间接效用函数
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L = x0.5 + y0.5 + (I - pxx - pyy)
• 一阶条件:
L/x = 0.5x -0.5 - px = 0
L/y = 0.5y -0.5 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
24
CES 需求
• 这意味着
(y/x)0.5 = px/py
I
0.5 0.5 2 px py
35
间接效用和总量原理
• 假设px=1,py=4,I=8 • 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 消费者购买 x*=2 – 间接效用从 2降到1.41
• 同样的税收将会使得收入减少到￥6
– 间接效用从 2 下降到1.5
36
间接效用和总量原理
• 如果效用函数是固定比率的，U = Min(x,4y), 我们得到
14
n种商品情况
• 内点最大值解的一阶条件:
L/x1 = U/x1 - p1 = 0 L/x2 = U/x2 - p2 = 0 • • • L/xn = U/xn - pn = 0 L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0
15
一阶条件含义
pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx
• 替换进预算约束:
I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx
21
柯布－道格拉斯需求函数
• 解出 x
I x* px
• 解出 y
I y* py
• 消费者配置收入中 的比率给商品x ， 比率给商品 y
对于经济学方法的抱怨
• 在现实中没有人进行效用最大化所要求的 “计算” • 效用最大化模型预言了选择行为的许多方 面 • 因此, 经济学家假设人们的行为是仿佛 他 们在进行这种计算
4
对于经济学方法的抱怨
• 关于选择的经济学模型是极端自私的，而 现实中没有人的目标是完全自我为中心的 • 效用最大化模型没有禁止人们从 “做好 事”中获得满足
s.t. U x, y U
Min px x p y y
间接效用函数
支出函数
U* V ( px , py , I )
E* E( px , py ,U )
马歇尔需求
希克斯需求
X d x px , p y , I
斯卢茨基方程
X hx px , p y ,U
3
22
柯布－道格拉斯需求函数
• 柯布－道格拉斯效用函数在对于实际消 费行为的解释力上有局限
– 收入中配置到某种商品上的比率经常随着经 济条件的变化而改变
• 一个更加一般的函数形式可能在解释消 费决策的时候更有用
23
CES需求
• 假设 = 0.5
U(x,y) = x0.5 + y0.5
• 建立拉各朗日函数:
30
间接效用函数
• 我们可以利用这些x的最优值获得间接效 用函数
效用最大值 = U(x*1,x*2,…,x*n)
• 替换每一个 x*i, 得到
效用最大值 = V(p1,p2,…,pn,I)
• 效用的最优水平间接依赖于价格和收入
– 如果价格或者收入改变, 效用的最大值也随 之改变
31
总量原理
• 对于消费者一般购买力上的税收优于对于 某种特定商品的税收
• 对于任意两种商品,
U / xi pi U / x j p j
• 这意味着在收入处于的最优配置的时候
pi MRS (xi 对 x j ) pj
16
解释拉各朗日乘子
U / x1 U / x2 U / xn ... p1 p2 pn
MUx1 p1
MUx2 p2
I V ( px , py , I ) px 0.25 py
• 如果我们再次掉换效用和支出的角色, 我们 将获得支出函数
E(px,py,U) = (px + 0.25py)U
45
支出函数的性质
• 齐次性
– 同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支 出
• 一次齐次
• 对于价格非递减
– 对于所有的商品 I ，E/pi 0
消费者选择理论
• 目标：市场需求曲线 • 方法：个人需求曲线加总
– 目标函数－偏好公理（第3章） – 约束－预算约束线（第4章） – 最优化－选择理论（第4章） – 参数变化－个人需求曲线（第5、6章）
1
第 4讲
效用最大化和选择
2
偏好公理
原问题
对偶
Max U x, y s.t. px x p y y I
40
支出最小化
• 点 A 是对偶问题的解
支出水平 E2 足够达到 U1
y的数量
支出水平 E3 允许消费者获得 U1 但是不是做到这点 的最小支出
A
支出水平 E1 太小了达不到 U1
U1
x的数量
41
支出最小化
• 消费者的问题是选择 x1,x2,…,xn 最小化
总支出 = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
– 收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收 入 – 对于某种商品的税收会减少消费者的购买力， 扰乱消费者的选择
32
总量原理
• 对于商品 x 的税收将会把效用最大化的选 择从 A 点移到 B 点
y的数量
B
A U1 U2
x的数量
33
总量原理
• 相同数量的收入税将会把预算约束线移到 I’
y的数量
I’
5
最优化原理
• 为了最大化效用, 在给定能够花费的收入 的条件下, 消费者将要购买商品和服务:
– 花光总收入 – 两种商品之间的心理替代率 (MRS) 等于市场 上的替代率
6
一个数值例子
• 假设消费者的 MRS = 1
– 愿意用1单位 x 换一单位 y
• 假定价格为 x = ￥2 和 y = ￥1 • 消费者可以变得更好
y的数量
U1 U2 U3
在 A 点, 无差异曲线和预算约束线 没有相切
在 A 点效用最大化 x的数量
A
13
n种商品情况
• 消费者的目标是最大化
效用 = U(x1,x2,…,xn)
服从预算约束
I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
• 建立拉各朗日函数:
L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn)
26
CES 需求
• 如果 = -1,
U(x,y) = -x -1 - y -1 • 一阶条件意味着 y/x = (px/py)0.5
• 需求函数是
x* I py px 1 p x
0.5
y*
I p x py 1 py
...
MUxn pn
• 是消费支出额外增加一元的边际效用
– 收入的边际效用
17
解释拉各朗日乘子
• 在边际点, 商品的价格表示了消费者对于 最后一单位商品效用的评价
– 消费者愿意为最后一单位付多少钱
pi
MUxi
18
角点解
• 当考虑角点解的时候, 必须修改一阶条件:
L/xi = U/xi - pi 0 (i = 1,…,n)
L = xy + (I - pxx - pyy)
• 一阶条件:
L/x = x-1y - px = 0 L/y = xy-1 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
20
柯布－道格拉斯需求函数
• 一阶条件意味着:
y/x = px/py
• 因为 + = 1:
• 如果 MRS 不是递减的, 那么我们必须检查 二阶条件以保证我们获得的是最大值。
11
最大值的二阶条件
• 相切仅仅是一个必要条件
– 我们需要 MRS 是递减的
y的数量
在 A 点相切,但是消费者可以在 B点获得 更高的效用
B A
U2 U1
x的数量
12
角点解
• 在有些情况中, 消费者的偏好可能使得他们 仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最 大效用
• 如果L/xi = U/xi - pi < 0, 那么 xi = 0 • 这意味着
U / xi MUxi pi – 任何其价格超过其对于消费者边际价值的商 品消费者都不会购买 19
柯布－道格拉斯需求函数
• 柯布－道格拉斯效用函数:
U(x,y) = xy
• 建立拉各朗日函数:
预算约束线的斜率
px py
dy dx U constant
Hale Waihona Puke Baidu
B
无差异曲线的斜率
U2
px dy MRS py dx U 常数
x的数量
10
最大值的二阶条件
• 相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除 非我们假设MRS 是递减的
– 如果 MRS 是递减的, 那么无差异曲线是严格凸 的
0. 5
27
CES 需求
• 如果 = -,
U(x,y) = Min(x,4y)
• 人们仅仅选择组合 x = 4y
• 这意味着
I = pxx + pyy = pxx + py(x/4) I = (px + 0.25py)x
28
CES 需求
• 因此, 需求函数是
I x* px 0.25 py
8
最大值的一阶条件
• 我们可以利用消费者的效用图来表示效 用最大化的过程
y的数量
A C
消费者可以通过重新配置他的预算做得 好于 A点
消费者不能获得 C 点，因为收入不够
U3 U2 U1
B
点 B 是效用最大化的所在 x的数量
9
最大值的一阶条件
• 在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最 大效用
y的数量
服从约束
效用 = U1 = U(x1,x2,…,xn)
• x1,x2,…,xn 的最优数量依赖于商品价格和要 求的效用水平
42
支出函数
• 支出函数 刻画了在特定价格下达到给定效 用水平所需要的最小支出
最小支出 = E(p1,p2,…,pn,U)
• 支出函数和间接效用函数互相联系
– 都依赖于市场价格但是涉及不同的约束
• 代换进预算约束, 我们可以解出需求函数
I px px [1 ] py I py py [1 ] px
25
x*
y*
CES 需求
• 在这些需求函数中, 花在 x 和 y上的收入 百分比不是一个常数
– 依赖于两种价格的比率
• x (或y)的相对价格越高，花费在 x (或 y) 上的比率越小
I x* px 0.25 py
I y* 4 p x py
• 因此间接效用函数是
I V ( px , py , I ) Min( x *,4 y *) x* px 0.25 py 4 I 4y * 4 px py px 0.25 py
37
间接效用和总量原理
43
两个支出函数
• 在两种商品、柯布－道格拉斯函数下的间 接效用函数为
V ( p x , py , I ) I
0.5 0.5 2 px py
• 如果我们调换效用和收入 (支出) 的角色, 我们将获得支出函数
E(px,py,U) = 2px0.5py0.5U
44
两个支出函数
• 对于固定比率的情况, 间接效用函数是
– 在市场上将1单位x换成2单位y
7
预算约束
• 假设消费者可以利用 I 在商品 x 和 y 之 间配置
pxx + pyy I
y的数量
I py
如果所有收入花费给 y, 这是所能够 买的数量
消费者仅仅能够承担阴影部分三 角形内的x和y的组合
如果所有收入花费给 x, 这是所能够买的数量
I px
x的数量
现在在 C 点获得最大化的效用 U3
A B C U3 U1 U2
x的数量
34
间接效用和总量原理
• 如果效用函数是柯布－道格拉斯形式的， = = 0.5, 我们知道
I x* 2 px
I y* 2 py
• 因此间接效用函数是
V ( px , py , I ) (x*) (y*)
0.5 0.5
I y* 4 p x py
29
间接效用函数
• 经常可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn的 最优值 • 这些最优值依赖于所有商品的价格和收 入
x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I) x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I) • • • x*n = xn(p1,p2,…,pn,I)
• 对于价格是凹的
46
支出函数的凹性
• 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 间接效用从 4 降为 8/3
• 相同数量的收入税将收入减少到 ￥16/3
– 间接效用从 4降为 8/3
• 因为偏好是刚性的, 对于 x 的税收不会扰乱 选择
38
礼品赠送
39
支出最小化
• 效用最大化的对偶是支出最小化
– 镜像，即目标和约束互换 – 配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定 的效用水平
• 一阶条件:
L/x = 0.5x -0.5 - px = 0
L/y = 0.5y -0.5 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
24
CES 需求
• 这意味着
(y/x)0.5 = px/py
I
0.5 0.5 2 px py
35
间接效用和总量原理
• 假设px=1,py=4,I=8 • 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 消费者购买 x*=2 – 间接效用从 2降到1.41
• 同样的税收将会使得收入减少到￥6
– 间接效用从 2 下降到1.5
36
间接效用和总量原理
• 如果效用函数是固定比率的，U = Min(x,4y), 我们得到
14
n种商品情况
• 内点最大值解的一阶条件:
L/x1 = U/x1 - p1 = 0 L/x2 = U/x2 - p2 = 0 • • • L/xn = U/xn - pn = 0 L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0
15
一阶条件含义
pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx
• 替换进预算约束:
I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx
21
柯布－道格拉斯需求函数
• 解出 x
I x* px
• 解出 y
I y* py
• 消费者配置收入中 的比率给商品x ， 比率给商品 y
对于经济学方法的抱怨
• 在现实中没有人进行效用最大化所要求的 “计算” • 效用最大化模型预言了选择行为的许多方 面 • 因此, 经济学家假设人们的行为是仿佛 他 们在进行这种计算
4
对于经济学方法的抱怨
• 关于选择的经济学模型是极端自私的，而 现实中没有人的目标是完全自我为中心的 • 效用最大化模型没有禁止人们从 “做好 事”中获得满足
s.t. U x, y U
Min px x p y y
间接效用函数
支出函数
U* V ( px , py , I )
E* E( px , py ,U )
马歇尔需求
希克斯需求
X d x px , p y , I
斯卢茨基方程
X hx px , p y ,U
3
22
柯布－道格拉斯需求函数
• 柯布－道格拉斯效用函数在对于实际消 费行为的解释力上有局限
– 收入中配置到某种商品上的比率经常随着经 济条件的变化而改变
• 一个更加一般的函数形式可能在解释消 费决策的时候更有用
23
CES需求
• 假设 = 0.5
U(x,y) = x0.5 + y0.5
• 建立拉各朗日函数:
30
间接效用函数
• 我们可以利用这些x的最优值获得间接效 用函数
效用最大值 = U(x*1,x*2,…,x*n)
• 替换每一个 x*i, 得到
效用最大值 = V(p1,p2,…,pn,I)
• 效用的最优水平间接依赖于价格和收入
– 如果价格或者收入改变, 效用的最大值也随 之改变
31
总量原理
• 对于消费者一般购买力上的税收优于对于 某种特定商品的税收
• 对于任意两种商品,
U / xi pi U / x j p j
• 这意味着在收入处于的最优配置的时候
pi MRS (xi 对 x j ) pj
16
解释拉各朗日乘子
U / x1 U / x2 U / xn ... p1 p2 pn
MUx1 p1
MUx2 p2
I V ( px , py , I ) px 0.25 py
• 如果我们再次掉换效用和支出的角色, 我们 将获得支出函数
E(px,py,U) = (px + 0.25py)U
45
支出函数的性质
• 齐次性
– 同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支 出
• 一次齐次
• 对于价格非递减
– 对于所有的商品 I ，E/pi 0
消费者选择理论
• 目标：市场需求曲线 • 方法：个人需求曲线加总
– 目标函数－偏好公理（第3章） – 约束－预算约束线（第4章） – 最优化－选择理论（第4章） – 参数变化－个人需求曲线（第5、6章）
1
第 4讲
效用最大化和选择
2
偏好公理
原问题
对偶
Max U x, y s.t. px x p y y I
40
支出最小化
• 点 A 是对偶问题的解
支出水平 E2 足够达到 U1
y的数量
支出水平 E3 允许消费者获得 U1 但是不是做到这点 的最小支出
A
支出水平 E1 太小了达不到 U1
U1
x的数量
41
支出最小化
• 消费者的问题是选择 x1,x2,…,xn 最小化
总支出 = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
– 收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收 入 – 对于某种商品的税收会减少消费者的购买力， 扰乱消费者的选择
32
总量原理
• 对于商品 x 的税收将会把效用最大化的选 择从 A 点移到 B 点
y的数量
B
A U1 U2
x的数量
33
总量原理
• 相同数量的收入税将会把预算约束线移到 I’
y的数量
I’
5
最优化原理
• 为了最大化效用, 在给定能够花费的收入 的条件下, 消费者将要购买商品和服务:
– 花光总收入 – 两种商品之间的心理替代率 (MRS) 等于市场 上的替代率
6
一个数值例子
• 假设消费者的 MRS = 1
– 愿意用1单位 x 换一单位 y
• 假定价格为 x = ￥2 和 y = ￥1 • 消费者可以变得更好
y的数量
U1 U2 U3
在 A 点, 无差异曲线和预算约束线 没有相切
在 A 点效用最大化 x的数量
A
13
n种商品情况
• 消费者的目标是最大化
效用 = U(x1,x2,…,xn)
服从预算约束
I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
• 建立拉各朗日函数:
L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn)
26
CES 需求
• 如果 = -1,
U(x,y) = -x -1 - y -1 • 一阶条件意味着 y/x = (px/py)0.5
• 需求函数是
x* I py px 1 p x
0.5
y*
I p x py 1 py
...
MUxn pn
• 是消费支出额外增加一元的边际效用
– 收入的边际效用
17
解释拉各朗日乘子
• 在边际点, 商品的价格表示了消费者对于 最后一单位商品效用的评价
– 消费者愿意为最后一单位付多少钱
pi
MUxi
18
角点解
• 当考虑角点解的时候, 必须修改一阶条件:
L/xi = U/xi - pi 0 (i = 1,…,n)
L = xy + (I - pxx - pyy)
• 一阶条件:
L/x = x-1y - px = 0 L/y = xy-1 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
20
柯布－道格拉斯需求函数
• 一阶条件意味着:
y/x = px/py
• 因为 + = 1:
• 如果 MRS 不是递减的, 那么我们必须检查 二阶条件以保证我们获得的是最大值。
11
最大值的二阶条件
• 相切仅仅是一个必要条件
– 我们需要 MRS 是递减的
y的数量
在 A 点相切,但是消费者可以在 B点获得 更高的效用
B A
U2 U1
x的数量
12
角点解
• 在有些情况中, 消费者的偏好可能使得他们 仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最 大效用
• 如果L/xi = U/xi - pi < 0, 那么 xi = 0 • 这意味着
U / xi MUxi pi – 任何其价格超过其对于消费者边际价值的商 品消费者都不会购买 19
柯布－道格拉斯需求函数
• 柯布－道格拉斯效用函数:
U(x,y) = xy
• 建立拉各朗日函数:
预算约束线的斜率
px py
dy dx U constant
Hale Waihona Puke Baidu
B
无差异曲线的斜率
U2
px dy MRS py dx U 常数
x的数量
10
最大值的二阶条件
• 相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除 非我们假设MRS 是递减的
– 如果 MRS 是递减的, 那么无差异曲线是严格凸 的
0. 5
27
CES 需求
• 如果 = -,
U(x,y) = Min(x,4y)
• 人们仅仅选择组合 x = 4y
• 这意味着
I = pxx + pyy = pxx + py(x/4) I = (px + 0.25py)x
28
CES 需求
• 因此, 需求函数是
I x* px 0.25 py
8
最大值的一阶条件
• 我们可以利用消费者的效用图来表示效 用最大化的过程
y的数量
A C
消费者可以通过重新配置他的预算做得 好于 A点
消费者不能获得 C 点，因为收入不够
U3 U2 U1
B
点 B 是效用最大化的所在 x的数量
9
最大值的一阶条件
• 在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最 大效用
y的数量
服从约束
效用 = U1 = U(x1,x2,…,xn)
• x1,x2,…,xn 的最优数量依赖于商品价格和要 求的效用水平
42
支出函数
• 支出函数 刻画了在特定价格下达到给定效 用水平所需要的最小支出
最小支出 = E(p1,p2,…,pn,U)
• 支出函数和间接效用函数互相联系
– 都依赖于市场价格但是涉及不同的约束
• 代换进预算约束, 我们可以解出需求函数
I px px [1 ] py I py py [1 ] px
25
x*
y*
CES 需求
• 在这些需求函数中, 花在 x 和 y上的收入 百分比不是一个常数
– 依赖于两种价格的比率
• x (或y)的相对价格越高，花费在 x (或 y) 上的比率越小
I x* px 0.25 py
I y* 4 p x py
• 因此间接效用函数是
I V ( px , py , I ) Min( x *,4 y *) x* px 0.25 py 4 I 4y * 4 px py px 0.25 py
37
间接效用和总量原理
43
两个支出函数
• 在两种商品、柯布－道格拉斯函数下的间 接效用函数为
V ( p x , py , I ) I
0.5 0.5 2 px py
• 如果我们调换效用和收入 (支出) 的角色, 我们将获得支出函数
E(px,py,U) = 2px0.5py0.5U
44
两个支出函数
• 对于固定比率的情况, 间接效用函数是
– 在市场上将1单位x换成2单位y
7
预算约束
• 假设消费者可以利用 I 在商品 x 和 y 之 间配置
pxx + pyy I
y的数量
I py
如果所有收入花费给 y, 这是所能够 买的数量
消费者仅仅能够承担阴影部分三 角形内的x和y的组合
如果所有收入花费给 x, 这是所能够买的数量
I px
x的数量
现在在 C 点获得最大化的效用 U3
A B C U3 U1 U2
x的数量
34
间接效用和总量原理
• 如果效用函数是柯布－道格拉斯形式的， = = 0.5, 我们知道
I x* 2 px
I y* 2 py
• 因此间接效用函数是
V ( px , py , I ) (x*) (y*)
0.5 0.5
I y* 4 p x py
29
间接效用函数
• 经常可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn的 最优值 • 这些最优值依赖于所有商品的价格和收 入
x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I) x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I) • • • x*n = xn(p1,p2,…,pn,I)
• 对于价格是凹的
46
支出函数的凹性
• 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 间接效用从 4 降为 8/3
• 相同数量的收入税将收入减少到 ￥16/3
– 间接效用从 4降为 8/3
• 因为偏好是刚性的, 对于 x 的税收不会扰乱 选择
38
礼品赠送
39
支出最小化
• 效用最大化的对偶是支出最小化
– 镜像，即目标和约束互换 – 配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定 的效用水平