数学建模：二轮滑板的最佳运动方式

数学建模：二轮滑板的最佳运动方式

摘要

“游龙板”是近年来我国较为流行的一种新型滑板。该项运动可以提高人身体的柔软性和平衡感，是一项深受青少年喜爱的体育运动。与普通滑板相比，操作时人不用下板，利用双脚前后摆动就可以驱动游龙板前进。许多人感觉游龙板的前进似乎不需借助于外力，运动原理难以想象。游龙板结构虽然简单，但设计得却相当巧妙。它有两个结构特殊的轮子，可以将板的横向摆动转换成向前的推动力。

滑板在运动过程中主要受到地面给轮子的静摩擦力和人对板的蹬力，其中人对板的蹬力使活力板转动，使轮架偏离一定角度，同时地面对轮子的静摩擦力使得滑板向前运动，而人体的扭动角度对板的转动起着至关重要的作用。

平地滑板前进速度与水平推进力相关，在一个摆动周期内，水平推进力越大，活力板获得的加速度最大，即在一个周期内速度的最大值尽可能的大。而水平推进力和轮架旋转的角度β有关，建立水平F 关于β的模型，解得当β为 90时，地面对滑板的摩擦力完全提供水平推进力，此时 水平F 最大。人对滑板的作用力做功转化为板子的转动动能和轮子的转动动能，由刚体转动的动能定理建立β，θ，

板ω，轮ω的关系，假设wt sin 0ββ=，化简得到板ω和t 的关系，进而建立微分方程，通过龙格库塔法解得四分之一周期内满足微分方程的板ω，再对板ω积分得到板子最佳旋转角度为37 ，即最佳扭动角度。

关键词： 游龙板 扭动角度 龙格库塔法

一、问题重述

“二轮滑板”又称作为“两轮滑板”、“陆地冲浪板”是一种新型的滑板，和普通的四轮的滑板不一样，它只有两个轮。因其运动起来像龙和蛇一样扭动，所以国内多大称为“游龙板”或“活力板”。它以人体运动理论和巧妙的力学原理，主要利用身体（腰部及臀部）、双脚扭动及手的摆动来驱动活力板前进。使滑板运动得到淋漓尽致的发挥。

现请建立人身体扭动角度与平地滑板前进速度的关系模型，并找到最佳扭动角度。

二、问题分析

2.1活力板的构造

活力板有前后两个面板，中间用轴连接，两个面板可以绕中间的连接轴相对转动．面板下方安装有轮架和车轮，轮架可以绕倾斜的转轴自由转动．这个构造的巧妙之处在于，轮架转轴的延长线并不通过车轮与地面的接触点，而是有一小段垂直距离如图1所示。

2.2活力板的受力

F时，车板会有一个下角度的倾斜，地面对车轮的静摩擦当人对板施加力

脚

力使轮架绕转轴旋转，这时静摩擦力会产生水平当向上的分力推动活力板向前运动。人通过用身体左右晃动来使活力板运动，板面是在水平方向上左右摆动的，所以可以将人体的扭动角度近似的看成是板身摆动的角度，板身摆动的角度与轮轴摆动的角度存在一定的关系，轮轴摆动角度与水平方向上的分力有关，根据水平分力算出滑板速度，最终可以找到速度与扭动角度的关系。

三、模型假设

（1）假设人体扭动角度就是板的转动角度；

（2）假设轮架的转动随时间成正弦函数关系；

（3）假设人施加给滑板的力是均匀大小的力；

（4）假设运动过程不受空气阻力影响；

（5）假设支持力不随人的扭动角度变化而变化。

四、符号说明

五、模型的建立与求解

5.1 模型的建立

（一）轮子的结构

由于游龙板前后两轮结构相同，只分析其一即可。轮子是通过轮架和一倾斜的转轴安装在板E，轮子和轮架可以绕转轴的轴线p

p'自由转动。为分析方便，将轮子结构简化如图1所示。

图1 轮子结构简化侧视图

图中用线段AB 和BO 代表转轴和轮架，O 点为轮子的圆心，D 点为轮子的触地点，C 点为AB 的延长线与地面的交点。轮子的特殊结构体现在两个地方：第一，转轴AB 是倾斜的，设与竖直方向的夹角为α；第二， C 点与D 点是不重合的，而是落在D 点的前面。当人站在板上时，地面对后轮D 点的支持力设为N 。人的双脚在板面上沿与前进方向相垂直的方向摆动，轮子和轮架就会绕转轴p p '摆动，进而产生向前的推动力。下面对推动力产生的原因进行具体分析。 （二）推动力产生原因分析

如图2所示，设轮架绕转轴p p '摆过任一角度β，轮子摆过一定角度后，C 、D 蹲点的位置也发生了变化，设为C '和D '。轮子受地面支持力N 的方向竖直向上，D '点与地面问静摩擦力设为F ，与水平前进方向夹角为β-︒90，做直线T D '∥p p '，S D '与滑板前进方向一致。 (1)支持力N 对转轴p p '的转矩 ①产生转矩的力的计算

轮子支持力N 产生使轮子绕转轴p p '回摆的转矩。N 在垂直于T D '方向的分力N '(也垂直于p p ')是使轮子绕p p '转动的有效力，其大小为：αsin ⋅N 。

轮子

q

图2 轮子绕转轴转过任意角度B 的立体图

图3 N '对p p '转动力矩的计算

②产生转矩的力臂的计算

将图2对应局部放大如图3所示。做H D '垂直于滑板前进方向的水平线H C '于H 点，则H D '⊥面B H C '。

由于两平面N D T ''和B H C '平行，所以N P ''∥平面B H C '，那么，分力N '所在直线到转轴p p '的距离就等于D '点到平面B H C '的距离，即H D '的长度。

由图3可知：

H D '=βsin ⋅''D C (1)

即为N '对转轴p p '的力臂。

p

q

则支持力N 对转轴p p '的转矩L 为：

βααsin sin sin ⋅''⋅='⋅=D C N H D N L (2)

(2)静摩擦力F 对转轴p p '的转矩 ①产生转矩的力的计算

如图4所示，静摩擦力F 产生阻止轮子回摆的力矩，F 在垂直于T D '方向的分力F ' (也垂直于p p ')为产生转矩的有效力。

图4 F '对p p '转动力矩的计算

做辅助线TS ⊥S D '于S 点，TR ⊥F D '于R 点，连接SR ，可证明：SR ⊥F D '，从而可以求出F 与T D '的夹角∠R D T '的大小，设其大小为γ，可求出：

βαβαβγsin sin )

90cos(sin )90cos(cos ='-︒'='-︒'=''=

T

D T D T D S D T D R D (3) 所以：

βαγγ222sin sin 1cos 1sin -=-= (4) βαγ22sin sin 1sin -=⋅='F F F (5)

②产生转矩的力臂的计算

如图4所示，转轴p p '平行于平面F D T ''，所以，F '对p p '转动力臂为p p '平行于平面F D T ''的距离。过C '点做平面F D T ''的垂线，交平面F D T ''于点G ，连接G ，D '两点，G C '即为所求的力臂。

p