第13章-静电场中的导体和电介质汇总

（2）空腔内电场强度处处为零，或者说，空腔内的电势处处相等。
证明：在导体内部作一个包围内表面的闭
q
合曲面，由静电平衡v条件，此曲面
上各点的电场强度 E 0，则通过
Ò闭S合Ev曲d面Sv的 0电通量所为以零，即q：i 0
S
假设导体空腔内表面上分布有等量异号的 电荷，是否可以？
屏蔽作用──导体壳内所包围的区域不受外电场的影响。
第13章 静电场中的导体和电介质
本章重点： 本章作业：
§13.1 静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
导体在静电场中，两侧出现正、负电
荷的现象叫做静电感应现象。产生的
电荷称为感应电荷。产生外电场的
电荷称为施感电荷。
静电平衡时：
E E0 E 0
E0
E0
E0
静电平衡时，要求表面电荷也不能移动．即表面处的静电场
( R1 r R2 ) (r R2 )
q
R2
R1
R
（2）根据静电平衡条件和电势的定义可得电势的分布为
R
R1
R2
R1 q
qQ
U1
r
E1dr
R
E2dr
E3dr
R1
E4dr
R2
R
4π0r 2 dr
R2
4π0r 2 dr
1
4π 0
q R
q R1
qQ R2
(r R)
U2
R1
E2dr
E2
则面元dS所受的电场力为 单位面积上受到的电场力为
F
2
2 0
E2 en
dS
2 2 0
d Sen
例题13-3 半径为R的孤立金属球，接 地,与球心相距 l 处有一点电荷+q, 求球 上的感应电荷q′。
解：因金属球在静电平衡状态下是一 个等势体，且又与地相连接，即U=0 ， 所以球心处的电势等于零。
Q
电它势只差与为组U成1-U极2=板U的12则大定小义、电形容状器,两的极电板容的为相对位置C及其U之12间
所充的介质等因素有关,而与是否带电无关。
即电容器的电容等于其中一个导体所带的电量与两导体间的
电势差的比值。 电容器有两个重要指标：电容量和耐压。
(2)导体 E内＝0,E外
表面，且E＝σ n ε0
（3）导体是个等势体，导体表面是个等势面。
四、孤立导体表面上的电荷分布
一般来说，带电导体处于静电平衡状态时，导体表面上的电 荷分布比较复杂，这不仅与导体自身的形状有关，还和附近其 他导体及其分布有关。但是对于孤立的导体来说，电荷在其表 面上的分布却完全由自身的形状所决定。通过实验现象的分析 表明，孤立带电导体上的电荷分布有以下规律：
（3） 两球的电势差
U
U1
U3
q
4π 0
1 R
1 R1
（4） 如果外球壳接地，则球壳外表面上的电量为零，电势 为零。两球的电势差为
U
R1
E2dr
R
R1 R
q
4π0r 2 dr
q
4π 0
1 R
1 R1
例题 13-5 半径为 R1的金属球接地,球外有 一内外半径分别为 R2 和R3的同心导体球壳， 壳上带电 Q，当外球壳离地很远时，球壳内、 外表面上各带电多少？
小相等而符号相同。
证明：设1、2、3、4面的面电荷密
E1 E2
E1 E2
度为σ1，σ2，σ3，σ4，每一个带电面 产生的场强大小为σ/2ε0 在导体内部 选P1,P2两点，
E3 E4
n
E3E4
n
P1 ·
P2 ·
P1 : E P1
P2 : E P2
E1 E2 E3 E4
E1 E2 E3 E4
解 由于静电感应，球壳的内表面应带电
荷-q，根据电荷守恒定律，球壳的外表面 Q 所带电荷为q+Q。由于导体的对称性，所
有电荷应均匀分布于各球面上。
（1）根据高斯定理和静电平衡条件可得到
电场强度的分布为
v E1 0
v E2 v
q
4π0r 2
evr
E3 0
v E4
qQ
4π0r 2
evr
(r R) ( R r R1)
出现符号相反的正、负电荷呢？若A处出现正电荷,B处
出现负电荷,则有电场线由A到B,沿任一电场线积分时
B
U AB
Edl 0
A
这与在静电平衡时导体是等势体相矛盾.故腔
B
内无其它带电体的空腔导体达到静电平衡时, 内表面没有电荷,电荷只分布在外表面.可用实
＋＋A＋S
验加以验证。
三、导体表面外附近一点的电场强度
R
o
q l
由电势叠加原理知，球心处的电势等于点电荷
＋q 及球面上的电荷在点O产生的电势的代数
和,q在球心处产生的电势为
U1
q
4 0l
dS
q
感应电荷在球心处的电势为
U2
s
4 0 R 4 0 R
所以，点 O处的电势为
U
U1
U2
q
4 0l
q
4 0 R
0
故q qR l
例题13-4 内、外半径分别为R1和R2的导体球壳内有一个半径R为 的同心导体球，如图所示。若让小球和球壳分别带电荷q和Q， 试求：（1）电场强度的分布；（2）电势的分布；（3）两导体 的电势差；（4）如果外球壳接地，求两球的电势差。
1
2 1
0
2 0
1 2 3 4 n 0
1 2 3 4 n 0
两式相减，得 2 3
两式相加，得 1 4
例题13-2 试证在静电平衡时，带电导体表面处单位面积上受到
的电场力为 ( 2 20 )en
解：取面元dS, σ，导体内侧一点P, dS在该点产生的场强E1可用
解 建立坐标系,设O点电荷面密度为σ,与O点相邻的O′点的场强
Eo 0
o d o
dx
x
x
Eo
E
E感＝
d
dx 4 0 x 2
0 2 0
40d
0 2 0
0
0 2d
§13.2 电容 电容器 （Conductor cavity) 一、孤立导体的电容
孤立实心或空心球形带电导体,半径为Ｒ,带电为Q,其电势为
尖端处会放电──尖端放电（电 晕）。尖端放电的应用──避雷 针、静电加速器、感应起电机上 的喷电针和集电针。
＋＋＋＋＋＋ ＋ ＋＋＋＋＋＋ ＋
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
五、导体空腔 (Conductor cavity) 封闭的导体壳称为导体空腔。
1．导体空腔内无带电体
性质：在静电平衡状态下：
（1）空腔导体的内表面上无电荷或内表面上面电荷密度处处为零；
解 球壳外表面的电荷均匀分布，内球上有负
电荷。则由外球壳与内球的电势差等于外球壳
与无限远处的电势差可求得q。
U
R1 R2
E内
d
l
q
4 0
R1
R2
dr r2
q( R2 R1)
4 0 R1R2
Qq dr Qq
U
R3 E外 d l 4 0
R3
r2
4 0 R3
即 q(R2 R1 ) Q q
空腔内电场为零是腔外电荷与腔外表面的电荷共同作用的结果。
2、导体空腔中有带电体
静电平衡状态下，有如下性质：
（1）空腔内表面带电，它所带电荷的代数和与空腔内电荷的代 数和等量异号；图13-6 导体空腔中有带电体 （2）导体空腔内表面上的电荷分布只由腔内带电体及空腔内表 面形状决定，腔内电荷分布和电场不受腔外电荷的影响。
注：接地的作用有二个：与大地保持等电势；与大地通过 接地线交换电荷。
值得指出的 是：接地导体表面的电量不一定为零，所带电荷 的多少由 E内＝0 或U=0（取大地为零电势）决定。
七：有导体存在时静电场的分析与计算
例题13-1 两无限大带电平板导体。试证明：相向的两面上，面
电荷密度大小相等而符号相反；相背的两面上，面电荷密度大
当空腔导体不接地时，虽然 腔内带电体在腔外产生电场 强度，处处被腔内表面上感 应出的电荷所产生的电场所 抵消，但由于空腔外表面上 也感应出电荷，它将影响腔 外电场的分布，所以腔内带 电体对腔外空间有间接影响。
如果把空腔接地，在外表面产生的感应电荷将流入大地，这 样，腔内带电体对腔外空间无任何影响。
4 0 R1R2
4 0 R3
q
R1 R2Q
R3 ( R2 R1 ) R1R2
Q q R3( R2 R1)Q R3( R2 R1 ) R1R2
例题 一接地的无限大厚导体板的一侧有一半无限长均匀带电直 线垂直于导体板放置,带电直线的一端与板相距为d,已知带电直线上 线电荷密度为λ。求板面上垂足点O处的感应电荷面密度。
当空腔内有带电体时，可在导体壳内外表面
间作一高斯面。
E dS 0, qi 0
所以：内表面所带电量与内部电荷电量相等。
q
S
由于导体内电场强度处处为零，电场线不可能穿过导体空腔 的壁，腔外带电体和空腔外表面上的电荷在外表面以内空间的 任一点的合电场强度也为零，所以空腔内的电荷分布和电场分 布不受外部电荷的影响。
当q在腔体移动时，内表面的电荷分布变化，ｑ与-ｑ在空
腔内表面之外的合场强为零，称为空腔的屏蔽作用。
六： 静电屏蔽 由以上分析可得：在静电平衡状态下，导体空腔（不论接
地与否），内部的电场不受腔外电荷的影响；接地导体空腔 外部空间电场不受腔内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压带电作业人员 的屏蔽服（均压服）。
例：两个可视为孤立
导体的球用导线连在
R
一起，求其面电荷密
O
r
度之比。(R>r)
O
两球的电势为 :
U Q q
4π0R 4π0r
得： Q R
qr
两球表面上的面电荷密度分别为：
R
Q 4πR2
,
r
q 4πr 2
所以，两个金属球面上面电荷密度之比为：
1
R r
Qr 2 qR2
r R
R 1
r
可见，导体表面所带电荷的面密 度与表面的曲率成正比（与曲率 半径成反比），即曲率越大处， 面电荷密度越大。
r
R2
E3dr
R1
E4dr
R2
R1 r
q
4π 0
r
2
dr
R2
qQ
4π0r 2
dr
1
4π 0
q r
q R1
qQ R2
(R r R1)
R2
qQ
qQ
U3
r
E3dr E4dr
R2
dr
R2 4π 0r 2
4π 0R2
U4
r
E4dr
r
qQ
4π0r 2 dr
qQ
4π 0 r
(R1 r R2 ) (r R2 )
已知 E内＝0, E外 表面
作如图所示的高斯面,则有
得：E
E
E
d
S
EΔS
ΔS
n
0
ΔS ΔS
n E
P
0
0
导体表面附近场强的大小与表面上对应点处的
面电荷密度成正比。
E内＝0
值得指出：E 是所有电荷产生的，而不只是由σΔS产生的。
综上所述，静电平衡下的导体有如下性质∶
(1)导体内部无电荷，电荷只能分布在导体表面;
1F的孤立导体球的半径为9×109m。是地球半径的1406倍。地 球的电容为 C=4πε0R=7×10-4 F
二、电容器的电容 孤立导体的电容很小，为了提高电容量，应把两块彼此绝缘而且
靠得很近的导体板组成所谓的电容器。两块导体板称为电容器的极 板。这样两块导体板之间的电场所受的影响可以忽略不计。
若电容器两板上的带电量分别为＋Q、- Q,其
1Q U
4 0 R
而
Q U
4 0 R
是一个与所带电量多少无关,而只 与球体本身尺寸有关的物理量。
理论和实践证明：对任意形状的孤立导体，所带电量与它本
身电势之比是一个由其本身形状所决定的常量。
C QU
为孤立导体的电容。电容的物理意义是使导体每 升高单位电势所需要的电量。
电容是一个反映导体本身形状、大小的物理量。 SI中电容单位 为（法拉），用F表示 1F=106μF=1012pF
处处与表面垂直。
导体中没有电荷宏观的定向运动称为导体处于静电平衡状态。
静电平衡条件:（1）导体内部的场强处处为零。 E内 0
பைடு நூலகம்
（2）导体表面的场强处处与表面垂直。
在导体内部任取两点 Ua Ub 若所取两点在导体表面上，则
b
E dl 0
a
b
Ua Ub
E dl
a
0
故也可用电势来表述：处于静电平衡状态下的导体是个等势体,
无限大带电平面的场强公式计算，即
E1 ( 20 )en
除dS之外,其它电荷在P点产生的场强为E2，则P总场强是导体表
面所有电荷对该点场强的总贡献，即 EP E1 E2
由静电平衡条件，导体内部的场强为零 即
E2
E1
2 0
en
EP E1 E2 0 n
E1
E1
P
dS
E2
( 20 )en
表面是个等势面。
注：感应电荷使导体内 E内＝0 外,还对外电场施加 影响.
二、处于静电平衡时实心导体的电荷分布： 带电体为实心时,处于静电平衡状态下的导体,电 荷只能分布在导体表面上,导体内部无净电荷
P
•
S
E内 0
带电导体有空腔且腔内无其它带电体时,由高斯定理得,
空腔内表面上无净电荷.那么,在空腔内表面上是否可能
（1）带电孤立导体球表面电荷的分布是均匀的，孤立带电的 长直、导体圆柱体或大的导体平板除了边缘外，它们的面电荷 密度也是均匀的。
（2）带电的任意形状孤立导体，其面电荷分布与各处表面 的曲率相关，曲率较大的地方，面电荷密度较大；曲率较 小的地方，面电荷密度较小；在导体表面凹进去的地方， 面电荷密度更小。