定积分及其应用

4.求下列极限.
6.3 定积分的计算
由牛顿莱布尼茨公式可知，计算定积分最终归结为求原函数或不定积分.与不定积分的
基本积分方法相对应，定积分也有换元积分法和分部积分法，它们给定积分的计算带来 了方便. 6.3.1 定积分的换元积分法 定理6.6 设函数f（x）在区间［a，b］上连续，函数x=φ （t）满足条件： （1）φ （t）在区间［α ，β］上有连续导数；
（2）当t在区间［α ，β］上变动时，x=φ （t）的值在［a，b］上变化，且φ （α ）=a，
φ （β）=b，则 (6-5)
式（6-5）称为定积分的换元积分公式．
6.3 定积分的计算
证明 设F（x）是f（x）的一个原函数，在公式（6-5）两边应用牛顿-莱布尼茨公式
可得
定积分∫baf（x）dx中的“dx”，本来是整个定积分记号中不可分割的一部分，但由上述
6.1 定积分的概念与性质
由定积分的定义，前面两个实例可分别表述为：
由曲线y=f（x）（≥0），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形面积为 以速度v（t）（≥0）做变速直线运动的物体，从时刻T1到T2通过的路程为
下面我们不加证明地给出函数f（x）在区间［a，b］上可积的两个充分条件. 定理6.1 若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则f
图 6-1
6.1 定积分的概念与性质
第一步 分割. 任取分点a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b，把底边［a，b］分成n个
第二步 取近似. 在每个小区间［xi-1，xi］上任取一点 ξ i，竖起高线为f（ξ i），则得小曲边梯 形面积Δ Ai的近似值为Δ Ai≈f（ξ i）Δ xi （i=1，2，3，…，n）;
（x）在［a，b］上可积． 定理6.2 若函数f（x）在区间［a，b］上有界，且
只有有限个间断点，则f（x）在［a，b］上可积．
6.1 定积分的概念与性质
例
【例6-1】利用定积分的定义计算定积分∫10x2dx. 解 因为被积函数f(x)=x2在积分区间［0，1］上连续，而连续函数一定可积，所以定积 分的值与区间［0，1］的分法及点ξ i的取法无关，因此，为了便于计算，不妨把区间［0， 1］分为n等份，这样，每个小区间［xi+1，xi］的长度Δ xi=1/n，分点为xi=i/n，取ξ i=xi， 由此得到积分和式
因为f(x)=x2sinx在［－π，π］上是奇函数，所以
6.1 定积分的概念与性质
6.1.4 定积分的性质
为了计算及应用方便，先对定积分做如下两个规定： 在此基础上，我们讨论定积分的以下性质.
性质6.1 常数因子可以提到积分符号的外面，即
（k为任意常数） 性质6.2 两个函数代数和的定积分等于定积分的代数和，即
性质6.6（估值定理） 设m，M分别为函数f（x）在区间［a，b］上的最小值和最大值，则
6.1 定积分的概念与性质
性质6.7（积分中值定理） 如果函数y=f（x）在区间［a，b］上连续，则至少存在一点
ξ ∈［a，b］Baidu Nhomakorabea使得
我们称 为函数y=f（x）在区间［a，b］上的平均值． 积分中值定理的几何意义如下：
例
6.2 微积分的基本公式
6.2.2 微积分基本定理 下面给出微积分基本定理,它不仅揭示了定积分与不定积分的内在联系，而且给出了用原 函数计算定积分的公式.
定理6.5（微积分基本定理） 若函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数,则 （6-4） 式（6-4）称为牛顿莱布尼茨公式. 定理6.5表明:一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任一原函数在区间a,b上的增 量.这样,要计算定积分只需寻找被积函数的一个原函数,再计算原函数在区间a,b上的增 量即可.这为定积分的计算提供了有效简便的方法.
上的定积分，记作∫baf（x）dx，即 其中称f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，x为积分变量，［a，b］为积分区间，a为积分下 限，b为积分上限，∫ 为积分号．
注意：定积分∫baf（x）dx是乘积和的极限，它是一个数，与函数f（x）和区间［a，b］有关，而与积分变量的选 择无关，即∫baf（x）dx=∫baf（t）dt=∫baf（u）du
当λ →0，即n→∞时（现在λ =1n），上式两端取极限即得
6.1 定积分的概念与性质
6.1.3 定积分的几何意义与几何性质 1. 定积分的几何意义 在求曲边梯形面积的问题中，我们看到，如果f（x）>0，图像在x轴之上，积分值为正， 有∫baf（x）dx=A;如果f（x）≤0，那么图像位于x轴下方，积分值为负，即∫baf（x） dx=-A. 如果f（x）在［a，b］上有正有负时，则积分值就等于曲线y=f（x）在x轴上方部分与 下方部分面积的代数和（见图6-2）有∫baf（x）dx=A1-A2+A3 这就是定积分的几何意义.
小区间［xi-1，xi］（i=1，2，3，…， n），小区间的长度记为Δ xi=xi-xi-1 （i=1，2，3，…，n）;
6.1 定积分的概念与性质
第三步 求和. 把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积的 近似值，即 第四步 取极限. 为了保证全部Δ xi都无限缩小，我们要求小区间
长度中最大值
趋向于零，这时和式 边梯形面积A的精确值，即 的极限就是曲
定理6.4 （原函数存在定理） 若函数fx在区间a,b上连续,则积分上限函数
就是函数fx在区间［a,b］上的一个原函数.
6.2 微积分的基本公式
【例6-6】计算下列各题. 解 （1）
（2）令u=sinx,则
,由复合函数求导法则,得
（3）因为当x→0时,该极限属于 0/0型,所以可用洛必达法则求极限,即
（6-1）
6.1 定积分的概念与性质
2. 变速直线运动的路程 设物体做变速直线运动，已知速度v=v（t）是时间间隔［T1，T2］上的连续函数，且v
（t）≥0，试计算这段时间内所走的路程.
第一步 分割. 任取分点T1=t0<t1<t2<…<tn-1<tn=T2，把［T1，T2］分成n个小段，每小 段长为Δ ti=ti-ti-1（i=1,2,…,n）;
定理可知，在一定条件下，它确实可以作为微分记号来对待．也就是将∫baf（x）dx中的
x换成φ （t），则dx就换成φ ′（t）dt，这正好是x=φ （t）的微分．
注意:（1）用x=φ （t）把变量x换成新变量t时，积分上下限也要换成相应于新变量t的积分上下 限． （2）求出f［φ （t）］φ ′（t）的一个原函数F（t）后，不必像计算定积分那样再把F（t）变换 成x的函数，而只要把新变量t的上下限代入F（t）中进行计算即可．
6.1 定积分的概念与性质
性质6.3 若在区间［a，b］上，f（x）=c（c为常数），则
特别地，当f（x）=1时,
性质6.4（区间可加性） 对于任意三个实数a，b，c有
性质6.5 若在区间［a，b］上，函数f（x）≥0［或f（x）≤0］，则 推论6.1 若在区间［a，b］上有f（x）≤g（x），则
6.2 微积分的基本公式
【例6-7】计算下列定积分.
解
例
6.2 微积分的基本公式
【例6-8】求由抛物线y=x2和直线y=x所围成的平面图形的面积. 解 方程组 ,得交点坐标为A(1,1),O(0,0),如图6-5所示,则
图 6-5
例
1.计算下列定积分.
习题6.2
2.计算下列定积分.
3.求下列函数的导数.
定义6.1 设函数f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入n-1个分点 a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b，把区间［a，b］分成n个小区间，其长度Δ xi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）， 在每个小区间［xi，xi-1］上任取一点ξ i，做积f（ξ i）Δ xi（i=1，2，…，n）， 做和式 若极限 （称为积分和）；记λ =max{Δ x1，Δ x2，…，Δ xn}， 存在，则称f（x） 在［a，b］上可积，并称以上的极限值为函数f（x）在［a，b］
图 6-2
6.1 定积分的概念与性质
2. 定积分的几何性质 （1）若f(x)在［－a，a］上连续，且f(x)为奇函数，则 （2）若f(x)在［－a，a］上连续，且f(x)为偶函数，则
例
【例6-2】 求
.
解
由定积分的几何意义知，
表示以原点为圆心，a为半径的上半圆的面
积，故 【例6-3】 计算 解 .
Φx=∫xaf(t)dt（a≤x≤b）,称函数Φx为积分变上限函
数（或变上限积分）,其几何意义如图6-4所示,它具有 下列重要性质:
图 6-4
6.2 微积分的基本公式
定理6.3 若函数fx在区间a,b上连续,则积分变上限函数Φx=∫xaf(t)dt在区间［a,b］上
可导,且其导数为
（6-3）
即积分变上限函数对上限x的导数等于被积函数在其上限处的函数值. 定理6.3说明,积分变上限函数Φx是连续函数fx的一个原函数,因此可得原函数存在定理.
第二步 取近似. 把每小段［ti-1，ti］上的运动视为匀速，任取时刻ξ i∈［ti-1，ti］，做乘
积v（ξ i）Δ ti，显然这小段时间所走路程Δ si可近似表示为 Δ si≈v（ξ i）Δ ti,i=1,2,…,n
第三步 求和. 把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即
第四步 取极限. 记 ，则 （6-2）
第 六 章
定积分及其应用
6.1 定积分的概念与性质 6.2 微积分的基本公式
目录
6.3 定积分的计算
*6.4 广义积分 6.5 定积分的应用
6.7 数学实验六
6.1 定积分的概念与性质
在科学技术和现实生活的许多问题中，经 常需要计算某些“和式的极限”.定积分就 是从各种计算“和式的极限”问题中抽象 出的数学概念，它与不定积分是两个不同
的数学概念.但微积分基本定理却把这两个
概念联系起来，解决了定积分的计算问题， 使定积分得到了广泛的应用.
6.1 定积分的概念与性质
6.1.1 引例 1. 曲边梯形的面积 设曲线y=f（x）在x轴的上方且连续，由这条曲 线和直线x=a，x=b，y=0所围成的图形（见图 6-1）称为曲边梯形，其中曲线称为曲边.由于曲 边梯形在底边上的高f（x）在区间［a，b］上是 变化的，所以它的面积不能直接运用初等数学方 法计算出来，于是我们采用如下方法来解决：
5.估计下列积分值的范围.
6.2 微积分的基本公式
利用定积分的定义计算定积分是非常 困难的，因此，必须寻求简便有效的
计算定积分的方法.这里将通过研究定
积分与不定积分之间的内在联系解决 定积分的计算问题.
微课:变上限积分函 数
6.2 微积分的基本公式
6.2.1 积分上限函数及其导数 设函数fx在区间a,b上连续,x为区间a,b上的一点,则积
设f（x）≥0，则由曲线y=f（x）、直线x=a、x=b以及x轴所围成的
曲边梯形的面积等于以区间［a，b］的长度为底、以f（ξ ）为高的 矩形的面积（见图6-3）．
图 6-3
6.1 定积分的概念与性质
【例6-4】 不计算定积分，比较下列各组积分值的大小. 解 （1）因为当x∈［1，2］时，lnx≤lnx2，由定积分的上述性质得 （2）因为当x∈0，π4时，sinx≤cosx，同样由定积分的上述性质得
分∫xaf(x)dx存在,此时x既表示积分上限,又表示积分变
量.因定积分与积分变量无关,为避免混淆,把积分变量x 改写成t,于是上面的定积分可以写成∫xaf(t)dt.
显然,当x在区间a,b上任意变动时,对应于每一个x值,积
分∫xaf(t)dt.都有一个确定的数值与之对应,所以在区间 a,b上定义了一个关于上限x的函数,记作Φx,即
例
6.1 定积分的概念与性质
【例6-5】 利用定积分的性质，估计积分
的取值范围．
解
f（x）=x（x-2）在［0，2］上的最大值M=0，最小值m=-1，根据定积分性质6.6得
即
例
习题6.1
1.说明下列积分的几何意义，并求其值.
2.求下列定积分.
3.用定义计算下列定积分. 4.比较下列定积分的大小.
6.1 定积分的概念与性质
6.1.2 定积分的概念 以上两个实例有不同的实际意义，前者是几何 量，后者是物理量，但计算这些量使用的方法 是相同的．抛开两个问题的实际意义，比较式 （6-1）和式（6-2），从表达式在数量关系 上的共同特征，抽象出定积分的定义．
微课：定积分的概念
6.1 定积分的概念与性质