圆薄板弯曲分析

Abstract: The finite element software is used to solve the buckling problem of circular thin plate. Various results arise under the different element modes. The numerical results will match the theoretical ones when the proper element mode is selected. It is concluded that the plate and shell mode is fiendish to solve the buckling problems. Keywords: Finite element; Thin plate; Buckling problem 一、前言 随着科学技术的发展，板壳已广泛应用于各种工程结构中。因此，其稳定性的 研究已成为一个重要课题。屈曲作为板壳失稳的一种表现形式，已经为很多科学家 及工程师所关注［1－2］。 关于薄圆板在面内压缩力作用下的轴对称屈曲问题早已被不 少人所研究，近年来由于对镀层及层合材料脱层问题力学机理的研究，屈曲及其后 屈曲理论又有了新的应用［3］ 。有些文献[4-6]利用摄动—有限元方法研究了椭圆板的 弹性失稳。或者利用势能原理和非线性有限元法, 分析了具有中心弹簧支承的极正 交各向异性圆板的轴对称稳定性。 有限元软件由于集成化和易用性受到了人们越来越多的关注，在工程应用和验 证理论结果方面有着无可替代的地位。本文对圆板轴对称后屈曲问题利用不同单元 进行了有限元计算，并且将结果与理论解相比较。说明了计算单元对薄板屈曲问题 的影响，对其他类型的稳定性问题有着一定的借鉴意义。
图2
固支圆板轴对ຫໍສະໝຸດ Baidu后屈曲挠度
［7］
图3
固支圆板轴对称后屈曲响应
［7］
四、应用有限元软件分析结果 以上是应用非线性微分方程组对薄圆板的后屈曲响应理论推导和计算。考虑到 有限元分析软件的方便性，现在应用应用软件对薄板屈曲问题进行分析。 取薄板模型周边固支，半径为100单位，厚度为1/3单位，即 h / R = 300 。由于 取薄板弹性模量 E = 3 × 10 7（类似于薄膜弹性模量） ， 泊松比为 v = 0.25 。 λcr = 14.68 ， 计算得到在外载荷约为 σ cr = 150 个单位时，薄板出现轴对称屈曲。
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一开始，考虑到是圆形薄板面内加载问题，故建模为一平面圆形，如图 4所示。 取shell（板）单元，在薄板边缘加面内法向压力，此时，在0.5到4.5倍临界外载荷 的法向压力作用下，经有限元软件计算可以看出，薄板并不发生屈曲失稳情况，仅 仅出现面内轴向位移。即使在圆形薄板中心施加一很小的扰动集中力，使之产生一 个初始小挠度，无论加载多大的外载荷，薄板屈曲情况也不出现，故这个模型并不 适用。
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图6 固支圆板轴对称后屈曲挠度
图7
固支圆板轴对称后屈曲响应
五、结论 由于屈曲问题的特殊性， 在有限元计算时不能应用想当然的单元形式进行计算。 而需要进行具体的分析，选取合适的单元来进行处理。同时可以看出，对于某些稳 定性等特殊问题， 一些标准的有限元分析软件的计算和分析能力是比较有局限性的， 特别是在二次分叉屈曲阶段，有限元分析软件都没有涉及到这些方面。所以对这些 薄板（膜）稳定性（屈曲）问题，有限元软件并非很适用，而应该编一些特殊的有 限元程序，如前言中提到的摄动—有限元方法等等来进行具体的计算。
∇ 2∇ 2ϖ 1 = ci ϖ 0, xx + ϖ 1, xx )
(
( )
1 x
1 f1, x + x12 f1,00 + ( f 0, xx + f1, xx ) 1 x ϖ 1, x + x 2 ϖ 1,00
)
(
)
(2a)
1 1 1 +1 x f 0, xϖ 1, xx + x ϖ 0, x f1, xx − 2 ( x ϖ 1, x ), x ( x f1, x ), x 1 −λcγ ϖ 1, xx + 1 x ϖ 1, x + x 2 ϖ 1,00
5
2
非线性微分方程组（2）的解可以写成级数 ∞ ϖ 1 = ∑ Wk cos ( knθ ) k =0 （3） ∞ f1 = ∑ Fk cos ( kns ) k =0 对于固支边界条件，有 ϖ 1 x =1 = 0 (4) ϖ 1, x x =1 = 0 将上式（3）代入方程（2）得到一组非线性常微分方程组，经过运算可以得到 方程组在 x = 0 处无奇异性的解的表达式为 ∞ (k ) 2m Wk = x kn ∑ am x m=0 （5） ∞ kn (k ) 2m Fk = x ∑ bm x m=0 ~ (k ) ~ (k ) , b 将上式代入此非线性常微分方程组， 可以得到关于 a m m 的非线性代数方程， 通过边界条件作为补充方程，应用数值方法求出具体值，可以最终得到二次分叉后
1
对称第二次分叉屈曲。以下，由挠度ϖ 和应力函数 F 表示的极坐标系中的一对 Karman非线性板方程导出控制圆板二次分叉屈曲和后屈曲的方程，将挠度 w 和应力 函数 F 写成无量纲形式 （1a） ϖ=w h = ϖ 0 +ϖ1
f =
F Eh 2
= f 0 + f1
（1b）
其中，带有下标0的量对应二次分叉屈曲前轴对称屈曲变形的量，带有下标1的量表 示二次分叉屈曲后的增量。二次分叉屈曲后变形的非线性方程为［7］
应用ANSYS对圆薄板的屈曲响应理论计算结果的验证
蒋 泉 丁华建
南通大学 建筑工程学院 （226007）
摘要： 本文利用有限元软件对圆形薄板的屈曲问题进行了计算，在不同的计算单元模式下，计算 结果差异很大。在选取合适的单元形式时，计算结果与理论分析一致。结果表明，常用的板和 壳单元对于薄板的屈曲问题有着一定的局限性。在进行在有限元软件计算时，选择合适的单元 非常重要。 关键词：有限元 薄板 屈曲问题
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屈曲响应。 三、算例结果 应用上面提及的方程组，对图1模型进行分析，图1所示为一圆形脱层薄膜。但 脱层薄膜的厚度与脱层区域的半径 R 以及基底的厚度 H 相比很小时，可以用周边固 定于基底的薄圆板来模拟脱层薄膜。
简单起见，脱层薄膜材料定为各向同性的，假定薄膜无初始挠度，在沿边界均 匀分布的径向内力作用下，板中应力状态为： σ r = σ θ = const 。对于周边固支的圆 板， 用挠度 w 表示的轴对称后屈曲变形模态如图2所示。 当载荷参数 λ 超过临界载荷 参数 λcr 时，随着 λ 值的增加，挠度 w 的值以非线性关系增加。同时板边界处指向板 中心的面内位移 u 的值随 λ 地增加而增大，也是一个非线性关系，如图3表示。其中 u cr 表示当载荷 λ = λ 时的 的值。 u cr
参考文献
[1] Davidson BD. Delamination buckling: theory and experiment. Journal of Composite Materials [J].1991;25:51–78. [2] Yin WL. The effects of laminated structure on delamination buckling and growth. Journal of Composite Materials [J]. 1988;22:502–17. [3] Lee J.J, Choi S. Thermal buckling and post-buckling analysis of a laminated composite beam with embedded SMA actuators. Composite Structures [J]. 1999;47(1):695. [4] X. Wang,G. Lu. Local buckling of composite laminar plates with various delaminated shapes，Thin-Walled Structures [J]. 41 (2003) 493–506 [5] Yeh MK, Tan CM， Buckling of elliptical delaminated composite plates. Journal of Composite Material [J]. 1994;28(1):36–42. [6] Azhari M, Abdollahian M, Bradford MA. Local buckling of composite laminated plate assemblies using the spline finite strip method. Advances in Structure Engineering [J].2000;3(2):173. [7] 王安稳，薄圆板的后屈曲响应及圆形脱层的能量释放率[J].1999; 31(1):75-83.
(
∇ 2∇ 2 f1 =
(
1 x
1 ϖ 1, x 0 − x1 ϖ 1,0 ) − (ϖ 0, xx + ϖ 1, xx ) ( 1 x ϖ 1, x + x ϖ 1,00 ) 2
2 2
−1 x ϖ 0, xϖ 1, xx
其中
c = 12 (1 −ν 2 ) ∇2 (
(2b)
) = ( ), xx + 1x ( ), x + x1 ( )
图4 有限元圆形薄板模型
参照软件帮助文件，对于受对称载荷大变形圆形薄板的处理方法，其把圆形薄 板模型简化为一维情况，用板（shell）单元进行有限元分析，如图 5所示。
图 5 对称载荷下的圆形薄板的一维模型
所以，我们把模型改为如上图所示的情况，另外说明的是结点1指薄板圆心。我 们对模型施加0.5到4.5倍临界外载荷的法向压力作用，此时薄板产生了轴对称屈曲 现象，但是，薄板圆心处的挠度对加载大小并不敏感，基本保持不变，与文献中的 理论得出的结果相差较大。 如果把上面图 5模型中的单元改为梁单元进行有限元分析， 结果与理论解一致， 如图 6和图 7所示。
二、一般圆板轴对称后屈曲的理论推导 设圆形板的圆周半径为 R ，厚度为 h 。用 r 表示板中面上的点离开板中心的距 离，ϖ 表示板屈曲以后中面的挠度。 圆板在面内力作用下发生轴对称屈曲以后，随边界径向力的增加，后屈曲变形 增大，同时在环向产生很高的压应力 σ θ ，在这个力作用下，圆板会在环向产生非轴