第六章自回归模型和分布滞后模型

模拟3：设在1960年x等于-1，其他年份x等于0
y
10
9.5
9 y
8.5
8
7.5 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
结论：1.在某一年（60年）的一个冲击，要经过若干 期（6期）才能恢复原来水平；2.分布模型中，各个解 释变量的系数正好就是分布滞后的效应。
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一、部分调整模型
在部分调整模型中，假设行为方程决定的是因变
量的理想值（desired value）或目标值Yt*，而不
是其实际值Yt：
Yt* =α+βXt+ut
（1）
由于Yt*不能直接观测，因而采用 “部分调整假
说” 确定之，即假定因变量的实际变动（Yt–Yt-
1）,与其理想值和前期值之间的差异（Yt* –Yt-1）
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科克变换的特点：
1.这一变换展示了我们怎样从一个无限分布 滞后模型转换为自回归模型；
2. Yt-1的出现会带来一些统计上的问题。 Yt-1是随机的，违背了OLS的假设。Yt-1与扰动项 是否存在相关？
3.科克变换后模型的扰动项为ut-λut-1 ， 这带来了自相关问题（这种扰动项称为一阶 移动平均扰动项）。
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（2）-（5），得 Yt-λYt-1 =α(1-λ)+βXt + ut-λut-1 (6) 所有的X滞后项都消掉了，因此 Yt =α(1-λ)+βXt + λYt-1 + ut-λut-1 (7)
（7）式称为自回归模型，因为因变量的滞后 作为解释变量出现在方程右边。这一形式使得 我们可以很容易分析该模型的短期（即期）和 长期动态特性（短期乘数和长期乘数）。
我 们 可 以 用 同 样 的 方 法 置 换 Yt-2 ， 以 及 随 后 的 Yt3,Yt-4,…,直至无穷，结果是将Yt表示为X的当前值和 滞后值的一个滞后结构，系数为科克形式的几何递 减权数，具体形式为：
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Yt [Xt (1 )Xt1 (1 )2 Xt2 ......] t
（ut-λut-1）同期相关，而部分调整模型不存在同期 相关。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估 计量是一个一致的估计量。
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不难看出，（4）式
Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut
（4）
与变换后的科克模型的形式相似，我们也不难通过对
（4）式中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的 形式:
我们上面列举了模型中包含滞后经济变量的 两种情况。第一种是仅包含滞后外生变量的模 型，第二种是包含滞后内生变量的模型。在两 种情况下，都通过一种滞后结构将时间维引入 了模型，即实现了动态过程的构模。
8
“滞后”在经济学中的作用
在经济学中，因变量Y对另一些变量X的依 赖很少是瞬时的，常见的是Y对X的响应有一个 时间上的延迟，这种时间上的延迟就是“滞后” 。
(2)
其中 0<λ<1
这实际上是假设无限滞后分布，由于 0<λ<1，X的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减 的。
16
从模型可知，滞后系数与及值相关。 的 值越接近1，滞后系数衰减的速度就越慢；反 之， 越接近0，滞后系数衰减的速度就越快。
（2）式中仅有三个参数：α、β和λ。但 直接估计（2）式是不可能的。这是因为，首 先，估计无限多个系数是不可行的。其次，从 回归结果中不可能推出β和λ的估计值。
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三、科克变换法 回到科克模型：
Yt =α+βXt +βλXt-1 +βλ2Xt-2 +…+ ut (2) 第二种方法是采用科克变换，（2）式两端取一期 滞后，得： Yt-1 =α+βXt-1 +βλXt-2 +βλ2Xt-3 +…+ ut-1 两端乘以λ，得：λYt-1 =λα+βλXt-1+βλ2Xt-2 +βλ3Xt-3 +…+λut-1 (5)
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短期乘数和长期乘数
在短期内（即期），Yt-1可以认为是固定的， X的变动对Y的影响为β（短期乘数为β）。从
长期看，在忽略扰动项的情况下，如果Xt趋向
于某一均衡水平 则Yt和XYt,-1也将趋向于某一均
衡水平
Y,
Y (1 ) X Y (8)
这意味着
Y X 1
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中位滞后和平均滞后
中位滞后指在X发生一个单位的持续变化之后，Y的前一 半变化达到其总变化的50%所需要的时间。对于科克模型
，其公式为：科克模型中位滞后＝ log 2
log
平均滞后
假使所有滞后系数都是正的，则平均滞后的定义：
平均滞后＝ kk k 1
中位滞后和平均滞后都是Y对X响应速度的一个概 要度量。
本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较 一般的情况是：
Yt = α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut, t = 1,2,…,n
3
例1．Yt = α+βXt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较
一般的情况是： Yt = α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut, t = 1,2,…,n
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（4）式两端取一期滞后，得
Yt1 X t1 (1 )Yt2 ut1 （5）
将此式代入（4）式，得到（为简单起见，省略扰 动项）： Yt [1 (1 )] X t (1 )X t1 (1 )2Yt2 （6）
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估计科克模型的方法
幸运的是，我们有同时解决上述两方面问题的方 法。它们是：
• 非线性最小二乘法 • 科克变换法
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二、 非线性最小二乘法 非线性最小二乘法实际上是一种格点搜索法。
首 先 定 义 λ 的 范 围 （ 如 0-1 ） ， 指 定 一 个 步 长 （如0.01），然后每次增加一个步长，依次考 虑 0.01,0.02,……0.99 。 步 长 越 小 ， 结 果 精 确 度越高，当然计算的时间也越长。由于目前计 算机速度已不是个问题，你可以很容易达到你 所要求的精度。
结论：1.在某一年（60年）的一个冲击，要经过若干 期（6期）才能减退；2.分布模型中，各个解释变量的 系数正好就是分布滞后的效应。
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模拟2：设在1960年以前x等于0，以后年份x等
于1
x
1
x 0.5
0 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
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δ=1，则Yt=Yt*,在一期内实现全调整。若δ=0，则 根本不作调整。
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(1）式 Yt* =α+βXt+ut 代入（3）式 Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1 ，得到
Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut
（4）
用此模型可估计出α、β和δ的值。
与科克模型类似，这里也存在解释变量为随机变 量的问题（Yt-1）。区别是科克模型中,Yt-1与扰动项
y
15
14 13
12
y
11
10
9 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
结论：1.x在某一年（60年）突然涨到一个新的水平， 但这种变化在y上并没有马上体现出来，而是要经过若 干年（6年）；2.分布模型中，各个x系数的和恰好就 是y的总的变化。
31
27
下面做模拟试验：
模拟1：设在1960年x等于1，其他年份x等于0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 50 55 60 65 70 75 80 85 90 X
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y
12.5
12 11.5
11
y
10.5 10
9.5 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
通常采用对模型各系数βj施加某种先验的约束条 件的方法来减少待估计的独立参数的数目，从而解 决多重共线性问题。这方面最著名的两种方法是科 克(Koyck)方法和阿尔蒙(Almon)方法。
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一、科克分布滞后模型
科克方法简单地假定解释变量的各滞后值 的系数（有时称为权数）按几何级数递减，即：
Yt =α+βXt+βλXt-1+βλ2Xt-2 +…+ ut
成正比：
Yt – Yt-1=δ（Yt* - Yt-1） (2）
0≤δ≤1, δ称为调整系数。
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（2）式
Yt – Yt-1=δ(Yt* - Yt-1)
可改写为：
Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1
(2） (3）
从（3）式可看出，Yt是现期理想值和前期实际值 的加权平均。δ的值越高，调整过程越快。如果
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非线性最小二乘法步骤
（1） 对于λ的每个值，计算 Zt=Xt+λXt-1+λ2Xt-2+…+λPXt-P (3)
P的选择准则是，λP充分小，使得X的P阶以后 滞后值对Z无显著影响。
（2）然后回归下面的方程：
Yt =α+βZt + ut
(4)
（3） 对λ的所有取值重复执行上述步骤，选择回归 上述（4）式时产生最高的R2的λ值，则与此λ值相 对应的α和β的估计值即为该回归所得到的估计值。
（9）
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因此，X对Y的长期影响（长期乘数）为β/（1-λ
），若λ位于0和1之间，β/（1-λ）>β，即长期 影响大于短期影响。
从实践的观点来看，科克变换模型很有吸引力， 一个OLS回归就可得到α、β和λ的估计值（α的 估计值是（7）式中的常数项除以1减Yt-1的系数估 计值）。这显然比前面介绍的格点搜索法要省时很 多，大大简化了计算。
9
10
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R&D支出与生产力之间的滞后
研发投资支出决策与用生产力的提高表示的 最终投资回报之间存在着相当长期的滞后：资金 投放与发明创造开始出现之间存在时间上的滞后 ；思想或方法上的发明与发展到商业应用阶段之 间也存在时间上的滞后等。
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滞后的原因
1. 心理上的原因； 2. 技术上的原因； 3. 制度上的原因。
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时间滞后效应
例子：考察分布滞后模型（t＝1950－1990） y 10 2x x(1) 0.5x(2) 0.25x(3) 0.125x(4)
0.0625x(5) 0.03125x(6)
这里，假设x的系数按照＝1 / 2递减，表示距离
现在越近，x的影响越大。 长期乘数为：k 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 3.96875 接近于 4 。 1
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第三节 部分调整模型和适应预期模型
有两个著名的动态经济模型，它们最终可化 成与上一节（2）式相同的几何分布滞后形式,
因此都是科克类型的模型。它们是： 部分调整模型（Partial adjustment model） 适 应 预 期 模 型 （ Adaptive expectations model）
第六章 自回归模型和分布滞后 模型
1
第一节 分布滞后模型和自回归模型的概念 第二节 分布滞后模型的估计 第三节 部分调整模型和适应预期模型 第四节 自回归模型的估计 第五节 阿尔蒙多项式分布滞后 第六节 格兰杰因果关系检验
2
第一节 分布滞后模型和自回归模型的概念
很多经济过程的实现需要若干周期的时间，因此 需要在我们的计量经济模型中引入一个时间维，通 常的作法是将滞后经济变量引入模型中。让我们用 两个简单的例子说明之。 例1．Yt = α+βXt-1 + ut, t = 1,2,…,n
即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖 于X的若干期滞后值。这类模型称为分布滞后模型 ，因为X变量的影响分布于若干周期。
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如果Y依赖于X的无限期滞后，则模型称为无限分 布滞后模型；
如果Y依赖于X的有限期滞后，则模型称为有限分 布滞后模型。
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例2．Yt = α+βYt-1 + ut, t = 1,2,…,n 本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系，
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第二节 分布滞后模型的估计
我们在上一节引入了分布滞后模型： Yt =α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut (1) 在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间
往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线 性问题。因此，分布滞后模型极少按（1）式这样的 一般形式被估计。
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即依赖于它的过去值。一般情况可能是： Yt = f (Yt-1, Yt-2, … , X2t, X3t, … )
即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还 依赖于其它解释变量。
6
在本例中，滞后的因变量（内生变量）作为 解释变量出现在方程的右端。这种包含了内生 变量滞后项的模型称为自回归模型。
7
动态经济模型