猜想在数学解题中的应用

广西教育学院
毕业论文（设计）
论文题目: 猜想在数学解题中的应用
系别：数学与计算机科学系
专业：数学教育
年（班）级：11级数专（1）班
学号：110218F01026
学生姓名：黄善鸿
指导教师：阮妮职称：讲师
2014年5月20日
猜想在数学解题中的应用
内容提要:猜想是人类一种重要的思维方法，它是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题，它在数学学习中有着重要的意义。

在中学数学解题当中，若能在关键的解题环节中提出一个合理的猜想，问题则能顺利而解。

本文主要讲述了运用直接观察法、类比法、归纳法、逆向思维推理等方法在数学解题中提出合理的猜想，不仅使解题更加容易、快捷，还培养了学生的数学思维，丰富了数学解题方法，从而体现其在数学解题中应用的重要和方便。

关键词：猜想数学解题思维
目录
1 引言 (4)
2 猜想在数学解题中的应用 (4)
2.1通过直接观察提出猜想 (4)
2.2 通过类比提出猜想 (5)
2.3 通过归纳提出猜想 (6)
2.4 通过逆向思维提出猜想 (7)
3 小结 (8)
1 引言
著名数学家波利亚曾说：“要成为一个好的数学家，……你必须首先是一个好的猜想家”。

“数学也许往往像猜想游戏，在你证明一个数学定理之前，你先得猜测到这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路”。

可见，猜想可以发现真理，发现论断；猜想可以预见证明的方法或思路。

在数学解题中，提出一个合理的猜想是解题的关键环节，它可以使解题的思路清晰，目标明确。

同样的，在数学教学中，引导学生进行猜想，是激发学生学习兴趣、发展学生直觉思维、掌握探求知识方法的必要手段，我们要善于启发，积极指导，热情鼓励学生进行猜想，以真正达到启迪思维，传授知识的目的。

当然，猜想要力求做到猜之有理、猜之有据，而决不是毫无根据的胡乱猜。

那么，猜想在数学解题的应用中，应该如何正确提出一个合理的猜想呢？
2 猜想在数学解题中的应用
2.1通过直接观察提出猜想
观察探究是人类认识事物、认识世界的基本途径之一，是人类发现问题和解决问题的前提。

事实上，人类总是在不断地提出猜想，牛顿观察到苹果从树上掉下，经过思考、探索，提出了有力作用在苹果上的猜想，后来最终发展成为重力场的理论。

瓦特观察了一壶烧开了的水，蒸汽顶开壶盖的现象，猜想蒸汽可以做功，后来发明了蒸汽动力机车。

观察是智力的门户，是思维的前哨，是启动思维的按钮。

观察得深刻与否，决定着解题猜想的形成与问题的解决。

数学学科中，通常都是通过对事物的量或形的观察探究，提出数学模型的猜想。

（1）观察数值特征
许多有特征的数值，往往对解题起着导向作用，要善于观察、分析，从数值本身的变化、数字与数字之间的联系去寻找解题的猜想。

例1 设f (x )=4x 4x +2 ，求f (11001)+f (21001)+⋯+f (10001001)的值.
分析 此题一时无从下手，若仔细观察条件中的数字特征，可发现11001，21001
，…，10001001 是一个等差数列，且与首末“等距”的两项之和是1，从而联系寻找猜想f (x )与f (1−x ) 的关系。

解 因为
f (x )+ f (1−x )=4x 4x +2+41−x 41−x +2=4x 4x +2+24x +2=1.
所以
f (11001)+f (21001)+⋯+f (10001001)=500.
（2）观察图形特征
一些抽象的数量关系，若转化为具体的图形问题，并抓住其图形特征，则思路直观、清晰，更容易提出合理的解题猜想。

例2 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d d 的图像如图1所示，则（）.
A. b ∈(−∞,0)
B. b ∈(0,1)
C. b ∈(1.2)
D. b ∈(2,+∞)
分析 经过对图1的观察发现x=0,1,2是方程f (x )=0的三个实数根，所以 可以提出猜想f (x )=ax (x −1)(x −2)，当x>2时，
f (x )>0,得a>0,比较同次的系数可得：b=-3a ，所以
b<0,故选A 。

2.2通过类比提出猜想
由于事物之间常具有相同的或相似的属性，因此相似的对象在某个方面彼此一致时，我们可以由其中一类事物的已知属性去猜测另一类事物也具有相同的或相似的属性，这就是类比。

它也是我们的重要思维方法之一。

在数学解题中，常利用命题条件的相似，去猜测结论的相似，或是命题形式的相似，去猜测论证推理方法的相似。

因此，数学思维中的类比猜想，要以数学的基础知识和基本技能为基础，丰富而又广泛的联想为条件，并善于将已有的知识信息转化为可供类比的信息，从而发现解决问题的途径。

运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似性——部分相同或整体类似，得出数学新命题或新方法的猜想叫类比猜想。

它是一种从特殊到特殊的推理方法，
在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，类比都是产生猜测，获得命题的推广和引伸的原动力。

例3 设函数f (x )=2x +√2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (−6)+f (−5)+⋯+f (0)+⋯+f (5)+f (6)的值为（ ）.
分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，提出猜想：f (x )+ f (1−x )=？，尝试计算：
因为 f (x )=2x +√2，f (1−x )= 21−x +√2 = x 2+√2∙2x =√2∙2x √2+2x ,
所以 f (x )+ f (1−x )=1+1√2∙2x √2+2x =√22
， 发现f (x )+ f (1−x )正好是一个定值，所以2S =√22×12，所以s =3√2.
在数学解题中，如能灵活运用类比的方法，就能沟通知识间的联系，使思维更加广阔。

此类猜想的基本思路是利用已有的命题，通过改变命题中的部分条件从而得到新的命题，使命题的适用范围变广。

2.3通过归纳提出猜想
归纳探究是一种重要的思维方法，由于事物的普遍性寓于特殊性之中，因此，在需要研究某一对象时，我们常从研究个别对象的特征、属性出发，从而猜测整个对象集所具有的性质。

这就是说归纳是一种探究方法，它可以为我们提出论断的猜想提供基础、依据。

归纳探究又是一种思维形式，这是由于需要对一个命题作出判断时，我们常从一个或几个特殊情况进行判断，做出猜想推理。

这就是说，归纳探究是一种推理方法，它为命题的论证提供了基础。

对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察、分析，应用不完全归纳法得出有关命题的形式、结论或方法的猜想，叫归纳猜想。

归纳猜想是数学创造性思维的一种基本方法，而且在解题中由归纳猜想可以发现解题思路，发现知识间的内在联系，从而获得超越原有知识的认识水平。

例4 设k ∈N ,求满足不等式｜x ｜+｜y ｜＜ k （1）的整数解组（x , y ）的组数.
分析 显然要直接给出解答是不易的，不妨将k 取为参数，这就不难猜想，解组
数与k有关，将它们记为 f（k），于是若k=1，则（1）有一组解（0，0），所以f(1)=1；若k=2，则（1）有5组解（0，0）、（±1，0）、（0，±1），所以 f（2）=5；若k=3，则（1）有13组解（0，0）、（±1，0）、（±1，±1）、（±2，0）、（0，±1）、（0，±2）。

所以f(3)=13。

类似地，有f(4)=25.那么f(k)=？
为此改写得：f(1)=1
f(2)=5=1+2×2×1或22+11
f(3)=13=1+2×3×2或32+22
f(4)=25=1+2×4×3或42+32
于是猜想：f(k)=1+2k（k－1）或k2+（k－1）2 .
对于较为复杂和一般化的问题，往往一下子难以找到直接的解决方法，这时不妨退一步考虑，把问题简单化，先尝试解决简化了的问题，然后再通过分析，利用从简单情况得到的启发，推断猜想出一般复杂状态下问题的解决途径。

此类猜想的基本思路是先借助不完全归纳法，通过对部分简化了的对象的研究，归纳出特征后提出猜想，然后用严格的数学方法推理论证。

2．4通过逆向思维提出猜想
逆向思维，是指在循着某一固定思路解决数学难题履遭失败之后，沿着相反的方向进行思考，提出新的猜想。

在数学解题中，运用逆向思维解题，能够从不同角度和不同的方向去思考和探索问题，去拓宽学生的解题思路，使学生更灵活、更快捷地解决数学问题。

由于数学定义、公式等都有可逆性，不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性，这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。

下面，通过部分实例，谈谈“逆向思维”在数学解题教学中的具体应用。

（1）逆用公式、法则
对于公式、法则既要掌握其正用，又要灵活掌握其逆用变用，逆用和变用就是逆向思维，逆用公式（包括公式变形的逆用）、法则，往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性、变通性，使学生养成善于逆向思维的习惯，提高灵活运用知识的能力。

例5化简(√6−√2)(√3+√2)√2−√3.
此题可以通过逆用公式√a2=a获得解决：
由原式= √（√6−√2）2
(√3+√2)2（2−√3）
= √(8−4√3)(5+2√6)（2−√3）
=√(28−16√3)（5+2√6）.
例6 设两个自然数的和是20，求这两个数乘积的最大值。

解逆用完全平方公式：
设两个自然数是a、b，且a+b=20，则 ab=1/4〔（a+b）2-（a-b）2〕=1/4[202 -（a-b）2]
∵（a-b）2 ≥0 ∴当a-b=0，即a=b时，ab有最大值，最大值为100。

（2）逆用定义
“定义法”是常见的一种解题方法，定义的逆用，往往更能有效的解决问题，更能使学生深刻理解概念的本质。

例7 m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5.
分析由已知m2=m+1,n2=n+1，知m2−m−1=0,n2−n−1=0，且m≠n，逆用方程根的定义，可以提出猜想m,n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，提出了解题的猜想就容易解决此题了。

例8 若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围.
分析原式=|1-x|-|x-4|.
根据题意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5
从绝对值定义的反向考虑，推出条件是：
1-x≤0，且x-4≤0
所以x的取值范围是：1≤x≤4
（3）反面求解
有些数学问题，从正面解答比较繁杂困难，而从反面思考，寻求解答方法，提出解题的猜想，效果很好。

例9已知方程x2+4mx−4m+3=0
x2+(m−1)x+m2=0
x2+2mx−2m=0
中至少有一个方程有实数解，求m的取值范围.
分析此题从反面思考问题，研究三个方程均无实数根这一情况，提出解决
问题的猜想：三个方程均无实数根，即：（4m）2
−4(−4m+3)<0, (m−1)2−
4m2<0, (2m)2−4(−2m)<0，解出m的取值范围，则m的取值范围的集合的补集即为此题的解。

3 小结
综上所述，猜想是发现规律，是发现解决问题的方法与思路的关键环节。

猜想是数学发展的动力，在数学学习中，猜想的功能是强大的，它可以激发学生的求知欲，使他们不断探索、收获；它能增强学生的学习动力，使他们更为透彻的理解和掌握数学知识；它又能开拓学生的思维，使他们能更为快捷地寻找解题思路。

在中学教学中，教师要给学生营造一种宽松的、和谐的猜想氛围，并鼓励学生积极寻找猜想的依据，探索猜想的合理性和准确性，通过自己的实践操作检验猜想的真伪。

这将有效地提高学生分析问题、解决问题的能力，使他们更聪明，更富有创新精神。

让我们点燃学生主动探索之火，让学生去猜、去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，真正成为学习的主人。

参考文献
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[2]葛军，数学教学与数学教学改革[M]，长春：东北师范大学出版社，1999.10，
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[3]张筱玮,中学数学教学理论与方法[M],长春:东北师范大学出版社,2003.8.
[4]杨明全,新课程下的课堂观[M],北京:首都师范大学出版社,2005.1.。