正弦函数、余弦函数的单调性与最值
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，Biblioteka ＝ ＋2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y＝sinx y＝cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y＝sinx y＝cosx
单调性
π π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增； 上递增； 在 在 π 3 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， 5 π 得 2kπ－6π≤x≤2kπ＋6(k∈Z)． π π 3 由 2kπ＋2≤x＋3≤2kπ＋2π(k∈Z)， π 7 得 2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)． ∴函数
π y＝2sinx＋3的单调增区间为
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsinx＋C 或 y＝Acos2x＋Bcosx＋C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法)． Asinx＋B Acosx＋B 2 (3)形如 y＝ 或 y＝ (A ＋C2≠0)的最大值最 Csinx＋D Ccosx＋D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求．
2．比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值，再利用三角函数的单调性比较大小． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A|＋k， 最小值为－|A|＋k(其中 A、 ω、 k 为常数， A≠0， ω≠0)．
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数 学
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正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
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规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
1.4.2正弦函数、余弦函数的最值
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)
令−
2
则−
3
即−
6
)的单调区间和函数
6
+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3
+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3
所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3
3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到 ；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =
−
2
+ 2，得 =
−
4
−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的
4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的
[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1
2
+
3
3
≤≤ .
所以，函数 =
高中数学同步学案 正弦、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学 习 目 标核 心 素 养1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝Asin (ωx＋φ)和y ＝Acos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质,提升学生的数学抽象素养．2．通过三角函数单调性等性质的学习,培养学生的运用数形结合研究问题的思想,提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，π2＋2kπ],k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2kπ，3π2＋2kπ],k ∈Z 上递减在[－π＋2kπ,2k π],k ∈Z 上递增, 在[2kπ,π＋2kπ],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝－π2＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝π＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1对称轴 x ＝kπ＋π2(k∈Z)x ＝kπ(k∈Z)对称中心 (kπ,0)k∈Z⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0k ∈Z思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m,n)(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数,你能确定m 、n 的值吗？ [提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]A [这里A ＝2,故值域为[－2,2]．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos 2x,令2x ＝kπ＋π2(k∈Z)得x ＝kπ2＋π4(k∈Z),令k ＝0的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0,故选B.]3．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2kπ－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－(－1)＝3,此时x ＝2kπ－π2,k ∈Z.]4．函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z) [令2kπ≤2x －π4≤2k π＋π,k ∈Z,得kπ＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z),故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)函数y ＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数,则a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a 的范围→y＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数→y＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．(2)确定增区间→令u ＝π4＋2x→y＝2sin u ＋1的单调递增区间．(1)(－π,0] [因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a≤0时满足条件,故a∈(－π,0]．](2)[解] 令u ＝π4＋2x,函数y ＝2sin u ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ,k ∈Z,由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ,k ∈Z, 得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋kπ,k ∈Z.所以函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ,k ∈Z.1．本例(2)中条件不变,问⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是该函数的单调递增区间吗？[解] 令2x ＋π4＝u,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4, ∴π4≤2x ＋π4≤3π4,即u∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 而y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上不单调,故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上不是单调递增的． 2．本例(2)中条件不变,求在[－π,π]上的单调递增区间． [解] 对于y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k∈Z)得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k∈Z)．∵－π≤x ≤π,令k ＝－1时,－π≤x ≤－78π,令k ＝0时,－3π8≤x ≤π8,令k ＝1时,5π8≤x ≤π,∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在[－π,π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－78π、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，π.3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x”改为“π4－2x”,结果怎样？ [解] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1,令2kπ＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k∈Z),得kπ＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z)．故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，k π＋7π8(k∈Z)．1．求形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b 或形如y ＝Acos (ωx＋φ)＋b(其中A≠0,ω>0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正；②在A>0,ω>0时,将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0,ω>0时,同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调递减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x ＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z ), 得π9＋2kπ3≤x ≤4π9＋2kπ3(k∈Z)． 又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2kπ≤2x －π3≤2kπ＋π,k ∈Z,得kπ＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 [解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°,cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内．(2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin β B ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos β D ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小： ①cos 15π8,cos 14π9；②cos 1,sin 1.(1)B [α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)[解] ①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x∈[0,π]上的最小值是多少？提示：因为x∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝Asin x ＋b,x∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A>0时,最大值为A ＋b,若A<0时,最大值应为－A ＋b. 【例3】 (1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b(a ＞0)．当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f(x)的最大值为3,最小值是－2,求a和b 的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的取值范围,最后求f(x)min ,f(x)max ,列方程组求解．(1)[－4,0] [y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)[解] ∵0≤x≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f(x)max ＝a ＋b ＝3, f(x)min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2kπ－π2，k ∈Z .2．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,求其最大值和最小值,并求取得最大值及最小值时的集合．[解] (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1, 所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；这时2x ＋π3＝2kπ(k∈Z),即x ＝kπ－π6(k∈Z)．当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时,y min ＝1. 这时2x ＋π3＝2kπ＋π(k∈Z),即x ＝kπ＋π3(k∈Z)．综上,f(x)max ＝5,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ－π6（k∈Z）；f(x)min ＝1,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3（k∈Z）.3．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,且加上条件x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时,求最大值、最小值． [解] 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12,所以0≤2x＋π3≤π2,所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,y min ＝3. 所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5,最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0),利用换元思想设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝Asin (ωx＋φ)＋b,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)的范围,最后得最值．1．求函数y ＝Asin (ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体,由2kπ－π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为增区间,由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为减区间．若ω＜0,先利用诱导公式把ω转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断．3．三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如y ＝asin x(或y ＝acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a 正负的讨论． (2)形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b(或y ＝Acos (ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围,最后求得最值．(3)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定.1．下列命题正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B ．存在x∈R 满足sin x ＝ 2C ．在区间[0,2π]上,函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1D ．正弦函数y ＝sin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D [A 错,y ＝sin x,y ＝cos x 在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错,sin x ≤1；C 错,y ＝cos x (x∈[0,2π])当x ＝0或2π时,函数取得最大值；D 对,根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴,写成x ＝kπ＋π2(k∈Z),也有无穷多个对称中心(kπ,0)(k∈Z)．]2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]3．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”)． ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8.] 4．求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间, 由π2＋2kπ≤2x ≤3π2＋2kπ,k ∈Z, 得π4＋kπ≤x ≤3π4＋kπ,k ∈Z,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．。
高考数学基础知识专题提升训练136---正弦函数、余弦函数的单调性与最值
高考数学基础知识专题提升训练 正弦函数、余弦函数的单调性与最值[对应学生用书P 100]知识点1 正弦函数、余弦函数的单调性 1．正弦函数的单调性(1)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2， 3π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2单调递增，其值从－1增大到1；在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2， 3π2上单调递减，其值从1减小到－1.(2)正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π， π2＋2k π(k ∈Z )上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2， 2k π＋3π2(k ∈Z )上都单调递减，其值从1减小到－1.2．余弦函数的单调性(1)函数y ＝cos x ，x ∈[－π， π]在区间[－π， 0]单调递增，其值从－1增大到1；在区间[0, π]上单调递减，其值从1减小到－1.(2)余弦函数在每一个闭区间[2k π－π， 2k π](k ∈Z )上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2k π， 2k π＋π](k ∈Z )上都单调递减，其值从1减小到－1.[微体验]1．函数y ＝2＋2cos x 的单调递增区间是_____________________．解析 函数的递增区间为[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )． 答案 [2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )2．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)解析 ∵0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 1>cos 2>cos 3. 答案 cos 1>cos 2>cos 3知识点2 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 1．正弦函数当且仅当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值－1；2．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值－1.[微体验]1．函数y ＝2sin x －1的值域是________．解析 ∵x ∈R ，∴－1≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x －1≤1，∴y ∈[－3,1]． 答案 [－3,1]2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2的值域是________．解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12， 32[对应学生用书P 101]探究一 求正弦函数、余弦函数的单调区间求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间．解y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的增区间，即求sin z 的减区间． ∴π2＋2k π≤z ≤3π2＋2k π，k ∈Z . 即π2＋2k π≤x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z . ∴3π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z . ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π， 7π4＋2k π (k ∈Z )． [跟踪训练1] 求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间．解y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.由2k π＋π≤x －π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，得2k π＋5π4≤x ≤2k π＋9π4，k ∈Z .即该函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π4， 2k π＋9π4(k ∈Z )． [方法总结]求与正、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．探究二 比较三角函数值大小问题比较下列各组数的大小： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4； (2)sin 194°与cos 160°.解(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋75π＝cos 75π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋74π＝cos 74π， ∵π＜75π＜3π2＜74π＜2π，∴cos 75π＜cos 74π，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4. (2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°. 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. [方法总结]比较三角函数值大小的方法(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值；(2)不同名的函数化为同名函数；(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间． [跟踪训练2] 比较下列各组数的大小： (1)sin(－320°)与sin 700°；(2)cos17π8与cos 379π. 解(1)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)， 又函数y ＝sin x 在[]－90°，90°上是增函数， ∴sin 40°＞sin(－20°)，∴sin(－320°)＞sin 700°. (2)∵cos17π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π8＝cos π8，cos 37π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π9＝cos π9，又函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π8＜cos π9.∴cos 17π8＜cos 37π9.探究三 正弦函数、余弦函数值域或最值问题求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6.解(1)∵－1≤co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0.[方法总结]求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．[跟踪训练3] 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解令t ＝sin x ，y ＝f (x )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 72.[对应学生用书P 102]1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法是，把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或函数的单调性等来确定y 的范围．课时作业(四十一) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值[见课时作业(四十一)P 184]1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4， π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， 3π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π C [画出y ＝|sin x |的图象(如图)．即可求解．]2．设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A ．23 B ．－23C ．－43D ．－2D [函数的最大值为M ＝13－1＝－23，最小值为m ＝－13－1＝－43，所以M ＋m ＝－2.]3．已知函数y ＝cos x 在(a ，b )上是增函数，则y ＝cos x 在(－b ，－a )上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．增函数或减函数D ．以上都不对B [∵函数y ＝cos x 为偶函数，∴在关于y 轴对称的区间上单调性相反．] 4．若α，β均为锐角，且sin α>cos β，则( ) A ．α>β B ．α<βC ．α＋β＞π2D ．α＋β＜π2C [sin α>cos β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，∵β是锐角，∴π2－β也是锐角．又α是锐角，且函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴α＞π2－β，即α＋β＞π2.]5．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －π，－56πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56π，－π6C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3， 0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6， 0 D [令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，∴－π6≤x ≤0.] 6．函数y ＝sin |x |＋sin x 的值域是________． 解析 y ＝sin |x |＋sin x ＝⎩⎨⎧2sin x ， x ≥0，0， x ＜0，∴－2≤y ≤2. 答案 [－2,2]7．比较sin 1，sin 2与sin 3的大小关系为________． 解析 因为π2<2<π－1<3<π，又y ＝si n x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， π上是减函数，所以sin 2>sin(π－1)>sin 3.又sin 1＝sin(π－1)，所以sin 2>sin 1>sin 3，即sin 3<sin 1<sin 2.答案 sin 3<sin 1<sin 28．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2上的值域为________．解析 由0≤x ≤π2，得0≤2x ≤π，于是－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32， 39．求下列函数的值域．f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x . 解f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32，∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－32，当cos x ＝1时，f (x )max ＝3， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32， 3.10．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.(1)求f (x )的最小正周期T ； (2)求f (x )的单调递增区间．解(1)由已知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，则T ＝2πω＝4π.(2)当2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，即4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3， 4k π＋2π3 (k ∈Z )．1．(多选题)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3等于( )A ．3B ．0C ．－3D ．3或0AC [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，∴f (x )关于直线x ＝π3对称．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3应取得最大值或最小值．]2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，又在[－π，a ]上递增，∴[－π，a ]⊆[－π，0]．∴a ≤0.又∵a ＞－π，∴－π＜a ≤0.答案 (－π，0]3．函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域是________．解析 令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1，y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1.当t ＝－1，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10]．答案 [2,10]4．(多空题)若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________；若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则ω的取值范围是________． 解析∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0＜ω＜1， ∴0≤ωx ≤ωπ3＜π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 由2k π－π2≤ωπ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k πω－π2ω≤x ≤2k πω＋π2ω，k ∈Z ，令k ＝0，得－π2ω≤x ≤π2ω，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，所以π3≤π2ω，即0＜ω≤32. 答案34 0＜ω≤325．(拓广探索)已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围．解①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (x )在(0，＋∞)上单调递增，得0<cos A ≤12，解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π.③当A ＝π2时，cos A ＝0， ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立．综上所述，角A 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3， π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3， π.。
正余弦函数的性质(最值与单调性)
k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：
y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增
专题52 高中数学正、余弦函数的单调性与最值专题(原卷版)
专题52 正、余弦函数的单调性与最值一．正弦函数、余弦函数的图象和性质[－1，1][－1，1](1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 类型一 求单调区间1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间．2．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，则它的单调减区间为________．3．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．4．求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．5．求下列函数的单调区间．(1)y ＝cos2x ；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ；(3) y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π36．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________．7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，08．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π2，2π310．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，5π12 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，11π12D.⎣⎡⎦⎤π6，π2 11．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ，x ∈[0，π]；(2)y ＝log 12sin x .12．函数y ＝log 2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递增区间是________．13．求下列函数的单调递增区间(3)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；14．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，0 B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤－π2，0及⎣⎡⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎦⎤－π2，0∪⎣⎡⎦⎤π2，π15．求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．16．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π217．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos2x | B ．f (x )＝|sin2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |18．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x219．下列函数在⎣⎡⎦⎤π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x20．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且是偶函数，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增21．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)22．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间．类型二 利用单调性求参1．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．2．若函数f (x )＝sin ωx (0＜ω＜2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于___．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32.5．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，且f (α)＝－2，f (β)＝0，|α－β|的最小值是π2，则f (x )的单调递增区间是() A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．题型二 利用三角函数的单调性比较大小1．sin250°与sin260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.2．比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7；(2)sin194°与cos160°；(3) cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π73．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π.4．比较下列各组数的大小：①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.5．比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.6．sin 2π7________sin ⎝⎛⎭⎫－15π8(填“＞”或“＜”)．7．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°8．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________．9．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_________．10．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 111．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,12．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值分别为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)3．y ＝2cos x 2的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．R4．y ＝a cos x ＋1的最大值为5，则a ＝________.5．设函数f (x )＝A ＋B sin x ，当B <0时，f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________.6．函数f (x )＝sin(π6＋x )＋cos(π3－x )的最大值为( )A ．1 B.32C. 3 D ．27．函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.158．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 59．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，110．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值．11．求下列函数的最大值和最小值． f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π212．求下列函数的值域：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；13．求函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最值．14．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．16．求下列函数的最值y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.17．函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________．18．求下列函数的最大值和最小值． y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.19．求函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．20．求函数y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．21．求下列函数的值域： y ＝cos 2x －4cos x ＋5.22．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．23．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.24．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．1225．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．26．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．27．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．。
正弦函数余弦函数的性质第二课时 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修第一册
sin11°<sin168°<cos10°.
五.当堂检测
3．(多选)已知函数 y＝sinx 在区间 M 上单调递增，那么区间 M 可以是
() A．(0,2π)
B．(0，π)
C．－π2，－4π
D．0，π2
解析 根据函数 y＝sinx 的单调递增区间为－π2＋2kπ，2π＋2kπ(k∈Z)， 当 k＝0 时，单调递增区间为－π2，2π，由于－π2，－4π，0，π2为－π2，2π的 子区间．故选 CD．
，
3π 2
π 2
，π 2
3π 2
，5π 2
2. 你能发现这些单调递增区间有什么内在联系吗？
7π 2
，9π 2
三.点拨精讲
因此，我们可以通过研究正弦函数一个周期内的图象进而研究出整个 定义域上的单调递增区间.
正弦函数在每一个闭区间
π 2
2kπ，π 2
2kπ（ k
Z）上都单调递增，
其函数值从 1增大到 1．
五.当堂检测
1．函数 f(x)＝－2sinx＋1，x∈－π2，π的值域是(
)
A．[1,3]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．[－1,1]
解析 ∵x∈－π2，π，∴sinx∈[－1,1]，∴－2sinx＋1∈[－1,3]．
2．下列关系式中正确的是( )
五.当堂检测
A．sin11°<cos10°<sin168°
[跟踪训练 1] 求下列函数的单调区间：
(1)y＝sin2x－π3；(2)y＝cosπ6－2x.
解 (1)当－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z 时，函数单调递增，解得－π3
＋4kπ≤x≤53π＋4kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为－π3＋4kπ，53π＋4kπ，
高中数学第五章三角函数4.2第二课时正余弦函数的单调性与最值课件新人教A版必修第一册
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦函数y＝sin x在R 上是增函数． (2)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]． (3)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2. (4)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z . 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
函数单调递减，故函数的单调递减区间是
4kπ－23π，4kπ＋43π
(k∈Z )．
(2)∵y＝2sinπ4 －x＝－2sinx－π4 ，
∴函数y＝－2sinx－π4 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋π2 ≤x－π4 ≤2kπ＋3π2 (k∈Z )，
①
ππ
π
2kπ－ 2 ≤x－ 4 ≤2kπ＋ 2 (k∈Z )．
知识点 正、余弦函数的单调性与最值 正弦函数
图象
值域
_[－__1_，__1_]
ห้องสมุดไป่ตู้
余弦函数 _[－__1_，__1_]
正弦函数
余弦函数
单
增区间 __－_π_2_＋__2_k_π__，___π2__＋_2_k_π___， [_π__＋__2k_π__，__2_π__＋__2_kπ__]_，_
调
__k_∈_Z____
所以sinπ5 <sin2π 5 ，
所以sin215π<425π.
答案：<
4．求函数f(x)＝sin2x－π4 在0，π2 上的单调递增区间．
π
π
π
解：令2kπ－ 2 ≤2x－ 4 ≤2kπ＋ 2 ，k∈Z ，
解得kπ－π8 ≤x≤kπ＋3π8 ，k∈Z ，又0≤x≤π2 ，
所以f(x)在0，π2 上的单调递增区间是0，3π 8 .
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
正弦函数
余弦函数
x＝_π2_＋__2_k_π_(_k_∈__Z_)_时，取得最 x＝_2_k_π_(_k_∈__Z_)_时，取得最大 最值 大值 1；x＝_－__π2_＋__2_k_π_(k_∈__Z__) 值 1；x_＝__2_k_π_＋__π_(_k_∈__Z_)_时，
取得最小值－1 时，取得最小值－1
[微思考] (1)正弦函数、余弦函数的单调递增(减)区间是唯一的吗？ 提示：不唯一． (2)对于 x∈R ，sin x 和 cos x 的取值是否也是任意实数？ 提示：不是，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1.
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)正弦函数、余弦函数在 R 上都是单调函数．
题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题
[探究发现]
(1)函数 y＝sinx＋π4在 x∈[0，π]上最小值是多少？ 提示：因为 x∈[0，π]，所以 x＋π4∈π4，54π，由正弦函数图象可知
函数的最小值为－
2 2.
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B，x∈R 的最大值一定是 A＋B 吗？
提示：不一定．因为 A>0 时最大值为 A＋B，若 A<0 时最大值应为 －A＋B.
第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
(一)教材梳理填空
正弦函数
余弦函数
图象
值域
_[__－___1__,1__]
[－___1__,1__]__
单调性 在__2_k_π_－__π2__，__2_k_π_＋__π2__(_k_∈__Z_)上递增，在 增_[，_2__k_在π__－___[__2_π___k_，__π____，_2___k___2π___k_]__π(___k_＋__∈_____π__Z_]__上()_k__∈递___Z___) 在__2_k_π_＋__π2_，___2_k_π_＋__32_π__(k_∈___Z_)上递减 上递减
正、余弦函数的单调性与最值
函数 名称
图象与 性质
性质分类
定义域 相
同
值域
处 周期性
y＝sinx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
y＝cosx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
正、余弦函数的所有性质都是针对自变量x本身而言 的．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于原点成中心对称， 其图象在对称中心和对称轴处对应的分别为函数的零点和 最值点．正弦函数有单调区间，但并不是定义域上的单调 函数，即：它在整个定义域内并不单调．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
【名师点拨】
(1)对于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx类型的函数求 值域时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时一定 要注意函数的定义域．
(2)对于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx ＋C类型的函数求值域时，可采用换元法求解．
已知函数 y＝2acos2x－3π＋b 的定义域是 0，π2，值域是[－5,1]，求 a，b 的值．
【名师点拨】
求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)的单调区间，一定要注意到函数中A与ω的符 号．如果ω<0，一般利用诱导公式将x的系数化为正数， 再求解．
人教A版必修1第5章三角函数：4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
人教A版必修1第5章三角函数：4.2 第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值（同步讲义）(教师独具内容)课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.【知识导学】知识点正弦函数、余弦函数的性质【新知拓展】(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x 轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )(2)存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )(3)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)在下列区间中，函数y ＝sin x 单调递增的是( )A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π](2)函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B.y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) (3)函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 答案 (1)C (2)C (3)⎣⎡⎦⎤2π3，π题型一 正弦函数、余弦函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3； (3)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；(4)y ＝cos2x . [解] (1)由题意可知函数y ＝sin x 2的单调递减区间即为y ＝1－sin x 2的单调递增区间， 由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得 4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )，所以函数y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )． (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z )， 故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )． (3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4<2k π＋π(k ∈Z )， 即k π＋π8≤x <k π＋3π8(k ∈Z )， 故所求单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (4)函数y ＝cos2x 的单调递增区间由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 金版点睛求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．当A <0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．【跟踪训练1】求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3；(2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 解 (1)当2k π－π≤x 2＋π3≤2k π，k ∈Z 时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－8π3，4k π－2π3，k ∈Z . 当2k π≤x 2＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 时， 函数单调递减，故函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z . (2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 令z ＝2x －π4，则y ＝－3sin z . 要取y ＝－3sin z 的增区间即取y ＝sin z 的减区间，即2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )， ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 要取y ＝－3sin z 的减区间即取y ＝sin z 的增区间，即2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， ∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 题型二 比较三角函数值的大小【例2】比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5与cos ⎝⎛⎭⎫－17π4；(2)sin194°与cos160°； (3)sin1，sin2，sin3.[解] (1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋7π5＝cos 7π5， cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋7π4＝cos 7π4， ∵π<7π5<7π4<2π，∴cos 7π5<cos 7π4， 即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. (2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(3)∵1<π2<2<3<π， 又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.0<π－3<1<π－2<π2， 而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.金版点睛比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．【跟踪训练2】(1)两个数cos ⎝⎛⎭⎫－7π8和cos 7π6的大小关系是________； (2)按由小到大的顺序排列下列数：cos 32，sin 110，－cos 74.写在横线上为________________． 答案 (1)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8<cos 7π6(2)cos 32<sin 110<－cos 74解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π8＝－cos π8，而cos 7π6＝－cos π6，∵0<π8<π6<π2，∴cos π8>cos π6，∴－cos π8<－cos π6，∴cos ⎝⎛⎭⎫－7π8<cos 7π6.(2)sin 110＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－110≈cos1.47，－cos 74＝cos ⎝⎛⎭⎫π－74≈cos1.39，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos1.5<cos ⎝⎛⎭⎫π2－110<cos ⎝⎛⎭⎫π－74，即cos 32<sin 110<－cos 74.题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，∴当t ＝－1时，y 取得最大值10，当t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．[条件探究] (1)将本例(1)改为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，再求值域； (2)若将本例(1)改为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域又如何？ 解 (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 由余弦函数的图象及其单调性可知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1. ∴所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1.(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 由正弦函数的图象及其单调性可知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1.金版点睛三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．附：形如y ＝A sin x ＋B C sin x ＋D 或y ＝A cos x ＋B C cos x ＋D(A 2＋C 2≠0)的最大值最小值可解出sin x 或cos x 后利用其有界性来求． 【跟踪训练3】(1)已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值；(2)求函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以sin x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ×⎝⎛⎭⎫－32＋b ＝－5，2a ＋b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，2a ×⎝⎛⎭⎫－32＋b ＝1， 解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋54.因为－π4≤x ≤π4，－22≤sin x ≤22， 所以当x ＝－π6，即sin x ＝－12时，函数取得最大值，y max ＝54； 当x ＝π4，即sin x ＝22时，函数取得最小值，y min ＝12－22. 随堂水平达标1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 答案 C解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，故选C. 2．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°答案 C解析 ∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 C解析 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间．4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 5．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，求ω的值． 解 由题意可知f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增且2sin π3ω＝2，即sin π3ω＝22， 所以有π3ω＝2k π＋π4(k ∈Z )，即ω＝6k ＋34(k ∈Z )， 因为0<ω<1，所以ω＝34.。