高三数学 教案 数学归纳法的基本步骤

数学归纳法
原理
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。

证明分下面两步：
1. 证明当n= 1时命题成立。

2. 假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。

（m代表任意自
然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。

当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。

把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。

例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
1. 证明第一张骨牌会倒。

2. 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

骨牌一个接一个倒下就如同一个值接下一个值那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。

那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1
对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。

数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。

即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

证明2：举例证明下面的定理
——等差数列求和公式
第一步，验证该公式在n = 1时成立。

即有左边=1，右边=
=1，所以这个公式在n = 1时成立。

第二步，需要证明假设n = m时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。

步骤如下：
假设n = m时公式成立，即
（等式1）
然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到
（等式2）
这就是n = m+1 时的等式。

我们下一步需要根据等式1证明等式2 成立。

通过因式分解合并，等式2的右边
也就是
这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。

结论：对于任意自然数n，公式均成立。

对于以上例2的分析
在这个证明中，归纳的过程如下：
1. 首先证明n=1成立。

2. 然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立（这里实际应用的是演绎推理）。

3. 根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1，也就是n=2 成立。

4. 继续推导，可以知道n=3 成立。

5. 从n=3 成立可以推导出n=4 也成立……
6. 不断重复3的推导过程（这就是所谓“归纳”推理的地方）。

7. 我们便可以下结论：对于任意非零自然数n，公式成立。

合理性
编辑
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。

但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。

数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的。

（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。

（1是不属于集合S的，所以k>1）
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。

所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。

更确切地说，两者是等价的。