2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案
一、单选题
1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)
-∞+∞
D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞
【答案】D
【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】
由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成
c a b λμ=+(,λμ为实数),
则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】
此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.
2．椭圆22
:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交
点情况是（ ）
A ．没有交点
B ．有一个交点
C ．有两个交
点 D ．由m 的取值而确定
【答案】C
【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：
()2730x y m x y +-++-=
，令30,270x
y x y +-=+-=，
解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22
:1169x y C +=，判断点
与椭圆的位置关系. 【详解】
已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：
()2740x y m x y +-++-= ，
令+-=+-=40,270x
y x y ，
解得3,1x y ==，
所以直线过定点()3,1A ，
将()3,1A 代入22
:1169x y C += 可得91
1169+<，
所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.
3．过点(1,1)P 作直线与双曲线22
12
y
x -=交于,A B 两点，使点P
为AB 的中点，则这样的直线（ ）
A ．存在一条，且方程为210x y --=
B ．存在无数条
C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=
D ．不存在 【答案】D
【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代
入2
2
12y x -=，得0y =
，与双曲线只有一个交点，不符合题
意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入
22
12
y x -=，得()
()222
221320k x k k x k k ----+-=，分
220k -=和2
2k -≠0两种情况讨论求解.
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2
2
12y x -=，
得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，
代入22
12
y x -=，得()
()222
221320k x k k x k k ----+-=，
当2
20k -=时，直线()11y x -=-
与双曲线只有一个
交点，不符合题意.
当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()122
2122k k x x k
-+=
=- ，
解得2k = 而当2k =时，
222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，
所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.
4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数
,λμ的关系为
A ．221λμ+=
B ．1
1
1λ
μ
+
= C ．1λμ= D ．1λμ+=
【答案】A
【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.
因为0OC OA uOB λ++=，即
OC OA uOB λ=--.平方得：22
1λμ+=. 故选A.
二、填空题
5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】
0,
【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】
由直线倾斜角的定义：
x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.
范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,
【点睛】
本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．方程22
14x y m
+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是
_________；
【答案】(0,
【解析】根据方程22
14x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确
定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.
【详解】
因为方程22
14x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，
所以22,4a m b == ，
所以
c
=
=
所以焦点坐标为：(0,.
故答案为：(0,.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
7．抛物线()2
0y ax a =<的焦点坐标为____________.
【答案】10,4a ⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】
抛物线的标准方程为21
x y a
=
，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故答案为：10,4a ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8
i -对应点的直线的倾斜角为
_________； 【答案】
56
π
【解析】先利用复数的几何意义，
i -对应点的
坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】
i -对应点
)1
- ，
直线又经过原点()0,0 ，
所以斜率10
3
k =
=-
，
所以tan α= ，
又因为[0,)απ∈ ， 所以56
πα=
.
故答案为：56
π
.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且
22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其
中正确的序号为_________； 【答案】④
【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0a
b 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.
②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.
④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z
a bi
b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，
故正确. 故答案为：④ 【点睛】
本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】
【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形
的对称性，得到AB k =
AB 的方程，求出点(
B ，从而可求AB
C ∆的面积. 【详解】
由题意得，()1,0A - ，
因为点B 和C 在双曲线的右分支上，
ABC ∆是等边三角形，
根据对称性得，AB k =
，
所以直线AB 的方程是)1y x =
+ ，
代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），
所以(B ， 所以1
233
332
∆ABC
S .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.
11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=
【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】
设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，
1=，解之得43
k =-
， 得l 的方程为4350x y ++=．
当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，
∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】
本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线22
22918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的
个数为_________； 【答案】4个
【解析】将直线方程2y k =与曲线方程22
22918+=k x y k x
联立
得，2
91840x
x -+= ，根据方程根的个数来判断.
【详解】
将直线方程2y k =与曲线方程22
22918+=k
x y k x 联立得，
291840x x -+=
，
解得13x =-
或13
x =+
，
所以13
x
=-
或
13x =
-或13
x =+或13
x
=--
，
故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】
本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与
22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程
为_________； 【答案】226n m =-
【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为
()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=
且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】
因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，
所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，
解得23x y =-⎧⎨=⎩
，
所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】
本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.
14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；
【答案】2
0,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩
【解析】设(),P x y 1x =+
，两
边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，
1x =+
， 两边平方化简整理得2
22y x x
=- ，
当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，
综上：2
0,0
4,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩
.
故答案为：2
0,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩
【点睛】
本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．椭圆2
214
x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，
以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=
【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得
1111
||||(2||)||222
MO PF a PF a PF =
=-=- ，再根据两圆的位
置关系得到结论. 【详解】
设1F 是椭圆的另一个焦点，
M
是线段PF 的中点，根据题意得，
1111
||||(2||)||222
MO PF a PF a PF =
=-=-，
即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，
所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了
数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是
______.
【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令
(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，
且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()
()2
2
2150a b a b -+-=≥、.
如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故
{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.
从而，{}[]2
204,20x a
b =+∈⋃.
三、解答题
17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =
【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复
数的几何意义，则有22
log (3)0
log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.
（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】
（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，
所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，
所以03131x x <+<⎧⎨->⎩
，
解得32x -<<-.
（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，
所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪
->⎨⎪+-=⎩
，
解得x =.
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.
（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则
直线过抛物线的焦点；真命题.见解析
【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标
为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
当直线的斜率不存在时，直线方程为2
p
x =
代入22y px =，
验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2p
y k x =- 代入
22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.
（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x
m m =>
代入
22y px =，解得12y y =
= ，再由212y y p ⋅=-，求解.
当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2
220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pb
y y k
⋅=
再由
212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.
【详解】
（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为2
p
x =，
代入22y px =，得1,2y p y p
==- ，
所以212y y p ⋅=-.
当直线的斜率存在时，设直线方程为()2p
y k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，
由韦达定理得 212y y p ⋅=-.
所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.
（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题
证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>
代入22y px =得1
2y y =
=
因为212y y p ⋅=-，
所以22p -=-，
解得2
p
m =
，
所以直线过抛物线的焦点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2
220ky py pb -+=
，
由韦达定理得122pb
y y k
⋅=
，
又因为212y y p ⋅=-， 所以2
pk
b =-
，
所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫
=+=- ⎪⎝⎭
， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
即直线过抛物线的焦点. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点
00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.
（2）若圆C 的方程是2
22()
()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点
00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；
【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则
()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切
点，则有PM CM
⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.
（2）设(),P x y 为切线上任一点，则
()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的
切点，则有PM CM
⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.
【详解】
（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PM
x x y y CM x y =--= ，
因为PM CM
⊥ ，
所以0PM CM ⋅= ， 即()()0
000,,0x x y y x y --⋅=，
又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.
（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PM
x x y y CM x a y b =--=--
，
因为PM
CM
⊥ ，
所以0PM CM ⋅= ， 即()()0
000,,0x x y y x a y b --⋅--=，
又点00(,)M x y 在圆上， 所以2220
0()()-+-=x
a y
b r .
整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】
本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.
20．已知双曲线2
212
x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若
124PF PF +=.
（1）求动点P 的轨迹E 方程；
（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【答案】（1）2
214x y +=；（2）是，4x =
【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义
可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.
（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，
再通过一般性的证明即可. 【详解】
（1）双曲线2
212x y -=
的两焦点为(
))12
,F F ，
设动点P (),x y ， 因为12
4PF PF +=，且12
4F F > ，
所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.
因为22,1a
c b ==
=
，
所以的轨迹E 方程；2
214
x y +=.
（2）由题意设直线的方程为1x my =+，
取0m =
，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 直线1A R
的方程是63y x =
+，
直线2A Q
的方程是2
y x =
-
交点为(1S .
若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭
⎝⎭
，由对称性可知：交点为(24,S .
若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线
:4l x =上.
由22114
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22
4230m y my ++-= ，
设()()1122,,,R x y Q x y ，
由韦达定理得：12122223
,44
m y y y y m m +=-
⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，
由01
1
422y y x =++ ，
得1
0162y y x =
+.
设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422
y y x '
=
-- ，
得2
0222y y x '=
-，
因为()()()121212
00121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=
-=
+-+-，
()()
22
12121244022m m m m x x ---++=
=+- .
所以()004,s y 与()004,s y ''重合.
所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -
，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，
12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的
交点P 仍在椭圆E 上；
（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.
【答案】（1）22
12x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆2
2
221x y a b +=，
若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.
（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为
()11
n y x
x m x =
--，直线BN
的方程为()22
n y x x X m
=
--
，
设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得
()0
100y
n x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到
220022x y +=，说明交点在椭圆上.
（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】
根据题意，椭圆的长轴长：
2a =
+，
解得22a = ， 又2
211b a =-=
，
所以椭圆的方程是2
212x y +=.
（2）设()(),,,M m n N m n - ，
则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，
直线BN
的方程为()22n
y x
x X m
=
--
②
设交点()00,P x y ，代入①②得
()0
100y n x my nx -=-③
，
()0
200y
n x my nx +=+④，
③与④两边分别相乘得
()
22222201200y
n x x m y n x -=-，
又因为2
212m n +=，122x x =，
所以220022x y +=，
所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.
（3）若椭圆22
221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍
在椭圆E 上； 【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。