第五章离散趋势的测量
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庭人均月收入的四分位差为：
• QU—QL=?
• 上四分位数 下四分位数: • 数值型分组数据的四分位数(计算公式)
• 四分位差主要用于测度顺序数据的离散程
度。当然，对于数值型数据也可以计算四 分位差，但不适合于分类数据。
• 优缺点：主要是避免了全距受极端值影响
的缺点，其他优缺点同全距：数据利用率 低，信息丧失严重；受抽样变动影响大。
第五章 离散趋势测量法
本章主要内容：
离散趋势的测定方法（重、难点） 各种离散趋势测量指标的比较
第一节 变异指标相关概念
• 一、变异指标含义
• 平均指标是统计总体中各单位某一数量标志的
一般水平，反映了总体分布的集中趋势。集中 趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是 各变量值向其中心值聚集的程度。而这种聚集 的程度显然有强弱之分，这与各变量值的差异 有着密切的联系。变量值的差异越大，数值的 集中趋势越弱，变量值的差异越小，数据的集 中趋势越强。因此，要全面描述数据的分布特 征，除了要对数据集中趋势加以度量外，还要 对数据的差异程度进行度量。数据的差异程度 就是各变量值远离其中心值的程度，因此也称 为离中趋势。
特征值，因此，它在统计分析、统计推断 中具有很重要的作用。具体可以概括为以 下几点：
• 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性
• 一般来说，标志变异指标数值越大，总体
各单位变量值分布的离散趋势越高、均衡 性越低，反之，变量值分布的的离散趋势 越低、均衡性就越高。
• 2.判断平均指标对总体各单位变量值代表性的高
• QU的位置＝
3(n+1) 4
=
3
(9+1) 4
=7.5
，即QU在第7个数值
（1500）和第8个数值（1630）之间0.5的
位置上，因此
• QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元）
• QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我
们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 1565元之间。
• 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家
Q·D=(Q3-Q1) /2
• 四分位差反映了中间50%数据的离散程度，
其数值越小，说明中间的数据越集中；数 值越大，说明中间的数据越分散。此外， 由于中位数处于数据的中间位置，因此， 四分位差的大小在一定程度上也说明了中 位数对一组数据的代表程度。
• [例3.2]在某城市中随机抽取9个家庭，调查
缺点：
（1）受极端值影响大，遇含开口组的资料时 无法计算；
（2）数据利用率低，信息丧失严重； （3）受抽样变动影响大（一般大样本的全距会 比小样本的全距大）。
二、四分位差（inter-quartile range） 上四分位数与下四分位数之差的平均数，称
为四分位差，亦称为内距或四分间距。 四分位差的计算方法：
• 从计算结果看，甲、乙两组平均生产件数
相等，但由于甲组的平均差（1.2件）小于 乙组的平均差（16件），因而其平均数的 代表性比乙组大。
第三节、平均差(Mean deviation)
• 平均差是各变量值与其算术平均数离差绝
对值的平均数，用A.D表示。根据掌握资料 的不同，平均差有以下两种计算方法：
• 1. 简单平均法 • 对于未分组资料，采用简单平均法。其计
算公式为：
• [例3.13] 某厂甲、乙两组工人生产某种产
品的产量资料如表3.8所示。
最小值。由于全距是根据一组数据的两个极值表
示的，所以全距表明了一组数据数值的变动范围。
越大，表明数值变动的范围越大，即数列中各变
量值差异大，反之，越小，表明数值变动的范围 越小，即数列中各变量值差异小。
• [例3.12] 例3.1给出的40个同学统计学的考
试成绩，其最高成绩为99分，最低成绩为 36，则全距为：
离势，主要有异众比率、标准差系数、平 均差系数和一些常用的偏态系数。
第二节、全距与四分位差
• 一、全距
• 1、未分组资料计算公式
• 全距又称极差，是一组数据的最大值与最小值之
差，用表示。计算公式为：in( X i )
• 式中，max(Xi) 、min( Xi分) 别表示为一组数据的最大值与
得到每个家庭的人均月收入数据如下（单 位:元），1500、750、780、1080、850、 960、2000、1250、1630，计算人均月收 入的四分位数。
•
解：QL的位置＝
n+1 4
=
9+1 4
=2.5
，即QL在第2个数值（780）
和第3个数值（850）之间0.5的位置上，因
此
• QL＝（780＋850）÷2＝815（元）
低
• 平均指标作为总体各单位某一数量标志的代表值，
其代表性的高低与总体差异程度有直接关系：总 体的标志变异指标值愈大，平均数的代表性愈低； 反之，标志变异指标值愈小，平均数代表性愈高。 另一方面，平均指标代表性的高低同总体各单位 变量值分布的均衡性也有直接关系：总体各单位 变量值分布的均衡性越高，平均指标代表性就越 高；反之，总体各单位变量值分布的均衡性越低, 平均指标代表性就越低。
• 3.在实际工作中，借助标志变异指标还可
以对社会经济活动过程的节奏性和均衡性 进行评价
• 4.标志变异指标是衡量风险大小的重要指
标。
• 四、变异指标的分类 • 变异指标按数量关系来分有以下两类：
• 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对
离势，主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。
• 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对
• 二、变异指标的概念
• 在统计研究中，通常把一组数值之间的差
异程度叫做标志变动度。测定标志变动度 大小的指标叫做标志变异指标。标志变动 度与标志变异指标在数值上成正比。如果 说平均指标说明总体分布的集中趋势的话， 标志变异指标则说明总体分布的离中趋势。
• 三、变异指标的作用
• 变异指标是描述数据分布的一个很重要的
• R 99 36 63 （分）
2、分组资料计算公式
R=最高组上限 - 最低组下限
• R=最高组组中组-最低组组中值 • R=最高组组中组-最低组下限 • R=最高组上限-最低组组中值 • 如果资料经过整理，并形成组距分配数列，
全距可近似表示为：
• R≈最高组上限值－最低组下限值
3、优缺点： 优点：计算简单，易于理解。
• QU—QL=?
• 上四分位数 下四分位数: • 数值型分组数据的四分位数(计算公式)
• 四分位差主要用于测度顺序数据的离散程
度。当然，对于数值型数据也可以计算四 分位差，但不适合于分类数据。
• 优缺点：主要是避免了全距受极端值影响
的缺点，其他优缺点同全距：数据利用率 低，信息丧失严重；受抽样变动影响大。
第五章 离散趋势测量法
本章主要内容：
离散趋势的测定方法（重、难点） 各种离散趋势测量指标的比较
第一节 变异指标相关概念
• 一、变异指标含义
• 平均指标是统计总体中各单位某一数量标志的
一般水平，反映了总体分布的集中趋势。集中 趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是 各变量值向其中心值聚集的程度。而这种聚集 的程度显然有强弱之分，这与各变量值的差异 有着密切的联系。变量值的差异越大，数值的 集中趋势越弱，变量值的差异越小，数据的集 中趋势越强。因此，要全面描述数据的分布特 征，除了要对数据集中趋势加以度量外，还要 对数据的差异程度进行度量。数据的差异程度 就是各变量值远离其中心值的程度，因此也称 为离中趋势。
特征值，因此，它在统计分析、统计推断 中具有很重要的作用。具体可以概括为以 下几点：
• 1.反映总体各单位变量值分布的均衡性
• 一般来说，标志变异指标数值越大，总体
各单位变量值分布的离散趋势越高、均衡 性越低，反之，变量值分布的的离散趋势 越低、均衡性就越高。
• 2.判断平均指标对总体各单位变量值代表性的高
• QU的位置＝
3(n+1) 4
=
3
(9+1) 4
=7.5
，即QU在第7个数值
（1500）和第8个数值（1630）之间0.5的
位置上，因此
• QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元）
• QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我
们可以说有一半的家庭人均月收入在815～ 1565元之间。
• 根据例3.2资料计算上下四分位数，那么家
Q·D=(Q3-Q1) /2
• 四分位差反映了中间50%数据的离散程度，
其数值越小，说明中间的数据越集中；数 值越大，说明中间的数据越分散。此外， 由于中位数处于数据的中间位置，因此， 四分位差的大小在一定程度上也说明了中 位数对一组数据的代表程度。
• [例3.2]在某城市中随机抽取9个家庭，调查
缺点：
（1）受极端值影响大，遇含开口组的资料时 无法计算；
（2）数据利用率低，信息丧失严重； （3）受抽样变动影响大（一般大样本的全距会 比小样本的全距大）。
二、四分位差（inter-quartile range） 上四分位数与下四分位数之差的平均数，称
为四分位差，亦称为内距或四分间距。 四分位差的计算方法：
• 从计算结果看，甲、乙两组平均生产件数
相等，但由于甲组的平均差（1.2件）小于 乙组的平均差（16件），因而其平均数的 代表性比乙组大。
第三节、平均差(Mean deviation)
• 平均差是各变量值与其算术平均数离差绝
对值的平均数，用A.D表示。根据掌握资料 的不同，平均差有以下两种计算方法：
• 1. 简单平均法 • 对于未分组资料，采用简单平均法。其计
算公式为：
• [例3.13] 某厂甲、乙两组工人生产某种产
品的产量资料如表3.8所示。
最小值。由于全距是根据一组数据的两个极值表
示的，所以全距表明了一组数据数值的变动范围。
越大，表明数值变动的范围越大，即数列中各变
量值差异大，反之，越小，表明数值变动的范围 越小，即数列中各变量值差异小。
• [例3.12] 例3.1给出的40个同学统计学的考
试成绩，其最高成绩为99分，最低成绩为 36，则全距为：
离势，主要有异众比率、标准差系数、平 均差系数和一些常用的偏态系数。
第二节、全距与四分位差
• 一、全距
• 1、未分组资料计算公式
• 全距又称极差，是一组数据的最大值与最小值之
差，用表示。计算公式为：in( X i )
• 式中，max(Xi) 、min( Xi分) 别表示为一组数据的最大值与
得到每个家庭的人均月收入数据如下（单 位:元），1500、750、780、1080、850、 960、2000、1250、1630，计算人均月收 入的四分位数。
•
解：QL的位置＝
n+1 4
=
9+1 4
=2.5
，即QL在第2个数值（780）
和第3个数值（850）之间0.5的位置上，因
此
• QL＝（780＋850）÷2＝815（元）
低
• 平均指标作为总体各单位某一数量标志的代表值，
其代表性的高低与总体差异程度有直接关系：总 体的标志变异指标值愈大，平均数的代表性愈低； 反之，标志变异指标值愈小，平均数代表性愈高。 另一方面，平均指标代表性的高低同总体各单位 变量值分布的均衡性也有直接关系：总体各单位 变量值分布的均衡性越高，平均指标代表性就越 高；反之，总体各单位变量值分布的均衡性越低, 平均指标代表性就越低。
• 3.在实际工作中，借助标志变异指标还可
以对社会经济活动过程的节奏性和均衡性 进行评价
• 4.标志变异指标是衡量风险大小的重要指
标。
• 四、变异指标的分类 • 变异指标按数量关系来分有以下两类：
• 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对
离势，主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。
• 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对
• 二、变异指标的概念
• 在统计研究中，通常把一组数值之间的差
异程度叫做标志变动度。测定标志变动度 大小的指标叫做标志变异指标。标志变动 度与标志变异指标在数值上成正比。如果 说平均指标说明总体分布的集中趋势的话， 标志变异指标则说明总体分布的离中趋势。
• 三、变异指标的作用
• 变异指标是描述数据分布的一个很重要的
• R 99 36 63 （分）
2、分组资料计算公式
R=最高组上限 - 最低组下限
• R=最高组组中组-最低组组中值 • R=最高组组中组-最低组下限 • R=最高组上限-最低组组中值 • 如果资料经过整理，并形成组距分配数列，
全距可近似表示为：
• R≈最高组上限值－最低组下限值
3、优缺点： 优点：计算简单，易于理解。