两直线所成角的取值范围：

P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证 :平面PAC⊥平面PBC.
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三、新知建构，交流展示
题型一
求二面角的大小
【例 1】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求二面角 D1-BC-D 的平面角的大 小.
解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥平 面 D1C.
注意： 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直

平面角是直角的二面角叫做直二面角
A
O
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l
B
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
D’ 正方体 A’C中 A’
D
C源自文库 B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)你能举出日常生活中平面与平面垂直的例子?
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猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
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一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
7/将1/2作019出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“一作二证三计算”.
三、新知建构，交流展示
题型二
证明两个平面垂直
【例 2】如图所示,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置, 使 CD=AC,求证:平面 ABD⊥平面 ABC.
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三、新知建构，交流展示
二面角－AB－
A

二面角－ l－
l


B
C
l
二面角C－AB－ D
B D
A
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思考:异面直线所成的角、直线和平面 所成的角有什么共同的特征？
它们的共同特征都是将三维空间的角转 化为二维空间的角,即平面角。
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思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开， 相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同， 可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？
又 D1C⊂ 平面 D1C, ∴BC⊥D1C,∴∠D1CD 是二面角 D1-BC-D 的平面角. 在△D1CD 中,D1D⊥CD,D1D=CD, ∴∠D1CD=45°.∴二面角 D1-BC-D 的平面角的大小是 45°. 题后反思:异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角统称为空间角,
其求解方法相同,步骤是:①作出它们的平面角;②证明所作的角满足定义;③
证明:证法一:取 AB 的中点 O,如图所示,连接 OD,OC. ∵AD=DB,
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
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线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
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打开的书

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思考:在二面角α -l-β 的棱上取一点 O，过点O分别在二面角的两个面内 任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
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思考:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α -l-β 唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
课堂设问，任务驱动
两直线所成角的取值范围： [ 0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ]
O
平面的斜线和平面
所成的角的取值范围： 1
( 0o, 90o )
A
B
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课堂设问，任务驱动
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引 直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角。
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α
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．

棱为l，两个面分
别为、的二面角记

l
为 -l- ．
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3.二面角的画法

平卧式

l
直立式
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A
B

l
A

B
4.二面角的记法
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新知建构，交流展示
问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两 个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问 题的一些例子吗？
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新知建构，交流展示
这样的角有何特点，该如何表示呢？
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新知建构，交流展示
1.二面角及二面角的平面角
半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
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思考: 二面角的范围
l
O1
A
O
[0°,180°]

二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱

A O
l
B
A
O B
哪个对?怎么画才对?
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5.二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角
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观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数.
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
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三、新知建构，交流展示
β
B
O
lA
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α β
B
lO
A
α
思考:上面所作的角叫做二面角的平 面角，你能给二面角的平面角下个 定义吗？
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5.二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角来度量
B
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