第四节非线性回归模型的参数估计 (赵)43页PPT

第四章非线性回归与非线性约束ppt课件

应接近于零。
因此，拉格朗日乘数检验就是检验某些拉格朗日乘
数的值是否“足够大”，如果“足够大”，则拒绝
约束条件为真的假设。
检验思路：
H0:Y12X2 kmXkmu(有约束条 ) 件模型 H1:Y12X2 kmXkm kXku(无约束条件)
对于非约束的极大估似计然量 UR,有LUnRL0. 若约束条件成，则立施加约束条件的下极大似然估计量
但最终的极大似然量估都计是一致的和
渐近有效。的
二、非线性约束似然比检验和拉格朗日乘数检验
这两种检验所用统计量都是基于极大似然估计法的计算,可用于检验数据是否支持某些参数限制条件。
二、非线性约束
当对模型 Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型:
Yf(X1,X2, Xk,10 ,20 , p0)i p1i0(fi)|0
p f
i1
i(i)|0
u
f
一组令新左的边自为变一量个，新(的1因,变2,量，右p)边为未(知i )参|数0为，
则原模型转化成线性模型，可以用普通最小二乘
法来估计这些参数。
将(1,2,p)的第一次估计(值 11,记 21, 为p1),
对非线性约束，沃尔德统计量W的算法描述要复杂得多。
3、拉格朗日乘数检验（LM）
• 与W检验不同的是拉格朗日（Lagrange）乘数（LM）检验只需估计约束模型。所以当施加约束条件后模型形式变得简单时，更适用于这种检验。LM检验是由艾奇逊— 西尔维（Aitchison-Silvey 1960）提出的。
首先，用OLS法估计约束模型，计算残差序列
e ty tˆ1ˆ2 x 2 t ˆqx qt

非线性回归课件

§8.1 可化为线性回归的曲线回归
C o effi ci en ts
St andardi zed
U ns tandardize Cdoef f icie C oef f icients nts
Model
B Std. ErrorBeta
t
1
(C ons t8a.n1t9) 0 .043
190. 106
《非线性回归》PPT课件
§8.2 多项式回归
称回归模型
yi=β0+β1xi1+β2xi2+β11
x
2 i1
+β22
x
2 i2
+β12xi1xi2+εi
为二元二阶多项式回归模型。
它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β1 和β2，二次项系数β11 和β22，并含有交叉乘积项系数β12。交叉乘积项表示 x1与 x2的交互作用。
线性回归 y=b0+b1t
Regression Residuals
Analysis of Variance:
DF Sum of Squares
1
9454779005.1
16
1588574273.6
Mean Square 9454779005.1
99285892.1
F
Signif F
95.22782 .0000
Adjus t ed Rof t he
Model R R SquareSquareEs t imD atuerbin-W at s on
1
. 996a . 992
.89.971601E-02
. 616
a.Predic t ors : (C onst ant ), T

高级计量经济学第四章非线性模型[精]

已经有专门的软件(DEA)。
随机性前沿函数(Stochastic frontier)
基于统计技术，需要对技术效率的分布形式做出假定，利用最大似然法估计。
该法也已经得到广泛应用，也有多种专门的软件。
Frontier Limdep/Nlogit Stata
21
随机前沿函数
线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从一组参数的初始值开始将非线性函数线性化，然后求解线性方程组并得到新的估计值；重复上述步骤直到估计结果达到收敛标准或达到最大迭代次数时为止。
10
NLS方法
用线性化迭代求解法做回归包括以下步骤：
在未给定初始值的情况下，利用OLS方法估计系数（或用其他算法得到的估计值）作为初始值，反之利用给定的初始值。
26
EVIEWS下用最大似然法估计参数非线性方程
最大似然法适合更为一般化的情况
在EVIEWS下选择Object/New Object/LogL 在随后出现的窗口中根据研究需要定义似然函数
需要调用EVIEWS的多个函数功能给出参数的初始值
调用Estimate并确定有关选项得到估计结果可以在File下选择New/Program建立程序文件，更便于
5
两种主要的估计技术
非线性最小二乘法（NLS）
以残差平方和最小为标准获得参数估计通常基于误差项满足正态分布的假定一般计量经济软件有标准的指令和算法
最大似然法（ML）
以似然值最大为标准获得参数估计误差项可以为任意统计分布形式不同情况需要用到不同的指令和算法
计算技术效率采用以下公式（以生产函数为例）：

计量经济学-詹姆斯斯托克-第8章-非线性的回归模型ppt课件

.
32
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
LnY
X
模型1：截距不同，斜率相同。
.
33
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型2：
L n ( Y )0 1 X 2 (X * D ) u
.
34
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
–
ln(x)
=
ln
1
x x
x x
例如:
(微积分: d ln(x) 1 ) dx x
ln(1.01) = .00995 .01;
ln(1.10) = .0953 .10
12
.
二、对数回归
1、线性对数模型
Y01Ln(X)u
参数含义： X改变1%引进Y变化多大？
13
.
Y = 0 + 1ln(X) +ui
Y——考试成绩； D1——教师学生比（比值>20取1，否则0：） D2——英语学习者的比例（比值>10%取1，否则0 ）
.
31
三、自变量之间的交互作用
2、连续变量与二元变量间的交互作用
模型1：
L n (Y )01 X 2 D u
Y——收入； X——工作经验（连续） D——学历（大学学历取1，否则取0）
x
的图象
.
50
四、双曲函数曲线
双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程
一般有以下3种形式：
yˆ x a bx
yˆ a bx x
1 yˆ
a bx
y
1y
b
a＞， 0b＜0

《非线性回归》课件

灵活性高
非线性回归模型形式多样，可以根据实际数据和问题选择合适的模型，能够更好地适应数据变化。
解释性强
非线性回归模型可以提供直观和易于理解的解释结果，有助于更好地理解数据和现象。
预测准确
非线性回归模型在某些情况下可以提供更准确的预测结果，尤其是在数据存在非线性关系的情况下。
缺点
模型选择主观性
势。
政策制定依据
政府和决策者可以利用非线性回归模型来评估不同政策方案的影响，从而制定更符合实际情况的政策。例如，通过分析税收政策和经济增长之间的关系，可以制定更合理的税
收政策。
生物学领域
生态学研究
在生态学研究中，非线性回归模型被广泛应用于分析物种数量变化、种群动态和生态系统稳定性等方面。通过建立非线性回归模型，可以揭示生态系统中物种之间的相互作用和环境因素对种群变化的影响。
模型诊断与检验
诊断图
通过绘制诊断图，可以直观地观察模型是否满足回归分析的假设条件，如线性关系、误差同方差性等。
显著性检验
通过显著性检验，如F检验、t检验等，可以检验模型中各个参数的显著性水平，从而判断模型是否具有统计意义。
04
非线性回归在实践中的应用
经济学领域
描述经济现象
非线性回归模型可以用来描述和解释经济现象，例如消费行为、投资回报、经济增长等。通过建立非线性回归模型，可以分析影响经济指标的各种因素，并预测未来的发展趋
VS
生物医学研究
在生物医学研究中，非线性回归模型被用于分析药物疗效、疾病传播和生理过程等方面。例如，通过分析药物浓度与治疗效果之间的关系，可以制定更有效的治疗方案。
医学领域
流行病学研究
在流行病学研究中，非线性回归模型被用于分析疾病发病率和死亡率与各种因素之间的关系。通过建立非线性回归模型，可以揭示环境因素、生活方式和遗传因素对健康的影响。

06非线性回归模型-PPT课件

9
例6.2.1：设某商店1991—2000年的商品流通费用率和商品零售额资料如表6.2.2所示。根据表中资料，配合适当的回归模型分析商品零售额与流通费用率的关系，若 2019年该商店商品零售额为36.33万元，试预测2019年的商品流通费用额。
解：
第一步，绘制散点图(见图6.2.1)。从图中可以清楚地看到：随着商品零
►由于这类模型的因变量没有变形，所以可以直接采用最小二
乘法估计回归系数并进行检验和预测。
– 第二类，间接代换型
►这类非线性回归模型经常通过对数变形代换间接地化为线性回归模型。如式(6.1.5)、式(6.1.6)和式(6.1.7)。
6
►由于这类模型在对数变形代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小二乘估计失去了原模型的残差平方和为
2
曲线的形式也因实际情况不同而有多种形式。配曲线问题主要包括：
– 1、选配拟合曲线（即确定变量间函数的类型）： ►可以根据理论分析或过去的实际经验事先确定； ►不能根据理论或过去积累的经验确定时，根据实际资料作散点图，从其分布形状选择适当的曲线来配合。 – 2、确定相关函数中的未知参数
►最小二乘法是确定未知参数最常用的方法。

– (3)对数模型，其方程式为
y l n x u i 1 2 i i
– (4)三角函数模型，其方程式为
( 6 . 1 . 3 )
y s i n xu ( 6 . 1 . 4 ) i 1 2方程式为
x x u 0 1 1 i 2 2 i i y e i
– (6)幂函数模型，其方程式为
b y a x u i i i
i y = a b u i

人教A版高中数学选修233.非线性回归分析教学PPT课件

复习引入
身高
180 175 170 165 160 155 150
32 34 36 38 40 42
选变量
画散点图
选模型
估计参数
一元线性模型建立过程
解：选取脚码为解释变量x，身高为预报变量y
180 175 170 165 160 155 150
30
身高
身高线性 (身高)
35
40
45
假设线性回归方程为：ŷ=bx+a
合作探究——能力提升
通过适当变换，将下列函数转化成线性型函数
⑴ 幂函数曲线 y=axb
合作探究——能力提升
⑴ 幂函数曲线 y=axb 处理方法：两边取自然对数得：lny=lna+blnx; 再令 u=_______,
v=________, c=________. 得到线性函数u=bv+c 。
合作探究——能力提升
分析和预测
最小二乘法
提出问题
一只红铃虫的产卵数y与温度x 有关,现收集了7组观测数据如下：
温度x 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y 7 11 21 24 66 115 325
试建立y与x之间的回归方程；预测温度为28℃时红铃虫的产卵数目。
问题解决
建立什么样的函数模型？
人教A版高中数学选修233.非线性回归分析教学PPT 课件
通过适当变换，将下列函数转化成线性型函数
(2)指数曲线 y=aebx
b
(3)倒指数函数 y ae x
(4) 对数曲线 y=a+blnx
课堂小结
1 怎样建立回归模型？ 2 化未知为已知的数学思想
课外阅读
1、华尔街根据民众情绪抛售股票； 2、对冲基金依据购物网站的顾客评论，分析企业产品销售状况； 3、银行根据求职网站的岗位数量，推断就业率； 4、投资机构搜集并分析上市企业声明，从中寻找破产的蛛丝马迹； 5、美国疾病控制和预防中心依据网民搜索，分析全球范围内流感等病疫的传播状况；

回归模型的参数估计与假设检验PPT课件

第4页/共34页武汉大学测绘学院孙海燕
第三章回归模型的参数估计与假设检验
第二节线性回归模型
线性回归模型
y 0 1x1 2 x2 m xm
线性回归理论模型回归方程的系数 n组观测数据
E( y) 0 1x1 2 x2 m xm
j j 1,2 m
yi , x1i , x2i , xmi
平方和来表示，称为总偏差平方和，记为
n
S总 ( yi y)2 i 1
n
[( yi yˆi ) ( yˆi y)]2 i 1
n
n
n
( yi yˆi )2 ( yˆi y)2 2 ( yi yˆi )( yˆi y)
i 1i 1i 1S残 S回第15页/共34页武汉大学测绘学院孙海燕
S总 S残 S回
回归平方和 :
变量 xi 的变化而引起的 yˆi对 y 的偏离平方和
n
S回 ( yˆi y)2 i1
残差平方和 :
各种偶然因素干扰所引起的 yi 与 yˆ i 偏离的平方和
n
S残 ( yi yˆi )2 i1
第17页/共34页武汉大学测绘学院
孙海燕
第三章回归模型的参数估计与假设检验
S总 S残 S回
n
i1
( yi
2
y)
S总
2
2 (n 1)
n
i1
( yi
2
yˆi )2
S残
2
2 (n (m 1))
n
i1
( yˆi
2
y)2
S回
2
2(m)
S回 F m
S残 n (m 1)
第18页/共34页武汉大学测绘学院孙海燕

非参数回归的介绍ppt课件

其中 W xd ia g(K h(xxi))n n
1 x1 x L
X
x
1
x2 x
L
M M
1
xn x
L
( x1
p
x)p !
(x2
x)p
p!
M
(xn x)p p !
Y1
Y
Y
2
M
Y
n
.
20
局部回归
得到加权最小二乘估计
m ˆh L P E (x ) X xˆ(x ) X x (X x T W x X x ) - 1 X x T W x Y
G-M估计是卷积形式的估计，P-C估计可看成G-M估计的近似: 当K连续 x (si1, si )
m ˆ h G M ( x ) i n 1 Y i( s i s i 1 ) K h ( x x ) m ˆ h P C ( x )
.
12
局部回归
核估计存在边界效应，边界点的估计偏差较大, 以N-W估计为例，如下图
写成线性光滑器的形式：
m ˆh PC(x) in1W hi(x)Yi W h i(x ) (x i x i 1 )K h (x x i)
在随机设计模型下，P-C估计可由x的密度估计：
fˆ(x)[n(xixi1)]1
推导出来，相关文献可参考härdle(1994)和李竹渝等(2007)
.
11
局部回归
缺点：(1).回归函数的形式预先假定 (2).模型限制较多：一般要求样本满足某种分布要求，随机误差满足
正态假设，解释变量间独立，解释变量与随机误差不相关，等
(3)需要对模型的参数进行严格的检验推断，步骤较多 (4).模型泛化能力弱，缺乏稳健性，当模型假设不成立，拟合效果不好，需要修正或者甚至更换模型

非线性回归分析PPT课件

10
第10页/共30页
（2）剩余标准差s：类似于一元线性回归中标准差的估
计公式，此剩余标准差可用残差平方和来获得，即
s
( yi yi )2
n2
s为诸观测点yi与由曲线给出的拟合值yˆi 间的平均偏离程度的度量，s越小，方程越好。
11
第11页/共30页
在观测数据给定后，不同的曲线选择不会影响
6
对上述非线性函数，参数估计最常用的方法是“线性化”方法。
以1/y=a+b/x为例，为了能采用一元线性
回归分析方法，我们作如下变换
u=1/x,v=1/y 则曲线函数就化为如下的直线v=bu
这是理论回归函数。对数据而言，回归方程为
vi=a+ bui + i 于是可用一元线性回归的方法估计出a,b。
5
第5页/共30页
本例中，散点图呈现呈现一个明显的向上且
上凸的趋势，可能选择的函数关系有很多，比如，我们可以给出如下四个曲线函数：
1) 1/y=a+b/x
2)
y
y
y10a=0ab+a bexlnx/bx(b
0)
3)
4)
在初步选出可能的函数关系(即方程)后，我
们必须解决两个问题第6页：/共如30页何估计所选方程中的
➢ 回归分析和相关分析目的不同
在回归分析中，寻找的是变量之间的关系，代表这种关系的方程可能就是所期望的结果，也可能是所期望预测的均值。
21
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虚拟变量回归预测
22
第22页/共30页
虚拟变量回归预测
１．虚拟变量品质变量不像数量变量那样表现为具体的数值。
它只能以品质、属性、种类等形式来表现。要在回归模型中引入此类品质变量，必须首先将具有属性性质的品质变量数量化。通常的做法是令某种属性出现对应于1，不出现对应于0。这种以出现为１，未出现为０形式表现的品质变量，就称为虚拟变量。２．带虚拟变量的回归模型

第4章非线性回归模型的

p
• 移项整理后得到
p f f Y f ( X 1 , X 2 , X k ; 1, 0 , 2, 0 , p , 0 ) i , 0 i i 1 i 0 i 1 i 0 p
• 令
f Y Y f ( X 1 , X 2 , X k ; 1,0 , 2,0 , p , 0 ) i , 0 i 0 i 1
• 不断重复上述过程，直至参数估计值收敛为止。即l+1组参数估计值与第l组参数估计值没有显著差别时为止。 • 这个方法的一个优点是计算效率比较高，另一个优点是因为每一次迭代都是一次线性回归，因此可以进行标准的显著性检验、拟合优度检验等各种统计检验。
具体步骤
• 第一步， • 根据经济理论和历史统计资料，选定 ( , , ) 作为未知参数(1, , 2, , p, )的一组初始估计值。接着将模型 Y f ( X1, X 2 , X k ; 1, 2 , p ) 中的非线性函数f在这组初始估计值附近作泰勒极数展开，得（*）
第4章非线性回归模型的线性化
1 变量间的非线性关系 2 线性化方法 3 案例分析
4.1 变量间的非线性关系
对于非线性回归模型，按其形式和估计方法的不同，可以分为三种类型： 1 非标准线性回归模型 Y 例： f ( X , X ,, X ) f ( X , X ,, X ) f ( X , X ,, X ) 2 可线性化的非线性回归模型例： Y AK L e 3 不可线性化的非线性回归模型 x x 例： Y 0 1e 2e
p
f f f Z1 , Z2 ,Zp p 0 1 0 2 0

大学生课件_数学统计学：回归模型课件：第四节非线性回归模型的参数估计

模型转化成多元线性回归模型。
例5(P49) 求某行业的总成本函数和边际成本函数
(Eviews实现)
*二、不可线性化模型
一般采用高斯—牛顿迭代法进行估计，即将其展开成泰勒级数之后，再利用迭代估计方法进行估计。
1．迭代估计法
（1）根据经济理论和所掌握的资料，先确定一组数作为参数的初始估计值；
（2）将模型在点取一阶近似值：
需要指出的是，上述迭代估计过程的收敛性及收敛速度与参数初始值的选取密切相关。若选取的初始值与参数真值比较接近，则收敛速度较快；反之，则收敛缓慢甚至发散。因此，估计模型时最好依据参数的经济意义和有关先验信息，设定好参数的初始值。
2．迭代估计法的EViews软件实现
利用EViews软件，可以很方便地使用高斯—牛顿迭代法估计非线性回归模型。具体步骤为：
b

dy d ln
x

dy dx / x

y x /
x
=
y的增长幅度 x的增长速度
即x增加1%时，y 将增长0.01b个单位(增长100b%)。
指数函数模型 ln y a bx 中
b d ln y dy / y y / y = dx dx x
y的增长速度 x的增长幅度
整理得：
y

a0 (b0 c0 ) (x c0 )2
x
=
a
x x

b0 c0

b
a0 x c0

c
a0 (b0 x) (x c0 )2
V
（3）作变量变换，设

y

y

a0 (b0 c0 )x (x c0 )2

非线性模型的参数估计

非线性模型的参数估计沈云中同济大学测量系E-mail: yzshen@提要•概述•非线性模型•线性化问题•参数估计问题•估值精度的评定问题•几种特殊的非线性模型•结论概述均值µ 方差σ² 的观测值l ，其二次型l² 的期望值为：非线性模型的估值往往是有偏的！E(l²) = var(l ) + {E(l )}² = σ² + µ²l非线性观测模型的假设在准则参数估值是唯的x1、在准则下，参数估值是唯一的2、在观测值的误差范围内，参数估值是稳定的非线性模型参数估计的现状1、顾及二次项的估计1、顾及次项的估计2、参数估值可采用全局优化方法解算3估值的精度没有给出3、估值的精度没有给出非线性观测方程非线性观测方程：约束条件：(,)0l x f l e x e ++=()0x g x e +≤估计准则：()0x h x e +=min :l l xx xe Pe e P e +T T Lagrange 函数：P T T ()()(,,,,)2(,) 22l x ll xx x l x x x L e e λμκe Pe e P e λf l e x e μg x e κh x e =++++++++TTT观测方程的简化形式•待估参数没有先验信息(,)0l f l e x +=参数x 从初值x 0出发迭代计算•可表示成观测值的显式()l l e f x +=T()()min : ()()()x l f x P l f x =−−S非线性方程的线性化•非线性观测方程直到二解的展开式()13ˆˆˆ()()()()T f x f xf x x x f x x O δδδ=+++&&&⎡2ˆx x xδ=−21ˆ()ˆ()T T T i i T n f x x f x x x x x f x x x δδδδδδ&&&&×⎤∂⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∂∂⎣⎦22; T T T N TNx f xx f xfδδδδδδκκ&&&&&&==向fx x δδ切向分量法向分量顾及二次项的非线性估计•非线性估值的二次展开式非线性估值的次展开式1ˆ3xg l v g l g l v v g l v ′′′=+=+++TO •估值有偏()()()()()2l l l l ()1ˆ {}2l x x g D ′′=+⎡⎤⎣⎦i E tr •二次无偏估值()1ˆ 2l x x g D ′′=−⎡⎤⎣⎦)itr非线性模型的参数估计问题非线性模型的参数估计：1.局部极值点计算2.搜索更优极值点的区域Mountainshigher thanwhere I amwhere I am图引自徐培亮局部极值计算•BFGS 拟牛顿算法牛顿算(1)()k k k kα+=+xxd ()()d H x =−∇k k k S T T T=−−10()() k k k k k k k k k k kρρρ++=H E p q H E q p p p H E11)()k k +k Tk kρq p =()k =−p xx1)+∇k k ()()()()q xx =∇−k S S()k ()x ε∇<S 迭代停止条件：全局最优解算法•非线性、非凸目标函数的全局最优解步骤如下：1.由初值x 计算S(x ，寻找满足下面条件的可行集I xmin :()x S 0(0)20()()0x x −<S S 2.在某个子集I x i 内计算S (x )的局部极值S ﹡3. 寻找满足下面条件的更新可行集I x n()0, x x x∗−<∈S S I 4. 重复2与3步，直至更新的可行集为空集。

4-非线性回归

4．非线性回归4.1 矩估计4.1.1 基本设定经典非线性回归的基准模型设定如下：(4-1)其中，。

在不引起误解的情况下，我们使用来表示样本和参数的函数。

对应的，矩阵表示形式如下：(4-2)在非线性回归的框架下，除了保留线性回归下的外生假定和球形假定，还需要如下可识别假定：假定4-1（可识别假定）：对参数空间中的任意有，其中，Z为工具变量，为参数的真值。

由于非线性回归的性质基本是建立在大样本分析的框架上，因此它并不需要假定误差项的正态性。

由定义可知，参数的矩估计对应求解如下样本矩条件：(4-3) 此处工具变量Z是解释变量X的函数，为的满列秩矩阵。

4.1.2 性质1．一致性严格的证明比较复杂，参考Davidson和Mackinnon（2003）的处理，此处只给出估计量一致性的一个直观的说明。

假定存在，其中为于n无关的常数向量。

式（4-3）取概率极限，可有由可识别假定可知有，，所以有，即式（4-3）解得的估计量为真实参数的一致估计。

2．渐近正态性令，，假定有如下结论成立：；；。

其中和为有限正定矩阵，为有限可逆矩阵。

将式（4-3）乘以，则有(4-4)令在处中值展开，上式可转化为：(4-5) 则式（4-5）可转化如下：(4-6)由中心极限定理有。

所以有，(4-7) 3．渐近有效性由和的定义有，易知，当时，的渐近协方差阵可以达到最小，此时渐近协方差阵为。

但是，由于含有未知参数，使用作为Z的矩估计并不可行。

实际计算时，我们必须找到其对应的可行估计量。

4.2 LS估计4.2.1NLS估计量非线性模型的LS估计也称为NLS估计。

同样的，由LS估计的思想可知，NLS估计的最优化目标函数可设定如下：(4-8)上式对求一阶导，可得：令一阶导为0，则我们可以获得如下最优化条件：(4-9)对比式（4-9）与（4-3）可知，此时的NLS估计事实上是矩估计在时的特例，因此关于矩估计的性质分析也可以应用到对NLS估计的分析。

同样的，在渐近可识别的假定下，NLS估计也是一致估计。

参数估计PPT课件

参数估计
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找使似然函数最大的参数值，该值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。

非线性回归PPT课件

√
S
S形函数
y exp(b0 b1 / t)
Logistic
逻辑函数
y 1 ,u是预先给定的常数
1 u
b0b1t
Growth Exponent
增长函数指数函数
y exp(b0 b1t)
y b0 exp(b1t)
第3页/共62页
√
√
3
对以上各种曲线回归，选用SPSS的Regression 命令下的Curve Estimation命令，即可直接拟合各种曲线回归，不必作任何变量变换。
y x x x2 x2 x x
i
0
1 i1
2 i2
11 i1
22 i 2
12 i1 i 2
i
检验是否有交互效应，并检验风险反感度的二次效应。 26 第26页/共62页
序号 1
x1 66.29
x2
y
7
196
2
40.964
5
63
3
72.996 10 252
4
45.01
6
84
5
11
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非线性回归 (例题分析)
1. 用双曲线模型：
y 1 , x 1 , 则有y x
y x 2. 按线性回归的方法求解和，得
yˆ 0.038 0.026x
1 0.038 0.026 1
yˆ
x
12
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非线性回归 (例题分析)
需求量
价格与需求量的散点图
9.23
1987
7
11962.5
12350.06
-387.56
9.39
1988