工程力学第十章

向角用qp表示。 qp—主方向角或主方位角 2τ s x－s y q＝ sin2q cos2q tan2q p＝－ s x s y 2
2）主应力 3）主方向 ——主平面上的正应力 ——主平面的法方向（正应力方向）
4）已知主应力σp，求主方向夹角
sx- sp tanqp=
s q＝
s x＋s y
s
需要指出的是，对于平面应力状态，平行于xy坐 标面的平面，其上既没有正应力、也没有剪应力作用， 这种平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。
s2
s1
10.3.2 平面应力状态的三个主应力
2τ tan2q p＝s x s y
s q＝
s x＋s y
2
＋
s x－s y
2
cos2q－ sin2q
FP
FP
受力之前,表面斜置的正方形，受拉后，正方形变 成了菱形，直角有了改变。 表明：拉杆的斜截面上存在切应力
Mx
Mx
受扭之前圆轴表面的圆，受扭后，变为一斜 置椭圆，长轴方向表示承受拉应力而伸长，短轴方 向表示承受压应力而缩短。 表明：轴扭转时，其斜截面上存在着正应力
可以证明：围绕一点作一微小单元体，即微元，一般情 形下，微元的不同方位面上的应力是不相同的。 过一点的所有方位面上的应力集合，称为该点的应力 状态。 因此，应力状态分析是建立构件在复杂受力（既有 正应力，又有剪应力）时失效判据与设计准则的重要基 础。
30
解：(1)求α=30°斜截面上的应力
由图知：σx=-30MPa,σy =-40MPa, τx =-20MPa,
τ3020
x
α=30°
s
cos 2 x sin 2 s x s sx s y y s 2 2 cos 2 x sin 2 2 2 (30 40) 30 40 o (30 40) ( 30 40 ) cos 60oo (20)sin 60 o 15.18(MPa) 2 ( 2 ) cos 60 (20)sin 60 15.18(MPa) 2 2
按代数值大小顺序排列，用s1、s2、s3表示
且， s1 ≥ s2≥ s3
根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失
效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应
力是反映应力状态本质内涵的特征量。
例：一单元体的应力状况如图所示(应力单位为MPa),试 y 40 求： n （1） α=30°斜截面上的应力 σ 30° （2）求主应力，并画出主单元体 30
平面（二向）应力状态
sy
10.2.1 方向角与应力分量的正负号规定 转角q ——从x轴逆时针转向为正，反之为负。 正应力s ——拉应力为正，压应力为负 切应力 ——使微元体顺时针转动趋势为正，反之为负。 sy

y'
y

x'
q
sx
x
10.2.2微元的局部平衡 平衡对象 ——用q 斜截面截取的微元局部
10.3.3 面内最大切应力与一点的最大切应力 s x- s y 由： q = 2 sin2q + .cos2q 对式求q的导数，并令其为零，有： sx- sy tan2qs= - 2 代入上式，得到切应力极值。
(10-1)
(10-7)
需要特别指出的是：上述剪应力极值仅对垂直于 xy 坐标 面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力与面内最小 剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的 最大和最小值。
sθdA－（sx dAcosq）cosq ＋（xydAcosq）sinq －（sydA sinq）sinq＋（yx dA sinq）cosq＝0 －θdA＋（sx dAcosq）sinq＋（xydAcosq）cosq －（sydA sinq）cosq－（yx dA sinq）sinq＝0
利用三角倍角公式，上述二式经过整理后，得到计算平 面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式： s x＋s y s x－s y s q＝ ＋ cos2q－ sin2q 2 2 s x－s y q＝ sin2q cos2q 2
10.2 平面应力状态分析——任意方向面上应力的确定
当微元三对面上的应力已经确定时，为求 y 某个斜面（即方向面）上的应力，可用一假想 yx 截面将微元从所考察的斜面处截为两部分，考 察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条件求 xy s x 得该斜截面上的正应力和切应力。这是分析微 x 元斜截面上的应力的基本方法。
应力状态概念、主应力、主应变
复杂受力构件与复杂应力状态 一点处的应力状态分析 广义胡克定律、复杂应力状态强度准则 组合变形、薄壁容器强度设计
拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度问题的共同 特点是？ 1、危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力； 2 、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此 为依据建立强度设计准则。
sq
例10-2 分析圆轴扭转时的最大切应力的作用面，说明铸 铁圆试件扭转破坏的主要原因。 解： 取任一点的微元体
Mx Mx
sx=0, sy=0 , =’ 由： sq = sx+sy + sx- sy cos2q – .sin2q 2 2 s x- s y q = sin2q +.cos2q
sx
q
sq
xy
yx
dA
sy
F
y 0
sx
ｙ q
q dA s x dAcosq sinq
xy dAcosq cosq yx dAsinq sinq s y dAsinq sinq 0
q
sq
xy
yx
dA
sy
10.2.3平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力
三向（空间）应力状态
sz
z
zy yz
平面（二向）应力状态
zx
x
sx
xz
xy yx
sy
y
sx
y yx xy
x
sy
y
sx
yx xy
y
yx
xy
x
sy
x y
纯切应力状态
sx
单向应力状态
x
10.1.3 建立复杂受力时失效判据的思路与方法
无论应力状态多么复杂，材料的强度失效，大致有 两种形式：脆性断裂；塑性屈服。 塑性屈服与脆性断裂是强度失效的两种基本形式。 对于同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中 包含着共同的因素。 建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关 于材料在不同应力状态下失效共同原因的各种假说。根 据这些假说，就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立 材料在复杂应力状态下的失效判据。
公式表明：斜截面上的正应力sq和切应力q 随角度q 改变而变化，是q的函数。
例10-1 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 解： 取任一点的微元体
F F
该点为单向应力状态 s s q 由： sq = sx+sy + sx- sy cos2q – .sin2q 2 2 s -s q = x y sin2q + .cos2q 2 当sy=0, = ’ = 0 时，有： sq = s + s cos2q 2 2 (10-2) s max 45 q = sin2q 当q =45°时，有： 2 s45°= s 在45°斜面上，正应力不是最大而切应 2 力达到最大 45°= s 2 可以认为屈服是有最大切应力引起的
y´
参加平衡的量
——应力乘以其作用的面积
q
q
x´
q
sq
x
平衡方程
F
xy
dA
x
0
yx
F
y
0
sy
F
x
0
q
x´
s q dA s x dAcosq cosq xy dAcosq sinq yx dAsinq cosq
s y dAsinq sinq 0
30
2 2 x
y
40
n
sx s y
14.38(MPa) 30 40 30 40 2 2 ) ( ) (20) 2 2 2 55.62(MPa) 14.38(MPa) 40 2 ) (20)2 55.62(MPa)
20
x
即： σ 1=0,σ
sx sy
sx s y

sx sy x y
2
(30 40) o o o o sin 2 x cos 2 sin 60 ( 20) cos 60 14.82(MPa) x 2
（2）求主应力，并画出主单元体
σ2 s x s y 2 2 30 40 s max s x s y ° 14.38( 30 40 2 2 α0 = 76 ( ) ( ) ( 20) x s min 2 2 2 2 55.62( σ3
2
＋
s x－s y
2
cos2q－ sin2q
（ 10 1 ）
ds x ＝－(s x－s y )sin2q 2 xy cos2q＝0 dq
tan2q p＝－ 力具有极值的性质：主应力是所有
垂直于xy坐标面的方向面上正应力的极大值或极小
值。
根据切应力互等定理，当一对方向面为主平面时， 另一对与之垂直的方向面 (q＝qP＋π /2)，其上之剪应 力也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主 应力。 3
得到平面应力状态的两个不等于零主应力。这两 个不等于零的主应力以及上述平面应力状态固有的等 于零的主应力，分别用表示 :
s ＝
sx s y
2
1 2
1 2
2 s s 4 x y 2
s ＝
sx s y
2
s
2 s 4 x y 2
s ＝0
规定：主平面微元体上的三个应力（主应力）
1 ＝ 2
2 s s 4 x y 2
一点的最大剪应力
为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以 将平面应力状态视为有三个主应力（ σ 1 、 σ 2 、 σ 3 ）作 用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于 零。 考察微元三对面 上分别作用着三个主应 力（ σ 1>σ 2>σ 30 ）的 应力状态所示。
10.1.2 应力状态分析的基本方法
在一般情形下，围绕所考察的点作一个三对面互相 垂直的边长无限小的正六面体，这个正六面体称为该 点的单元体，或称为微元。
微元 s z
zx
xz
zy yz
sx
dy
xydyx x
dz
sy
为了确定一点的应力状态， 需要确定代表这一点的微元的 三对互相垂直的面上的应力。 为此，围绕一点截取微元 时，应尽量使其三对面上的应 力容易确定。
2 sq = – sin2q q = cos2q
(10-3)
τ’
smax
τ
当q =±45°时，有最大正应力，没有切应力：
s 45 s max
±45°= 0
10.3 应力状态中的主应力与最大切应力 10.3.1 主平面、主应力与主方向 1）主平面 ——应力状态中切应力为零的平面，其方
tan tan2 2 00
2
=-14.38MPa, σ
3
=-55.62MPa α0=76°
2 xx 22 ( 20) 2 ( 20) 40 40 44 s 30 40) sxx s syy (( 30 40) 10 10
本章首先介绍应力状态的基本概念，以此为基
础建立复杂受力时的失效判据与设计准则，然后将
这些准则应用于解决承受弯曲与扭转同时作用的圆
轴，以及承受内压的薄壁容器的强度问题。
10.1 基本概念 10.1.1 何谓应力状态，为何研究应力状态
F
A F
F
s
FN
Me
Me
Mx O
τρ
ρ
FP
FP
受力之前 , 表面的正方形，受拉后，正方形变成了 矩形，直角没有改变。
工程上还有一些构件或结构，其危险截面上危险点 同时承受正应力和剪应力，或者危险点的其他面上同时 承受正应力或剪应力。这种受力称为复杂受力。 必须研究在各种不同的复杂受力形式下，强度失效 的共同规律，假定失效的共同原因，从而有可能利用单 向拉伸的实验结果，建立复杂受力时的失效判据与设计 准则。
为了分析失效的原因，需要研究通过一点不 同方向面上应力相互之间的关系。这是建立复杂 受力时设计准则的基础。