PL BD段的端点值即MB、MD的中间值由
2 4
确定，用直线连接。 如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线 上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能 对齐。
剪力符号：当截面上的剪力使分离体 作顺时针方向转动时为正；反之为负。 弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上 部受压、下部受拉时为正，反之为负。 当所有外力（包括已知荷点，通过 平衡方程求出的所有支座约束反力）已 知时，通过三个独立的平衡方程可求解 三个内力。截面法是结构力学计算最基 本的方法。
+
－
Q图由控制点A、B左、B右、C左、C 右的值之间连直线得到。 解： （1）求梁的支座反力
YB 20kN, YD 5kN
（2）画弯矩图： 求控制截面的弯矩值，取 AB 杆的分离 体。 M AB 0
取CD杆的分离体： M DC 0 （铰支端） 杆下侧受拉。
剪力图： 集中力 P 单独作用时为一水平直线，均 布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况 叠加后即为共同作用的结果，如上图。
弯矩图： 集中力 P 单独作用时为一斜线，均布荷 载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加 后即为共同作用的结果，如上图。 分段叠加法作弯矩图 直杆弯矩图 ――分段叠加，简化绘图工 作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘 制。
解： （ 1 ）求控制截面的弯矩值（全部荷载 作用）；本题的控制截面为 A 、 B 、 D 截 面。 A 端为自由端， D 端为铰支端， AB 为悬 臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯 矩图：
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P L/2 M P/2 Q L/2 q L M PL/4 + P/2 Q qL/2 + + qL2/8 qL/2
+
q ＝常数 : 剪力图为一斜直线，弯矩图 为一抛物线。 集中力：剪力图为一水平直线， P 作 用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一 折线，P作用处有转折。
q MA
q
MB MA + MB
L
L
MA
1 2 qL 8
MB
原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷 载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载 分别作用的两种情况，如图所示。
+
ql 2 8
MA
MB
ql 2 M A M B 8 2
MA
MB
q MA
q
MB MA + MB
L
L
MA
1 2 qL 8
MB
MA MB 1 2 qL 中点M= 2 8
P D 2 1 C 1 2 B q 2 2 A
YB 20kN, YD 5kN
分析：例中，整体平衡可求 解 YB , YD ( X D 0) ，则A、B、C、D为外 力不连续点，――作为控制截面。 在集中力P，或支座反力处剪力有突 变，所以控制截面截取应 B 左、 B 右、 C 左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端 的剪力。
均布荷点作用段内 M 图再确定一中间 值即可画出二次抛物线。按建筑力学的 习惯， M 图画在杆件弯曲变形时受拉一 侧。 画出 M 图。弯矩最大值在梁的中点， 为 ql2/8 ； 画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2。
（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关 系 纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水 平直线。 q＝0： 剪力图为一水平直线，弯矩图 为一斜直线。
QCD QDC 5
QBC 20 q 2 10 QCB＝5-P=-10
剪力图如图所示。 在已荷点和所有反应力的情况下，可以 取分段分离体求剪力控制截面值，但如 果 M 图已知，不求约束反力也可确定分 段杆端的剪力控制截面值。
D 5kN 10kN + C 10kN B
+
A
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P L/2 M P/2 Q L/2 q L M PL/4 + P/2 Q qL/2 + + qL2/8 qL/2
+
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P m b L M + Pb/L Q + Pa/L Pab/4 Q M/2 M + m/L M/2 + -
a
L/2
L/2
（四）叠加法作弯矩图与剪力图
10kNm D
C B 10kNm M图 A
轴力为零不考虑。 杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端 作用弯矩受力情况完全相同，即对应。 所以任意分段均可同叠加法作M图。
（3）画剪力图：取控制截面如图。 计算剪力：取分离体如图。 AB：QAB=0（自由端） QBA q 2 10 CD： QDC 5
l
或由
0 A
M0 BA来自01 0 QBA ( M A M B m A l
M , M ，分别为荷载对杆端 A ， B 之矩的代数和。
MA
P
MB
QAB
QBA
例6－10 外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的 内力图。本例同例6-10反向
P
D 2 1 C 1 2 B q 2 2 A
工程力学（上）
直播课堂6
姚志刚
第六章静定结构的内力计算
一、本章主要知识点 1．截面内力及符号 2．内力图 3．荷载和剪力、弯矩的对应图形关系
4．叠加法作弯矩图、剪力图 5．分段叠加法作弯矩图 6．静定梁作内力图 7．刚架作内力图 8．三铰拱的计算 9．桁架的计算
二、本篇讲授的内容
（一）截面内力及符号 物体因受外力作用，在物体各部分之间 所产生的相互作用力称为物体的内力。 对内力的正、负号作如下规定： 轴力符号：当截面上的轴力使分离 体受拉时为正；反之为负。
M图 10kN
10kN
+
几个标准弯矩图
简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有中点的P 悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有端点的P 简支梁作用有非中点的P 简支梁作用有中点的m
简支梁作用有均布荷载q
q L M qL/2 + P/2 + qL2/8 qL/2
Q
（1）简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有均布荷载 q 的弯矩图为一抛 物线，其中点弯矩为。 （ 2 ） 简 支 梁 作 用 有 中 点 的 P 简支梁作用有中点的 P的弯矩图为一折 线，在集中力P作处产生折点，其值为。
当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和 内力可以这样计算：先分别计算出每项 荷载单独作用时的反力和内力，然后把 这些计算结果代数相加，即得到几项荷 载共同作用时的反力和内力。
P
P
Q +
PL
M
q
qL
1/2 qL2
+
P q + L P+qL PL+1/2qL2
1 2 qL 8
上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中 力。 梁的反力和内力都是由两部分组成。 各式中第一项与集中力P有关，是由集中 力P单独作用在梁上所引起的反力和内力； 各式中第二项与均布荷载q有关，是由均 布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和 内力。两种情况的叠加，即为二项荷载 共同作用的结果。这种方法即为叠加法。
＋
－
＋
－
教材例6－3（P73） 一外伸梁如图所示。 。求截面1－1 及截面2－2的剪力和弯矩。
P A 2 1 1 2 B q 2 2
P 10 N , q 4 N / m
解： 1．求梁的支座反力。 由整体平衡可求： X A 0, YA 3N , YB 15N 2．求1－1截面上的内力 杆上外力均为已知，可求任意截面的内 力。如截面 1 － 1 ，取左段为分离体，如 图所示。 P
简支梁作用有中点的P
P L/2 M P/2 Q L/2
+ PL/4 + -
简支梁作用有中点的m
m
L/2 M/2 M + m/L Q
L/2 M/2 +
简支梁作用有非中点的P
P a L
b
M
+ Pb/L Q + Pa/L Pab/4
悬臂梁作用有端点的P
P P Q + PL M
悬臂梁作用有均布荷载q
q
qL/2 M qL/2 +
L
qL/2 + qL2/8 qL/2
Q
解： （1）求梁的支座反力 由整体平衡可求： （2）取距A端X处的C截面，标 出 M CA , N CA , QCA 。解得：
M ( x) ql qx 2 x 2 2
A x Q(x) C M(x)
N ( x) 0
q2 M BA 10(kN m) 杆上侧受拉。 2
2
M CD 5 2 10(kN m)
确定A、B、C、D四点M值： BC，CD间无均布荷载q，直接联直线； AB 间 有 均 布 荷 载 q, 确 定 中 点 值 为 2.5KN/m,可由三点确定抛物线。
（2）分段画弯矩图 控制截面内无荷载――连直线； 控制截面内有荷载（q或中点P）――连 虚线，再叠加相应的弯矩图。
剪力图可以由弯矩图取得： 任取杆段 AB ，荷载及杆端弯矩已知， 如图所示。 则： M B 0 ， 1 0 Q AB ( M A M B mB ， )
M1 Q1 YA 2m 1m
由 X 0, N1 0 由 Y 0, Q1 4 2 15 7( N ) 由 M 1 0 M 1 15 1 4 2 2 1( N m) 求截面 1 － 1 内力也可取左段为分离体， 其结果见教材。 3．求2－2截面上的内力。（见教材）
M2 Q2 4 1
（二）内力图 内力图为表示内力随横截面的位置变 化的函数的图形。 一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置 选择用X表示，则梁的各个横截面上的内 力可以表示为X的函数，函数图形即内力 图。
教材例6－7（P76） 简支梁 AB 受一集度为 q 的均布荷载作 用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 分析：取左边 X 长的分离体， X 处截 面的内力按正方向假设，用平衡方程求 解。
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P m b L M + Pb/L Q + Pa/L Pab/4 Q M/2 M + m/L M/2 + -
a
L/2
L/2
集中力偶：剪力图为一水平直线，力 偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力 偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
教材例6－10（P81反） 外 伸 梁 如 图 所 示 ， 已 知 q 5kN / m, p 15kN ，试画出该梁 的内力图。
即：
+
MA
1 2 qL 8
MB
分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加 上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点 集中力P）的标准弯矩图； 叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和， 而不是弯矩图的简单拼合。 分段叠加法作弯矩图的方法如下：
分段叠加法作弯矩图的方法： （1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作 用） 控制截面――一般取外力不连续点（如： 均布荷载 q 的端点、 P 作用点和集中力偶 M作图点的左、右）。
Q( x ) ql qx 2
M 图为二次抛物线，确定 X＝0，L/2 及L处M值可确定M的函数图形。 Q图为直线形，确定X＝0，L处Q值即 可确定Q图。
M qL/2 + + qL2/8 qL/2
Q
根据内力图的特征，除均布荷载 q 作 用下的 M 点为二次抛物线外，其余情况 均为直线段。因此，可以不需列出函数 方程，直接确定直线段内力图的控制点 值，即荷点作用不连续点的截面内力连 接直线即可。
教材例6－10（P81反） 外 伸 梁 如 图 所 示 ， 已 知 q 5kN / m, p 15kN ，试用叠加法 画出该梁的M图。
P D 2 1 C 1 2 B q 2 2 A
YB 20kN, YD 5kN
10kNm
10kNm 1 PL 0.25 15 4 15kNm 4 5kN +
q qL + 1/2 qL2
（5）悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有均布荷载 q 的弯矩图为一抛 物线，其值端点为零、固定端为。 （6）悬臂梁作用有端点的P 悬臂梁作用有端点的 P的弯矩图为一斜线， 其值端点为零、固定端为PL。
（五）分段叠加法作弯矩图
简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用 有 M A , M B 弯矩，用叠加法作弯矩图。
（2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图: M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由
qL2 M A M B ＋ 2 8
确定，作抛物线。M图 M B M D PL BD段的端点值即MB、MD的中间值由
2 4
确定，用直线连接。 如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线 上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能 对齐。
剪力符号：当截面上的剪力使分离体 作顺时针方向转动时为正；反之为负。 弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上 部受压、下部受拉时为正，反之为负。 当所有外力（包括已知荷点，通过 平衡方程求出的所有支座约束反力）已 知时，通过三个独立的平衡方程可求解 三个内力。截面法是结构力学计算最基 本的方法。
+
－
Q图由控制点A、B左、B右、C左、C 右的值之间连直线得到。 解： （1）求梁的支座反力
YB 20kN, YD 5kN
（2）画弯矩图： 求控制截面的弯矩值，取 AB 杆的分离 体。 M AB 0
取CD杆的分离体： M DC 0 （铰支端） 杆下侧受拉。
剪力图： 集中力 P 单独作用时为一水平直线，均 布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况 叠加后即为共同作用的结果，如上图。
弯矩图： 集中力 P 单独作用时为一斜线，均布荷 载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加 后即为共同作用的结果，如上图。 分段叠加法作弯矩图 直杆弯矩图 ――分段叠加，简化绘图工 作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘 制。
解： （ 1 ）求控制截面的弯矩值（全部荷载 作用）；本题的控制截面为 A 、 B 、 D 截 面。 A 端为自由端， D 端为铰支端， AB 为悬 臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯 矩图：
几种常见简支梁M、Q图的记忆
P L/2 M P/2 Q L/2 q L M PL/4 + P/2 Q qL/2 + + qL2/8 qL/2
+
q ＝常数 : 剪力图为一斜直线，弯矩图 为一抛物线。 集中力：剪力图为一水平直线， P 作 用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一 折线，P作用处有转折。
q MA
q
MB MA + MB
L
L
MA
1 2 qL 8
MB
原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷 载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载 分别作用的两种情况，如图所示。
+
ql 2 8
MA
MB
ql 2 M A M B 8 2
MA
MB
q MA
q
MB MA + MB
L
L
MA
1 2 qL 8
MB
MA MB 1 2 qL 中点M= 2 8
P D 2 1 C 1 2 B q 2 2 A
YB 20kN, YD 5kN
分析：例中，整体平衡可求 解 YB , YD ( X D 0) ，则A、B、C、D为外 力不连续点，――作为控制截面。 在集中力P，或支座反力处剪力有突 变，所以控制截面截取应 B 左、 B 右、 C 左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端 的剪力。
均布荷点作用段内 M 图再确定一中间 值即可画出二次抛物线。按建筑力学的 习惯， M 图画在杆件弯曲变形时受拉一 侧。 画出 M 图。弯矩最大值在梁的中点， 为 ql2/8 ； 画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2。
（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关 系 纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水 平直线。 q＝0： 剪力图为一水平直线，弯矩图 为一斜直线。